4.2.4.Штрафные функции

Рассмотренные выше методы поиска учитывали ограничения на параметры синтеза. Проверка ограничений и выбор точек внутри области G сами по себе являются задачами, по сложности не уступающими задаче минимизации целевой функции. Поэтому разработаны методы, сводящие задачи минимизации с ограничениями к задачам минимизации без ограничений. Одним из таких методов является метод штрафных функций, называемый иногда «методом штрафов».

Существует две модификации метода штрафных функций: метод внешних штрафных функций и метод внутренних штрафных функций.

Метод внешних штрафных функций. В пространстве параметров синтеза E_R определяются функции f_i(R,x), число которых равно числу Р ограничений задачи. Эти функции должны быть в области G отрицательными, а вне области G положительными. Вместо функции Ф рассматривается целевая функция

где  – достаточно большое число:

,

x^* – вектор положения механизма, выбираемый в соответствии с типом задачи оптимизации:

Поэтому если точка , то добавка к функции Ф(R) равна нулю. Если же , то к значению Ф(R) добавляется большое положительное число (штраф)

.

Таким образом внутри G:

,

а выход за пределы G «наказывается» штрафом. Отсюда и происходит название метода – метод внешних штрафных функций. Штрафные функции выбираются в зависимости от вида ограничений.

Например для ограничений вида 0<r_i<a_i, где a_i – заданные числа, штрафные функции можно выбирать в виде

.

4.2.5.Метод внутренних штрафных функций (метод барьеров)

В области G определяются такие функции , что их значения неограниченно возрастают при приближении к границе области G изнутри области. Вводится вместо целевой функции Ф(R) целевая функция

где  – достаточно малое число:

,

x^* – вектор положения механизма, выбираемый в соответствии с типом задачи оптимизации. Для ограничений (0 < r_i < a_i)

.

Значения такой функции стремятся к бесконечности при приближении точки R к границе области G, а внутри G – определяются, в основном, величиной .

Метод штрафных функций только устраняет ограничения задачи оптимизации и не является методом решения этих задач. Поиск минимума целевой функции Ф(R) сводится методом штрафных функций к поиску минимума функции , осуществляемому одним из рассмотренных выше методов. Основная трудность в реализации метода штрафных функций состоит в подборе величин  или .

4.2.6.Локальный и глобальный экстремумы

В общем случае целевая функция может иметь несколько минимумов, отличающихся абсолютной величиной. Минимум с минимальным модулем называется глобальным, а остальные минимумы – локальными. На рис. 4.7 показан график целевой функции одной переменной r₁, у которой имеется три минимума.

Рис. 4.81

Глобальный минимум Ф соответствует точке r₁= a₂, а локальные минимумы – точкам r₁= a₁ и r₃= a₃.

В многомерном пространстве параметров синтеза Е_R минимум целевой функции Ф определяется следующим образом. Пусть R^* некоторая точка области G и пусть Ф^*=Ф(R^*) значение Ф в этой точке. Тогда точка R^* будет точкой локального минимума Ф, если неравенство Ф^* Ф выполняется только для точек R, достаточно близких, и будет точкой глобального минимума, если это неравенство выполняется для всех точек R области G.

Рассмотренные выше методы направленного поиска приводят в общем случае к локальным минимумам целевых функций, то есть результат поиска зависит от выбора начальной точки R⁽⁰⁾, в этом главный недостаток методов направленного поиска, за счет которого они не могут применяться в решении задач оптимизации, для которых целевая функция имеет в области G несколько минимумов. Эти методы эффективны при минимизации целевых функций, имеющих внутри G только один минимум.

Если же свойства целевой функции неизвестны, то для решения задач минимизации этих функций приходится задавать довольно много начальных точек, решая каждый раз соответствующую задачу. Затем, если результаты минимизации оказываются разными для разных исходных точек, выбирают наименьший из полученных минимумов. При этом требуется большой объем вычислений.

Метод случайного поиска дает глобальный минимум целевой функции, но также требует большого объема вычислений. Даже при минимизации целевых функций, имеющих в области G единственный минимум, необходимо учитывать свойства функции, проявляющиеся в форме поверхности

Ф = Ф(R).

Различают два типа форм поверхностей. Для первого типа (поверхность типа воронки) поверхности уровня

Ф(R) = const

близки к многомерным сферам. Для второго типа (поверхность типа «оврага») поверхности уровня вытянуты в направлении одной или нескольких осей координат, в которых задана область G пространства Е_R параметров синтеза.

Названия этих типов поверхностей уровня получены из рассмотрения их форм в случае двумерного пространства Е₂ параметров синтеза. В этом случае поверхности уровня вырождаются в линии уровня.

При этом поверхностям типа воронки соответствуют кривые, близкие по форме к окружностям (рис. 4.8, а), а поверхностям второго типа – кривые, вытянутые вдоль какой-либо кривой, называемой «дном оврага» (рис. 4.8, б).

Рис. 4.82

При случайном поиске и переборе небольшого числа точек области G точку на «дне» оврага можно ошибочно принять за точку минимума целевой функции. При направленном поиске, например методом градиентного спуска, может оказаться, что движение в антиградиентном направлении из точки, расположенной на одном из склонов оврага, может привести на другой склон. Поэтому движение к точке минимума будет происходить по зигзагообразной ломаной линии, и это будет замедлять сходимость процесса поиска. Для решения задач минимизации обратных целевых функций существуют специальные модификации методов направленного поиска.