4.1.4.Целевая функция
Основное условие синтеза требует, как правило, экстремизации основного качества механизма. При математическом решении задачи синтеза это условие должно быть выражено в виде экстремума некоторой функции по выходным параметрам синтеза. Выходные параметры механизма, сообщающие экстремум этой функции, и сам механизм называются оптимальными. Процесс проектирования оптимального механизма называется оптимизацией. Целью оптимизации является экстремизация основного качества механизма. Поэтому функция, экстремум которой определяет оптимальный механизм, называется целевой функцией, или критерием оптимизации.
Целевая функция должна допускать ее вычисление. Для оптимизации механизма, указанного в примере 1 целевую функцию можно задать в виде:
V=max|V(x)|, (4.2)
где V(x)=yM(x)
– f(x);
;
yM – ордината точки М шатуна.
Тогда основное условие синтеза механизма имеет вид
Vmin.
Очевидна зависимость
x=x(a, b, c, d, k, xA, yA, , , ), (4.3)
то есть, функция V является сложной функцией положения механизма и девяти параметров синтеза. Для решения задачи оптимизации рассматриваемого механизма аналитическую форму зависимости функции V знать не обязательно: достаточно только указать алгоритм (последовательность действий) для ее вычисления по заданным параметрам синтеза. Из рис. 4.1 видно, что
; (4.4)
. (4.5)
Пусть реакция в шарнире направлена вдоль отрезка ВС. Тогда угол давления шатуна 2 на коромысло 3 равен
, (4.6)
поскольку
. (4.7)
Шатун наклонен к стойке под углом
. (4.8)
Проектирование на оси системы координат ломаной линии ОАВМ дает координаты точки М:
(4.9)
Подстановка в эти выражения величины , выраженной через параметры синтеза, дает зависимости xM и yM оси этих параметров и угла . Далее определяется функция V(x) и затем функция
V = V (a, b, c, d, k, xA, yA, , , ) (4.10)
Во втором примере целевой функцией является время t поворота кривошипа из начального положения 0 на заданный угол 1. Пусть скорость кривошипа в конечном положении может быть любой, а в начальном положении при t = 0 эта скорость равна нулю и механизм находится в покое. Пусть кривошип выбран за звено приведения и его положение характеризуется углом . Тогда уравнение движения механизма примет вид
, (4.11)
где Мn, Jn – приведенные моменты сил и момент инерции механизма; – угловая скорость звена приведения.
Время поворота механизма на угол 1
(4.12)
является функцией 14 параметров синтеза:
t = t(r, , e, x0, y0, 1, BS1, BS2, m1, m2, m3, JS1, JS2, kn). (4.13)
В рассмотренных примерах оптимальные параметры механизмов определялись из условий минимума целевых функций. В некоторых задачах оптимизации требуется определить параметры, сообщающие максимум целевым функциям, Так, например, рассмотренные выше задачи оптимизации можно заменить задачами поиска максимумов целевых функций:
V = –max |V(x)|,
.
Если по каким-либо причинам невозможно выбрать основное условие синтеза, то проводят несколько попыток синтеза механизма по различным критериям. Затем сравнением полученных вариантов оптимального механизма между собой выбирается лучший в каком-то смысле, компромиссный вариант механизма.