4.3.3.Постановка задачи приближенного синтеза механизмов по Чебышеву

Пусть, например, требуется спроектировать механизм, некоторый параметр которого (угол давления, перемещение некоторой точки, ее скорость или ускорение, сила, развиваемая выходным звеном механизма, и т.п.) изменяется по закону, описываемому заданной функцией F(x). Однако, как правило, невозможно создать механизм, имеющий строго заданные свойства. Поэтому стремятся создать механизм со свойствами, наиболее близкими к заданным. В рассматриваемом случае стремятся создать механизм, изменения заданного параметра которого описываются функцией Р(S,x), близкой в некотором смысле функции F(x). Отсюда и происходит термин «приближенный синтез механизмов».

В функциях Р(S,x) и F(x) вектор х определяет положение механизма и поэтому число его компонент равно числу входных звеньев механизма, а число и физическое содержание компонентов вектора S зависит от назначения и структуры механизма, геометрии и размеров его звеньев и других причин. Например, если проектируется шарнирный четырехзвенник, заданная точка шатуна которого описывает кривую, близкую к заданной кривой y = F(x), то вектор х имеет один компонент, а вектор S зависит от девяти постоянных параметров механизма, смысл которых рассмотрен выше.

Проектирование механизма со свойствами, близкими к заданным, сводится к подбору таких величин его параметров, при которых отклонение функций P(S,x) и F(x) в некотором смысле остаётся минимальным. В этом и заключается задача приближенного синтеза механизмов.

Выбор вектора R параметров синтеза из условия минимума отклонения  функций P(S,x) и F(x) можно осуществить одним из рассмотренных выше методов оптимизации, а также методами теории приближения функций. Впервые методы теории приближения функций в синтезе механизмов использовал П.Л.Чебышев, который разбил синтез на три этапа.

На первом этапе выбирается основное условие синтеза, а затем в аналитической форме записываются выражение для  и ограничения. Подобный этап имеется и в решении задач синтеза механизмов с использованием ЭВМ, когда целевая функция  и ограничения задавались в любом виде, пригодном для вычислений. В этом существенная разница методов синтеза с использованием теории приближения функций и методов синтеза с использованием ЭВМ.

На втором этапе выражение для отклонения  упрощается в том случае, если оно получилось сложным. От того, насколько при таком упрощении учитывается физическая природа задачи, во многом зависит успех ее решения.

Наиболее удобный и часто используемый на практике способ упрощения выражения для отклонения  состоит в замене отклонения взвешенным отклонением. Этот способ был также предложен П.Л. Чебышевым и впоследствии обобщен Н.И. Левитским.

Взвешенным отклонением называется функция

,

где q – вес: непрерывная по всем аргументам, отличная от нуля для любых S и x функция параметров синтеза и положения механизма. Взвешенное отклонение нужно выбирать так, чтобы его величина мало изменялась. В этом случае минимумы исходного (S,x) и взвешенного q(S,x) почти совпадут, а выражение для q и решение соответствующей задачи значительно упростятся.

Пример. Пусть на первом этапе решения задачи приближенного синтеза получилось отклонение

.

Использование этого нелинейного по параметрам синтеза выражения для определения неудобно. При достаточно малом 

.

Вводя вес

,

получают взвешенное отклонение

,

которое гораздо проще выражения для исходного отклонения. Поскольку вес почти постоянен, то минимумы  и q почти совпадают, что позволяет рассматривать далее q вместо .

На третьем этапе из условия минимума взвешенного отклонения определяются параметры синтеза, то есть компоненты вектора R.

При этом в зависимости от природы задачи синтеза, а также свойств функции q могут использоваться различные методы теории приближения функции, в том числе и рассмотренные выше.