4.3.2.1.Квадратичное приближение функций

Отмеченный выше основной недостаток интерполяции первого порядка частично устраняется при квадратичном приближении функций, когда близость функций P(S,x) и F(x) оценивается по малости их среднего квадратичного отклонения

,

где b и a – конечная и начальная точки отрезка, на котором производится приближение функций.

Среднее квадратичное отклонение интерпретируется как корень квадратный из величины ординаты прямоугольника (рис. 4.11) равновеликого по площади графика квадрата отклонения

P = P(S,x) – F(x)

функций Р(S,x) и F(x) на отрезке [a,b].

Рис. 4.85

Величина минимальна и равна нулю при условии, что равен нулю интеграл

,

что возможно только при тождестве функций Р(S,x) и F(x) на отрезке [a,b].

Пусть функция Р(S,x) ищется в виде обобщенного полинома (1). Тогда компоненты вектора

определятся из условия

.

Если на величину S_i не наложено никаких ограничений, то они могут быть определены из условия минимума 1 как функции переменных , записываемого в виде системы уравнений (k = 1,2,…,n)

,

или более подробно

. (4.25)

Пусть

где k и j принимают любые значения от 1 до n.

Тогда система (4.25) примет вид

.

В частном случае, если функции f_k(х) удовлетворяют условиям ортогональности (j,k = 1,2,…,n)

. (4.26)

система (4.25) принимает наиболее простой вид

.

Отсюда сразу определяются искомые величины

,

а по ним – компоненты вектора R.

В частном случае, когда функция P(S,x) является отрезком ряда Фурье, условия ортогональности (4.26) выполняются и величины S_k являются коэффициентами разложения функции F(x) в ряд Фурье на отрезке [a,b].

Следует отметить. что на функцию P(S,x) и функции F_i(x) при квадратичном приближении должно быть наложено единственное условие: они должны быть интегрируемыми на отрезке [a,b]. Поэтому квадратичное приближение обеспечивает малость отклонения  в среднем, а не всюду на отрезке [a,b], то есть в некоторых, достаточно малых областях отрезка на отрезке [a,b] это отклонение может быть весьма большим или бесконечно большим (рис. 4.12).

Рис. 4.86

Однако для гладких, наиболее распространённых на практике функций P(S,x) подобное явление почти не встречается.

4.3.2.2.Наилучшее приближение функций

Наилучшее приближение функций производится из условия малости максимального отклонения аппроксимирующей функции P(S,x) от заданной функции F(x). Такое приближение свободно от недостатков приближения интерполяцией и квадратичного приближения функций.

Условия наилучшего приближения были указаны П.Л. Чебышевым для одного класса приближающих функций – полиномов Чебышева. Согласно этим условиям отклонение P(S,x) – F(x) функций Р(S,x) и F(x) должно определенное число раз достигать своего экстремума последовательного меняя знаки. Геометрический смысл этого условия виден из рис. 4.13: кривая Р(S,x) должна находиться между кривыми F(x) + L и F(x) – L. Такое приближение получается в случае, если число предельных отклонений не меньше некоторого числа, зависящего от класса приближающих функций и других условий. При выполнении этих условий приближение называется равномерным, так как отклонение  достигает своих экстремумов, колеблясь около нуля.

Рис. 4.87

Если, например, P(S,x) является степенным полиномом степени n–1, то условия наилучшего приближения почти всегда выполняются, если число предельных отклонений равно n+1, то есть на единицу больше числа неизвестных компонентов S_i. Далее во всех рассуждениях это условие предполагается выполненным,

Пусть P(S,x) взята в виде (4.23). Условие наилучшего приближения записывается в виде системы уравнений:

; (4.27)

, (4.28)

где x_j – абсциссы точек предельных отклонений (j = 1,2,…,n+1).

Эта система 2(n+1) уравнений содержит 2(n+1) неизвестных: n – величин S_i (i=1,2,…,n), величину L и n+1 абсциссу точек предельных отклонений.

Уравнения системы (4.27) получены из условий достижения отклонением  предельных значений в точках x. Уравнения системы (4.28) получены из условия равенства нулю производной от отклонения  в точках предельных отклонений.

Из совместного решения систем уравнений (4.27) и (4.28) получаются искомые величины компонентов вектора S, при которых функция Р(S,x) будет наилучшим приближением к функции F(x) на заданном отрезке.

Следует отметить, что уравнения систем (4.27) и (4.28) нелинейны по неизвестным х_j (j=1,2,…,n+1) и линейны по S_i (i=1,2,…,n) и L. Поэтому решения этих уравнений в общем случае является непростой задачей. На практике чаще всего пользуются при решении этих уравнений методом последовательных приближений.