4.1.5.Ограничения

При решении задач синтеза механизмов математическими методами дополнительные условия синтеза также нужно представить в форме, удобной для вычислений. Эти условия называются ограничениями и выражаются равенствами или неравенствами, задающими область G допустимых параметров синтеза, называемую также областью существования механизма. Целевая функция должна вычисляться только для параметров из области G, то есть для параметров, удовлетворяющих ограничениям. Поэтому область G является областью определения целевой функции.

В первом примере ограничения должны быть наложены на длины звеньев a, b, c, d. Пусть имеются четыре параметра r₁, r₂ , r₃ , r₄, которые в совокупности принимают четыре значения a, b, c, d. Тогда если выполнить условия

r₁ < r₂ < r₃ < r₄  mr₁, (4.14)

то звенья механизма не будут слишком длинными или слишком короткими, так как при этом самое короткое звено не будет по длине меньше самого длинного звена в m раз.

Область существования механизма, определяемая первым ограничением (4.14), показана на рис. 4.3. Область же существования, определяемая всеми ограничениями (4.14), может быть описана только в четырехмерном пространстве и поэтому не допускает наглядного представления.

Рис. 4.77

Введенных ограничений, однако, еще недостаточно для того, чтобы проектируемый четырехзвенник был кривошипно-коромысловым. Для этого нужно выполнить условие существования кривошипа, утверждающее, что кривошип должен быть наименьшим звеном механизма и, кроме того, сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев должна быть меньше суммы длин двух других звеньев. Тогда к ограничениям (4.14) нужно добавить ограничение

r₁+r₄<r₂+r₃ (4.15)

Любые четыре числа, удовлетворяющие ограничениям (4.14) и (4.15), могут быть длинами звеньев проектируемого четырехзвенника. Например можно положить a=r₁, d=r₄, а длины b и c могут быть любыми из чисел r₂, r₃.

Последнее ограничение должно быть наложено на угол давления. Угол давления должен быть меньше допустимого угла давления [ ]:

  [] (4.16)

Для шарнирных механизмов, предназначенных для воспроизведения заданных кривых и называемых поэтому направляющими механизмами, [ ] = 45–60°.

Величина  определяется по заданным значениям a, b, c, d и выражением (4.16). Если эти значения таковы, что ограничение не выполняется, то следует изменить один или несколько параметров a, b, c, d.

При задании ограничений на массы и моменты инерции звеньев во втором примере нужно учитывать, что массы и моменты инерции звеньев также зависят в некоторых пределах от длин звеньев. Таким образом, ограничения разного типа содержат в общем случае разные параметры синтеза и оказываются взаимосвязанными.

4.1.6. Математическая постановка задачи синтеза механизма

Реальные механизмы современной техники имеют достаточно большое число звеньев и должны удовлетворять множеству требований. Поэтому число параметров и число ограничений на них, как правило, очень велико. Поэтому синтез большинства механизмов немыслим без использования вычислительной техники и методов оптимизации, широко использующих аппарат линейной алгебры.

Для формулировки задачи оптимизации в терминах и обозначениях линейной алгебры вводится вектор R , компоненты которого являются параметрами синтеза механизма.

Для первого примера

R = {a, b, c, d, k, x_A, y_A, , }^T, (4.17)

для второго примера

R = {r, , e, x₀, y₀, ₁, _BS1, _BS2, m₁, m₂, m₃, J_S1, J_S2, k_n }^T. (4.18)

С учетом введенного вектора R параметров синтеза ограничения на эти параметры можно записать в виде

f(R,x)  0, (4.19)

где f – вектор ограничений;

x – вектор, характеризующий положение механизма.

Число компонентов x равно числу входных звеньев механизма.

Неравенство (4.l9) задает в многомерном, евклидовом пространстве некоторое множество G векторов R.

Пусть Ф = Ф(R) целевая функция задачи оптимизации и пусть цель синтеза – определение параметров синтеза (вектора R), минимизирующего в области G. Тогда задача оптимизации механизма может быть сформулирована следующим образом:

; (4.20)

. (4.21)

В число ограничений (4.21) входят и ограничения на положения входных звеньев.

Пример. Пусть ограничения на положения звеньев отсутствуют, а вектор R имеет только два компонента, на которые наложены простейшие ограничения

(4.22)

В плоскости r₁0r₂ эти ограничения определяют множество в виде прямоугольника (рис. 4.4).

Рис. 4.78

Функция Ф=Ф(r₁,r₂) определяет в системе координат ОФr₁r₂ некоторую поверхность. Точка Ф* этой поверхности, наименее удаленная от плоскости Ф=0, определяет оптимальное значение целевой функции, а координаты этой точки определяют оптимальные параметры синтеза.