4.2.7.Комбинированный поиск

Для уменьшения объема вычислений в синтезе механизмов используется комбинированный поиск, при котором сначала методом случайного поиска находят подобласти области G, в которых возможны локальные минимумы. Затем в этих подобластях задаются начальные точки и методами направленного поиска определяют локальные минимумы, сравнив которые между собой, находят глобальный минимум.

Рассмотренные методы минимизации функций при ограничениях на переменные являются весьма общими и поэтому они используются в самых различных точных науках.

4.3.Методы теории приближения функций в синтезе механизмов

4.3.1.Необходимость использования в синтезе механизмов приближенных методов

Рассмотренные выше методы оптимизации с использованием ЭВМ позволяют решать любую задачу синтеза механизмов с большой точностью, Однако качественный анализ таких решений, то есть оценка влияния значений разных параметров синтеза (особенно входных параметров синтеза) на решение в целом, весьма затруднен. Поэтому часто в основном для решения простых задач синтеза с небольшим числом выходных параметров синтеза используются методы теории приближения функций. Такие методы дают приближенное решение в аналитической форме, что облегчает качественный анализ решений.

4.3.2.Сведения из теории приближения функций

Пусть в некоторой области G_x функцию y=Р(S,x) требуется приближенно заменить близкой к ней функцией y=F(x). Функция Р(S,x) называется заданной, а функция F(x) – аппроксимирующей. Вектор S имеет компоненты S_i (i=1,2,…,n), зависящие от компонентов вектора R параметров синтеза.

Теория приближения функций в многомерном пространстве, когда вектор х имеет более одного измерения, весьма сложна и поэтому здесь не рассматривается. Сущность методов теории приближения функций будет рассмотрена на примере одномерного пространства, когда область G_x является отрезком [a,b] оси х.

Интерполирование функций является простейшей задачей теории приближения функций. Пусть дана функция F(x), определенная на отрезке [a,b] оси x. Интерполяцией называется замена функции F(x) некоторой функцией Р(S,x), совпадающей с F(x) в заданном числе точек отрезка [a,b], называемых узлами интерполяции. Отрезок [a,b] называется областью интерполяции (рис. 4.9).

Рис. 4.83

Близость функций F(x) и P(S,х) будет достигнута при выполнении соотношений

,

где x_j – абсцисса узла интерполяции;

k – число узлов.

Для облегчения решения задачи интерполяции функцию Р(S,x) ищут в виде

, (4.23)

где f_i(x) – заранее выбираемые функции, непрерывные, линейно независимые и определенные на отрезке [a,b];

S_i – постоянные величины, зависящие от компонентов вектора R, подлежащие определению;

n – число функций, равное размерности вектора RS.

Функция типа (4.23) называется обобщенным полиномом, так как в зависимости от выбора f_i(x) получаются степенные, тригонометрические или другие полиномы.

Величины S_i определяются из системы k линейных алгебраических неоднородных уравнений

, (4.24)

содержащих n неизвестных. Если и n=k, то эта система имеет единственное решение при определителе, отличном от нуля. Проблемы существования решений в более сложных случаях и методы решения в этих случаях рассматриваются в линейной алгебре. Условия близости, налагаемые на функции F(х) и Р(S,x) при интерполяции, выполняются только в узлах. Поэтому в не узловых точках отклонения этих функций могут быть недопустимо большими (рис. 4.10).

Рис. 4.84

В таких случаях либо используют другие методы теории приближения функций, либо изменяют понятие близости функций F(x) и Р(S,x), требуя, например, чтобы в узлах совпадали не только значения, но и производные этих функций до порядка m включительно. Такую близость называют близостью m+1 порядка, а интерполяцию – краткой интерполяцией порядка m+1. При такой интерполяции должны выполняться условия (j = 1,2,3,…,k):

Узлы, в которых эти соотношения выполняются, называют узлами кратности m+1.

Таким образом, интерполяцию функций можно определить как процесс конструирования функции P(S,x) из некоторых заданных функций в соответствии с заданными условиями близости функции к функции F(x) в заданных точках заданной области интерполяции.