Функции Ft> определяются из уравнений п линий, которые про ходят через все узлы, за исключением узла, для которого опреде ляется функция формы. Если рассматривается уравнение прямой
Фиг. 14.2. Перпендикулярные Ь\ линии, которые прохо дят через все узлы.
Li = c, то F&=Li—с. Знаменатель (14.4) есть значение Fa, определяемое с помощью координат узла р (узла, в котором вычисляется Np).
|
L3 |
Фиг. 14.3. Функции формы для |
линейного (а), |
|
|
квадратичного (б) и кубичного (в) треугольных |
|
4 ' |
элементов. |
|
|
|
а) N i - L b ATa « L 2, |
N 3 ~ L 3; |
|
|
7 |
а |
б) N i — Li(2Li — 1), |
N 2 = 4LI L2, |
|
N 3 « 1 2 ( 2 1 ^ — 1), |
W4 ~ 4 L 2L3, |
|
|
|
N b - L3(2L3 - 1), |
|
- 4L iL 3; |
|
|
|
«) ATi = |
\ |
Li(3Li - |
1) (3L! - |
2). |
|
|
N2= -|- LitjPL! - 1), |
|
|
|
W8 = -|-iit2(3L2 —1), |
|
|
|
— |
- i - |
Z.2(3L 2 - |
1) (3 L 2 - |
2), |
|
|
Wj“ *y t2I.8(3i-2 —•). |
|
|
|
N e — ^ m i O L a - I). |
|
|
7 |
W7 = -L Ls(3Ls - |
1) (3LS - |
2), |
|
|
We = |
|
i.3i-i(3L3 —I), |
|
W , = - |- Z .lZ .3 < 3 L i- l) ,
W10 = 27L1L2L3-
Функции формы для линейного, квадратичного и кубичного треугольных элементов приведены на фиг. 14.3. Определение этих функций иллюстрируется на следующих примерах.
Пример
142. Требуется определить функцию формы Ni для кубичного треугольного элемента.
Кубичный треугольный элемент имеет четыре узла на стороне. Следовательно, это элемент третьего порядка, п = 4— 1=3. Нужно найти три линии, которые проходят через все узлы, за исключени ем первого узла. Это сделать очень легко, и 'необходимые линии
показаны на фигуре. Уравнения |
|
этих |
линий: Li=0, Li = ’/3 и |
L\ = 2/3. Функции F имеют вид |
|
|
|
|
Fj — Lj— 0 — Lj, |
|
|
|
1 |
_ 3Lx— 1 |
F, = L , - - L |
= |
3 |
|
|
3 ~~ |
|
F3 = L t - |
|
3Li — 2 |
|
|
|
|
Вычислим значения функций Fe в первом узле |
(L i= l, Ь 2= Ь 3 = 0): |
F 1 1 1, о, о= |
1* |
|
|
|
|
3 .1 -1 |
__ |
2 |
|
|
|
‘ |
3 ’ |
Подставляя найденные величины в формулу (14.4), получаем
или
Пример
143. Требуется определить функцию формы N15 для треуголь
ного элемента четвертого порядка.
К задаче 143.
Так как порядок элемента равен четырем, нужно найти четыре линии, которые проходят через все узлы, за исключением узла 15. Три из них соответствуют сторонам треугольника Li = 0, L2 = 0 и L3 = 0. Четвертая линия проходит через узлы 12, 13, 14 и 6. Урав нение этой линии L3=V4; функции F& имеют вид
4
После подстановки этих выражений в формулу (14.4) и учета ко ординат 15-го узла (V4, 74, 7г) имеем
4 |
|
L i |
L 2 |
L 3 |
4L3 — 1 |
|
|
|
I 1/4, 1/4, 1/2 |
(1/4) |
(1/4) |
(1/2) |
4 /(1/4) |
|
|
|
|
|
или
^= 3 2 1 ^ ( 4 1 , - 1 ) .
14.2.Вычисление производных функций формы
Для вычисления частных производных dN$/dx и dN^fdy мож но воспользоваться процедурой, описанной в гл. 13. Некоторые изменения все же необходимо внести, поскольку мы теперь имеем дело с двумерной задачей и пользуемся координатами, которые не являются независимыми.
В качестве независимых координат выберем координаты L\ и Ь2. Дифференцируя соотношение (13.32), получаем
<Wp |
dNp |
dx |
, |
|
dy |
dLx " |
|
|
|
|
dx |
dL± |
1 |
dy |
dLx |
•Wp |
dNp |
dx |
, |
dNfi |
dy |
|
|
dL3 |
d l2 |
dL2 |
dx |
1 |
dy |
Матрица Якоби имеет вид
“ dx dL±
dx _ dLt
Поэтому
(14.7)
(14.8)
Чтобы учесть зависимую координату L3, можно поступить двоя ко: либо переписать все функции формы, выразив их через Li и 7-2, либо заметить, что
<Wp _ <Wp SLj | dN р dLt t d/Vp dL3
(14.9)
Производная dLi/dLi равна |
единице, |
a dL2/dLi равна нулю, так |
как L\ и Z-2 независимые. Третье слагаемое может быть вычислено |
с помощью соотношения |
1 —LI —L2. |
(14.10) |
L3= |
Дифференцируя его, имеем |
|
|
|
|
« а . |
, |
|
|
дЦ = — 1 - |
|
Теперь формула (14.9) преобразуется к виду |
|
алГр |
_ |
dN&_ |
3Wp |
(14.11а) |
dLx |
|
а/.х |
dLa |
|
|
Аналогичное выражение получаем для dNp/dL2: |
|
ajVp |
_ |
ал'р _ |
алгр |
(14.116) |
а/>2 |
|
оц |
д£*а |
|
|
Принятые в формулах (14.11а) и (14.116) обозначения могут |
сначала вызвать недоумение, |
потому что члены |
dNp/dLi и |
dN$/dL2 находятся в обеих частях равенства. Частная производная от iVp в левой части равенств вычисляется, когда N$ выражена как
функция независимых координат Ц и Ь2. В правой части функция N считается выраженной через L\, L2 и L3.
Соотношения преобразований координат, определяющие форму элемента, обычно записываются с использованием трех координат. Следовательно, при вычислении матрицы Якоби должны приме няться формулы (14.11а) и (14.116).
Применение сформулированных выше положений иллюстри руется на следующем примере.
Пример
144. Требуется вычислить dNA/dx в точке (1, 4) для квадратич ного треугольного элемента, показанного ниже.
К задаче 144. Узлы, используемые |
К задаче 144. Узлы, используемые |
для определения интерполяцион- |
для задания формы элемента, |
ного полинома. |
|
Форма элемента может быть задана с помощью линейных функ ций формы Li, Li и Ьг и координат узловых точек, расположенных в вершинах треугольника. Запишем формулы преобразований ко ординат
x= L 1X1 -f- L2X2 -j- L3X3,
y= L 1Y1 + L2Y2 + L3Y3.
После подстановки узловых координат имеем
x = 3 L 2 + L3, y = 2 L 2 + 6 L 3.
Вычислим производные, входящие в матрицу Якоби:
дх |
дх |
дх |
|
-1, |
|
dLx “ dLx |
dL3 |
|
|
дх |
дх |
дх |
— 3 |
_ |
1- |
dL2 ~ |
dL2 |
|
Л- |
дЦ |
|
|
|
dy |
ду |
ду |
_ |
6 , |
|
dLx —dLx |
dL3 |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dL2 = |
2 —( |
- 4 . |
|
|
обратная к ней матрица
[/] = |
— 1 |
—6' |
|
|
2! |
—4 ■ |
[ ^ Г = |
1 '—4 |
6 |
16 |
—2 |
— 1 |
Функция формы N4 есть 4LiL3 Дифференцируя ее по L\ и Li,
получаем
Подстановка этих частных производных вместе с [У] —1 в формулу (14.8) дает
дх |
j _1_ Г—4 |
6 |
| —4L2 |
j_ |
Г—8L, + 24Z.3l |
ЛМ±. | *™16 L—2 |
lj |
\4 (L3 - L 2) |
16 |
\ 12L2— 4L3 Г |
dy |
) |
|
|
|
|
ИЛИ
dNt
дх
0,5L2 + 1,5L3,
- ^ = 0 , 7 5 1 , - 0 , 25L3.
Эти два соотношения выполняются в произвольной точке элемента. Наша цель — определить производные в точке (1, 4). Для дости жения этой цели следует определить L-координаты данной точки. Используя преобразования координат, можно записать
1 = 0 L 1 + 3L2 + L3,
4 = 0 Lx -f- 2L2-f6L 3,
1 = L 1 + L2-f-L3.
Решением этой системы являются числа
Подставляя значения Ь2 и L3 в формулы для производных, полу
чаем
dNA |
0,5L2+ 1,5L 3= |
+ |
1,5-5 |
7 |
дх |
|
|
8 |
8 ■ |
dNA _ |
1 |
|
|
|
ду ~ |
16 • |
|
|
|
14.3. Составление матриц элементов |
|
|
Если интерполяционные соотношения |
содержат |
L-координаты, |
в уравнениях для элементов появляются интегралы по площади элемента следующего вида:
1 |
1 - L 2 |
|
Z = j |
J / (Llt L2 L3) \ m J \ \ d L l(iL2, |
(14.12) |
о |
о |
|
Эти интегралы должны быть определены численно, поскольку мат рица Якоби является функцией L-координат и невозможно полу чить явное выражение для обратной матрицы. Некоторые интег
ралы могли бы быть определены с помощью формул, представлен ных в третьей главе. Однако использование этих формул услож няется тем, что, прежде чем приступать к почленному интегриро ванию, требуется вычислить произведение матриц [B]T[D\ [В] . Ошибок будет меньше, если эту операцию интегрирования выпол нит ЭВМ.
Процедура численного интегрирования аналогична той, которая была рассмотрена применительно к одномерному элементу. В ра боте [1] предложено множество точек интегрирования для тре угольника, позволяющее упростить численные расчеты. Располо жение точек интегрирования и соответствующие весовые коэффи циенты приведены в табл. 14.1. Использование данных табл. 14.1 эквивалентно замене интеграла (14.12) суммой:
\ 1-й |
п |
|
f |
A, L3) H e t[y ]|^ i^ 2 = 5 ]r ^ |
(Ll’ L*> L*]' (14ЛЗ> |
О О |
1=1 |
|
где g(Lu L2, L3) |
включает | det[/] | . Порядок |
интерполирования |
определяется суммой показателей степеней, трех координат в каж |
дом члене. Например, если интегрируется произведение L\L2L%r
сумма показателей степеней которого равна четырем, следует ис пользовать схему интегрирования четвертого порядка точности из; табл. 14.1.
Пример
145. Требуется определить интеграл от произведения с сомно жителями dNAjdx и dNtldy по площади элемента, рассмотренного'
в задаче 144. Проверить ответ, применив для вычислений интег ральную форму (3.43).
Частные производные и матрица Якоби были определены в за даче 144. Они имеют вид
и | det [/] | =16. Запишем произведение
dNA |
dNA _ |
3 , 2 , 10 тг |
3 т* |
~д~х |
ЖГ~~ |
8 |
8 |
В этом выражении каждый член представляет собой произведение второго порядка, поэтому при интегрировании можно ограничить-
Таблица 14.1
Формулы численного интегрирования для треугольников
Ошибка |
Точки |
Координаты |
Весовые |
коэффициенты |
Л/ \Ч
Ус0 Ч.
/ / оЬ 00 d о \ ^
яе
/\
Ъч О |
О "ой |
/ o f |
о С SrO\ |
а = 0 ,05961587
0=0,47014206
7=0,10128651
Д =0,79742699
^-a ^8
R = 0 ( h 2) |
a |
7a |
0 |
7a |
7 . |
b |
7a |
7a |
0 |
7. |
|
c |
0 |
7a |
7a |
7 . |
|
a |
V. |
7 , |
7s |
—*7»e |
R = 0(h *) |
b |
u /16 |
7is |
2/is |
26/ee |
|
c |
7 » |
7xs |
“/is |
|
d |
7u |
l7 i. |
7 u |
|
|
a |
7s |
7* |
7s |
27i,o |
R —0(h*) |
b |
7» |
0 |
7a |
|
|
c |
7a |
7a |
0 |
8/l20 |
|
d |
0 |
7a |
7a |
|
|
e |
0 |
0 |
1 |
|
|
f |
1 |
0 |
0 |
3/l20 |
|
S |
0 |
1 |
0 |
|
R = 0 ( h «) |
a |
7s |
Vs |
7s |
0,11260 |
b |
a |
0 |
0 |
0,66197075 |
|
c |
0 |
0 |
a |
|
d |
P |
a |
0 |
|
|
e |
V |
Y |
Д |
|
|
f |
A |
Y |
Y |
0,06296959 |
ся схемой второго порядка точности. Координаты точек интегриро вания:
L2 = 0 ,
L„=Q
и
Ьг= 0 .
Каждая точка интегрирования имеет весовой коэффициент */6. Интеграл в (14.13) преобразуется к виду
1 1—La
z = j J ( - 4 Ll + ~ irL 2L3— §- Lg|| det [J] | dLxdL2=
|
|
|
|
|
|
|
U, Q , |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
где |
|
|
|
|
|
|
|
g l ( L i, L j , L 3) = ^ — |
^ |
H— y g - L 2L 9 •— 4 £ * ) I d e t [ ^ ] I» |
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gi(Li, |
L29 |
Ls) = —6 L\ + 20L2L3— 6Ц, |
так как |
|
|
|
| det [У] |= |
16. |
|
|
|
|
|
|
Для первой точки интегрирования LI= L 3 = 72, L2= О и |
Для других точек интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
ё2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
£8= 2 . |
|
|
Подставляя эти результаты в формулу |
(14.13), получаем |
7 |
1 |
, 1 |
, 1 |
|
1 / 3 |
з . 0 \ |
Z = _ 6" Л + Т S-2 + T л — г ( 2 Т + 2 ) ---------
