2.5.Приведение сил и масс в плоских механизмах

Уравнения движения механизмов могут быть представлены в различных формах. Для механизмов с одной степенью свободы (W=1) одна из наиболее простых форм получается на основании теоремы об изменении кинетической энергии системы в конечной форме (в отличии от дифференциальной формы dT=dA):

, (2.21)

где n – число подвижных звеньев механизма,

k – число силовых факторов (сил и моментов сил), действующих на механизм.

T_i – кинетическая энергия звена с в конце рассматриваемого перемещения.

T_i0 – то же в начале рассматриваемого промежутка.

– сумма работ всех действующих на механизм внешних сил и моментов сил на рассматриваемом перемещении механизма из начального его положения в конечное.

Это уравнение очень громоздко даже для механизмов с небольшим числом звеньев вследствие необходимости производить суммирование по звеньям. Для механизмов с W=1 можно получить более простую форму записи, при которой операции суммирования выполняются заранее, а механизм представляется в виде модели с обобщенными параметрами, к которым относятся обобщенная координата, скорость, ускорение, момент инерции, сила. С этой целью заменим уравнение движения механизма тождественным ему уравнением движения одного звена (или одной точки звена), которое движется так, что его обобщенная координата совпадает в любой момент времени с обобщенной координатой механизма. Пусть начальное звено механизма совершает вращательное движение. Уравнение движения механизма можно заменить тождественным ему уравнением движения одного вращающегося звена, которое называется звеном приведения. Момент инерции этого звена относительно оси вращения J_n называется приведенным моментом инерции. Примем также, что на звено приведения действует приведенный момент сил М_n. Полученная таким образом расчетная схема называется одномассовой моделью механизма.

Пользуясь понятиями об обобщенных параметрах (рис. 2.24), запишем уравнение движения звена приведения в форме изменения кинетической энергии.

, (2.22)

где _0, _0, J_n0 – обобщённые параметры звена приведения в начальном положении соответственно – обобщённая координата, скорость вращения, момент инерции.

Рис. 2.51

Чтобы уравнение (2.22) было тождественно уравнению (2.21), необходимо выполнение следующих условий:

и для любого 

. (2.23)

Дифференцируя по времени формулу (2.23), будем иметь:

или

,

или

,

т.е. мгновенная мощность приведенного момента сил равна сумме мгновенных мощностей всех приводимых сил и моментов сил. Это выражение можно переписать так:

, (2.24)

знак указанной суммы определяет взаимное направление M_n и .

Пользуясь формулой (2.24), можно различные силы приводить отдельно (например силы движущие и силы сопротивления).

Приведенный момент инерции определяется как

(2.25)

Приведенный момент инерции – это такой момент инерции звена приведения, который вычислен из условия, что кинетическая энергия этого звена равна кинетической энергии всего механизма.

Создавая динамическую модель механизма, можно вместо звена приведения избрать точку приведения, которая, располагаясь на звене приведения, обладает приведенной массой m_n и движется под действием приведенной силы (рис. 2.25).

Рис. 2.52

В этом случае:

Как видим, J_n и m_n не зависят от скорости ( и V₁). В дальнейшем нам потребуется определять производную dJ_n/d

Слагаемые под знаком суммы представляют собой мгновенные мощности и поэтому их знаки определяются (по планам скоростей и ускорений) путем сопоставления направлений , а также _i и _i.

Пример. Определение J_n и (рис. 2.26).

Все данные берем из планов скоростей и ускорений. Видим, что если в данном положении скорость ведущего звена увеличится, то J_n не изменится, т.к. план скоростей остается подобным прежнему (штриховые линии на рис. 2.26) и поэтому один и тот же множитель войдет в числитель и знаменатель дроби, от чего она не изменится. J_n не зависит от скорости, он изменяется с изменением положения 1-го звена, являясь функцией обобщенной координаты ₁ (рис. 2.26, график J_n()).

Рис. 2.53

Приведенный момент инерции машины всегда можно представить состоящим из переменной и постоянной частей:

,

где , где

Отнесем к первой группе звенья, движения которых связано с движением ведущего звена постоянным передаточным отношением (в данном случае это само звено 1, т.е. /₁ = const = 1). Звенья 1 группы вносят в J_n постоянный вклад.

Ко второй группе звеньев отнесем звенья, движение которых связано с движением ведущего звена переменным передаточным отношением, и поэтому вклад этих звеньев в общее значение J_n переменный. Найдем dJ_n/d₁, считая ₁=const. Мы вправе считать ₁=const, т.к. J_n не зависит от ₁, а следовательно, и его производная dJ_n/d₁ также не зависит от скорости, т.е., вообще говоря, ни J_n, ни его производная dJ_n/d₁ не зависят от характера движения звена приведения. Итак,

Сопоставляя направления соответствующих скоростей и ускорений, имеем

Уравнение движения машины составим на основе уравнения Лагранжа II рода. Для системы с одной степенью свободы будем иметь

,

где .

Q – множитель при дифференциале обобщенной координаты в выражении для элементарной работы, а само произведение представляет элементарную работу

,

значит,

,

тогда уравнение в новых обозначениях примет вид

. (2.26)

Найдем производную :

,

т.к. .

Продифференцируем этот результат по t, т.е. найдем :

. (2.27)

Найдем теперь производную

. (2.28)

, т.к. мы находим частную производную этого произведения при  = const. Кроме того, , т.е. частная производная по  равна полной производной приведенного момента инерции, т.к. эта величина является функцией одной переменной –  и не зависит от . Подставляя полученные результаты (2.27 и 2.28) в первоначальное уравнение (2.26) получим

,

или окончательно

. (2.29)

Проделав аналогичные преобразования, можно получить уравнение движения машины в другом виде:

. (2.30)

Ранее было на примере кривошипно-ползунного механизма определено J_n и dJ_n/d с определенным знаком производной.