1323

Последний интеграл вычисляется с помощью формулы (3.42) пос­ ле подстановки выражения (12.42):

26i; по-прежнему обозначает длину стороны между узлами i и /. Соотношение (12.45) обладает тем же самым свойством, что и (10.34), а именно оно применимо к поверхности, ориентированной произвольным образом. Если рассматривать вертикальную поверх­ ность, то Ri=Rj=R,

Формула (12.46) показывает, что компоненты нагрузки поровну распределяются между узлами. Этот результат идентичен тому, который получен для двумерной задачи. С другой стороны, если рассматривается горизонтальная поверхность, Ri^R], и тогда на наиболее удаленный от оси вращения узел будет приходиться большая часть нагрузки.

Две другие формы записи (12.45) получаются приравниванием нулю L\ (для стороны jk) или Z.2 (для стороны ik) в формуле

(12.44) и последующим интегрированием.

Напряжения в элементах вычисляются по закону Гука:

(o)= [D ] (е) — [D] (е0).

С учетом формулы {е} = |[5 ] {Щ напряжения могут быть выраже­

Записывая подробно равенство (12.47) или просто рассматривая (12.38), можно убедиться, что нормальные напряжения зависят от величины е0е , которая является функцией г и г , так как от г и г

зависят коэффициенты матрицы [5 ]. Таким образом, можно вы­

числить напряжения во многих различных точках внутри элемента. Компонента напряжения сдвига, однако, не зависит от еее и ока­ зывается постоянной внутри каждого элемента.

12.5. Решение с помощью ЭВМ

Представленная на фиг. 7.3 блок-схема вычислений применима с незначительными изменениями к решению двумерных задач тео­ рии упругости для изотропного материала. Изменения касаются ввода средней температуры каждого элемента, когда это необхо­ димо для анализа. Эти исходные данные вводятся перед началом цикла, в котором составляются глобальные матрицы. Осуществле­ ние указанной модификации в программе должно сопровождаться некоторым целочисленным переменным параметром, который ука­ зывает на необходимость ввода температурных данных или исклю­ чает его.

Средняя по элементу температура вычисляется путем усредне­ ния узловых значений температуры для каждого элемента, если только температурное распределение известно. Если распределение температуры в теле определялось с помощью метода конечных элементов, средняя по элементу температура может быть пробита на перфокартах вместе с информацией, предназначенной для упру­ гой задачи. Такой способ применим, если только разбиение обла­ сти на элементы при решении задачи переноса тепла совпадает с разбиением, используемым для решения задачи теории упругости.

Определение напряжений в элементе обычно сопровождается вычислением главных напряжений, так как эти величины представ­ ляют интерес при расчете конструкции. При решении двумерных задач можно рассматривать плосконапряженное или плоскодеформированное состояние. Различие при этом заключается только в написании матрицы упругих характеристик [£>]. Оба случая мо­ гут быть объединены в одной программе использованием услов­ ного оператора IF, который позволяет выбирать правильную мат­ рицу.

Машинная реализация осесимметрической задачи теории упру­ гости почти идентична реализации на ЭВМ двумерной задачи. По­ скольку ни плоская деформация, ни плоское напряжение не имеют отношения к осесимметрическому случаю, матрицу упругих кон­ стант здесь выбирать «е приходится. Координаты элемента в осе­ симметрической задаче должны быть отнесены к глобальной сис­ теме координат. Для одномерной, двумерной или трехмерной за­ дач координаты элемента могут быть отнесены либо к местной, либо к глобальной системе координат.

В гл. 18 представлена учебная программа, позволяющая иссле­ довать плосконапряженное состояние упругого тела. Применение этой программы иллюстрирует следующий пример.

12.5.1. Постановка задачи

Требуется определить коэффициент концентрации напряжений, вызванной круговой выточкой, при осевом нагружении детали кон­ струкции, показанной на фиг. 12.4. Ширина детали меняется от 8 до 4 см, толщина всюду одинакова и равна 0,50 см. Нормальное

Фиг. 12.4. Ооевое нагружение детали конструкции с выточкой.

напряжение в точках сечения, расположенного справа от выточек

12.5.2. Решение на ЭВМ

Исходные данные об элементах могут быть получены с по­ мощью программы GRID. Предварительное разбиение на зоны и размещение узлов для программы GRID показаны на фиг. 12.5. В силу симметрии исходной задачи далее рассматривается только половина детали. Наличие однородного напряженного состояния на большей части детали позволяет отказаться от построения дискретной модели для всей области и ограничиться участком, левая граница которого удалена на 8 см влево от выточки, а пра­ вая расположена на 5 см -правее выточки. Теоретический анализ концентрации напряжений показывает, что выбранные размеры участка, вероятно, достаточно велики, чтобы на его границах уста­ новилось равномерное распределение напряжений.

В первой зоне локальная координата g выбрана параллельной направлению меньшего размера детали с тем, чтобы последова­ тельная нумерация узлов элементов производилась в направлении меньшего размера. Выбор такого направления для g приводит к наименьшей ширине полосы матрицы системы уравнений. Оконча­ тельное разбиение области на элементы показано на фиг. 12.6.

В задачах теории упругости глобальная матрица жесткости |£/С] получается сингулярной, если только в теле не заданы какиелибо перемещения. Задание перемещений должно исключать дви-

жение тела как абсолютно твердого, т. е. смещение и вращение его как целого. В рассматриваемом случае это может быть достигнуто закреплением первого узла и запрещением вертикального движе­ ния узла 91. В данном примере необходимо, кроме того, исключить

Увел Координаты

13(9,235, 2,152)

14(8,586, 2,586)

15(7,879, 1,879)

16(8,152, 3,235)

возможность горизонтального перемещения точек левой границы области. Это означает, что U3=Us==U7=U9=0. Вертикальные пе­ ремещения точек этой границы определяются из решения задачи. Ось симметрии (нижняя граница области) должна совпадать с осью х, поэтому точки этой границы не могут перемещаться в вер­ тикальном направлении (параллельно оси у). Вообще в рассмат-

U5

риваемом случае фиксированы 20 узловых перемещений, каждое из них равно нулю.

На правой границе области приложена нагрузка интенсивности //*=44 000 Н/см2. Эта нагрузка равномерно распределяется по че­ тырем элементам. Площади сторон, подверженных действию внеш­ ней нагрузки, в каждом из этих элементов одинаковы и равны 0,25 см2. Узловые значения нагрузки для каждого элемента соот­ ветствуют по величине (0,25 см2X 44 000 Н/см2)/2, или 5500 Н. В следующей таблице приведены номера узловых перемещений и значения узловых сил, предназначенные для ввода в качестве ис­ ходных данных.

1895500

Врезультате вычислений для горизонтальных перемещений в уз­ ловых точках правой границы получаем одинаковые значения, равные 0,0247 см. Это дает основание считать, что область одно­ родной деформации, а следовательно, и напряжения достигнута и что была выбрана приемлемая длина дискретной модели.

43965

43977

43993

440/9

43994

Фиг. 12.7. Узловые значения О] в зоне выточки и на концах детали.

Компоненты напряжения, соответствующие решению задачи, постоянны для каждого отдельного элемента. Узловые значения этих величин могут быть получены с помощью теории согласован­ ных результантов элемента, рассмотренной в гл. 6. Узловые значе­ ния наибольшего главного напряжения в зоне выточки представ­ лены на фиг. 12.7. Максимальное значение имеет место в 65-м узле и равно 64 576 Н/см2. Коэффициент концентрации напряжений, определяемый как отношение максимального напряжения к на­

117.Вычислите поверхностный интеграл в задаче 116 для слу­ чая нагрузки, показанной на рисунке.

118.Составьте матрицу жесткости для осесимметричного эле­

мента, изображенного на рисунке.

119. Вычислите поверхностный интеграл в задаче 116 для пере­ менной поверхностной нагрузки, приложенной к горизонтальной поверхности осесимметричного элемента.

120— 123. Определите распределение напряжений в одном из представленных выше тел. Получите исходную информацию об элементах с помощью программы разбиения GRID.

124.Вычислите узловые значения компонент напряжений в одной из задач 120— 123. Напряжения в элементах должны быть отперфорированы программой STRESS с тем, чтобы затем ввести их в программу CONSTR.

125.Измените программу STRESS так, чтобы ее можно было использовать для решения осесимметрических задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Fung Y. С., Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,

N.J., 1965.

2.Singer G. L., Strength of Materials, 2-nd ed., Harper and Row, N. Y., 1962.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Cooke R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, N. Y., 1974.

Martin H. C., Carey G. F., Introduction to Finite Element Analysis, McGrawHill, N. Y., 1973.

Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 1971; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элемен­ тов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.