Тема 3. Принятие оптимального решения в условиях экономического риска

3.1. Вероятностная постановка принятия предпочтительных решений

Риск — категория вероятностная, поэтому в процессе оценки неопределенности и количественного определения риска исполь­зуют вероятностные расчеты.

Вероятностные задачи характеризуются тем, что эффектив­ность принимаемых решений зависит не только от детерминиро­ванных факторов, но и от вероятностей их появления, т.е. извес­тен закон распределения управляемых факторов X в виде:

x	x1	x2	…	xn
P	P1	P2	…	Pn

где P_i есть вероятность появления управляемого фактора х_i, i = .

Каждой паре (х_i, Р_i) соответствует значение функции эффек­тивности E(x_i, P_i). В качестве показателей эффективности могут выступать математическое ожидание Е, дисперсия D, среднее квадратическое отклонение и другие вероятностные характеристики.

(3.1)

где Е² — среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величи­ны.

Средняя величина Е представляет собой обобщенную количе­ственную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Среднее квадратическое отклонение σ является именованной величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое от­клонение являются мерами абсолютной колеблемости.

Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений ΔХ = Х - Е, более наглядных для оценивания рисков. Тем не ме­нее, задание дисперсии позволяет установить связь между линей­ным и квадратичными отклонениями с помощью известного не­равенства Чебышева.

Вероятность Р того, что случайная величина X отклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный до­пуск ε > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на ε², т.е.

(3.2)

Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут распола­гаться внутри ε — окрестности ожидаемого значения Е.

Все более признанным становится оценка рискованности по­средством среднего квадратического отклонения σ.

Итак, будем считать, что риском операции называется число σ — среднее квадратическое отклонение управляемого фактора (например, дохода) X операции, которое обозначим r = σ.

Если, например, под X понимать случайный доход Q, то E_Q представляет собой средний ожидаемый доход, или эффектив­ность, а среднее квадратическое отклонение σ_Q является оценкой рискованности, риском и обозначается r_Q.

Коэффициент вариации V — безразмерная величина. С его помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, вы­раженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка раз­личных значений коэффициента вариации: до 10% — слабая колеблемость, 10—25% — умеренная колеблемость, свыше 25% — высокая колеблемость.

С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпри­нимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее до­ходов) за некоторый промежуток времени.

Преимуществом данного метода оценки предпринимательско­го риска является несложность математических расчетов, а явным недостатком — необходимость большого числа исходных данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска).

Рассмотрим данный метод на конкретном примере. Сравним по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из них по своему откликается на возможные рыночные ситуации, дости­гая с известными вероятностями определенных значений доход­ности (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Тип акций	Ситуация 1		Ситуация 2
	вероятность	доходность	вероятность	доходность
А	0,5	20%	0,5	10%
В	0,99	15,1%	0,01	5,1%
С	0,7	13%	0,3	7%

По формулам (3.1) находим для акции А:

Е_А = 20 • 0,5 + 10 • 0,5 = 15%,

D_A = (20 - 15)² • 0,5 + (10 - 15)² • 0,5 = 25,

σ_A = =5%,

для акции В:

Е_B = 15,1 • 0,99 + 5,1 • 0,01 = 15%,

D_B = (15,1 - 15)² • 0,99 + (5,1 - 15)² • 0,01 = 0,99,

σ_B = 0,995%,

для акции С:

Е_C = 13 • 0,7 + 7 • 0,3 = 11,2%,

D_C = (13 – 11,2)² • 0,7 + (7 – 11,2)² • 0,3 = 7,56,

σ_C = 2,75%,

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтитель­ны, тем более, что и σ_B = r_B = 0,995% наименьшее.

Особый вариант риска связан с разорением. Так называется вероятность столь больших потерь (х < Е), которые ЛПР не мо­жет компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разо­рению.

Пример. Пусть случайный доход операции О имеет следую­щий ряд распределения:

O:	-60	-40	-30	80
	0,1	0,2	0,5	0,2

и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (в конце концов вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке — из-за весьма маловеро­ятных катастрофических событий на финансовых рынках, в мас­штабах государства, из-за природных явлений и т.п.).

Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.

Пример. Предположим, что на рынке могут возникнуть толь­ко два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслу­чайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются табл. 3.2.

Таблица 3.2

	Исход 1		Исход 2
	вероятность	доходность	вероятность	доходность
А	0,3	6%	0,7	2%
В	0,2	-1%	0,8	4,25%

Ожидаемые доходности акций:

Е_А = 6 • 0,3 + 2 • 0,7 = 3,2%, Е_B = - 1 • 0,2 + 4,25 • 0,8 = 3,2%

совпадают, а дисперсии (квадратичные характеристики рисков) равны:

D_A = (6 - 3,2)² • 0,3 + (2 - 3,2)² • 0,7 = 3,35, σ_А = r_А = 1,83,

D_B = (- 1 - 3,2)² • 0,2 + (4,25 - 3,2)² • 0,8 = 3,41, σ_B = σ_B = 1,85.

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожида­емой доходности по акциям, которые будут приобретены на за­емные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (6 - 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (2 - 2,5) = - 0,5%, причем с вероятностью Р₂ = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятнос­тью Р₁ = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 2,5) = - 3,5%.

Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В соответственно: П_А = 0,5 • 0,7 = 0,35, П_В = 3,5 • 0,2 = 0,7.

Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разоре­ния, оцениваемые через вероятность наступления события, наобо­рот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это пре­вышение возможности банкротства должно отпугивать осторож­ного вкладчика, который к тому же «играет» на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.

В свою очередь, ожидаемый риск П_А < П_В склоняет его к вы­бору в пользу акций А. Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых в том числе, функцией полезности инвестора.

В рассматриваемых статистических играх используются по­нятия: риск (функция риск), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Между определенностью и неопределенностью находится слу­чай принятия решения в условиях риска, когда можно оценить вероятность возникновения каждого возможного условия. Широ­ко используемый подход при таких обстоятельствах — критерий предполагаемого выигрыша.

Предполагаемый выигрыш рассчитывается для каждой аль­тернативы, после чего отбирается альтернатива с самым высоким показателем. Предполагаемый выигрыш — это сумма значений выигрыша для каждой альтернативы, причем, каждое значение взвешивается с точки зрения вероятности соответствующего ус­ловия. Таким образом, используя критерий предполагаемого вы­игрыша, можно определить возможное значение выигрыша для каждой альтернативы и выбирать вариант с наилучшим значени­ем выигрыша.

В случае стохастической неопределенности, когда неуправ­ляемым факторам (состояниям природы) поставлены в соответ­ствие вероятности, заданные экспертно или вычисленные, ре­шение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого сред­него риска.

Если для каждой игры с природой, задаваемой платежной мат­рицей Р = , i = , j = , стратегиям природы П_j, соответ­ствуют вероятности P_j, то лучшей стратегией игрока один будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.

(3.3)

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных воз­можностей (выгод)) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск

(3.4)

Когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразу­мевается многократное повторение процесса принятия решений, хотя реально требуемого количества повторений чаще всего мо­жет и не быть.

Пусть платежная матрица имеет вид:

По формуле

где при заданном j, строим матрицу рисков R.

Находим β₁ = max (5, 2, 8, 1) = 8, β₂ = 5, β₃ = 8, β₄ = 12 и тогда

Предположим, что вероятности Р_j равны: Р_j = . По формуле (3.4) находим средний ожидаемый риск:

Минимальный средний ожидаемый риск:

По формуле (3.3) найден средний ожидаемый выигрыш

Максимальный средний ожидаемый доход

Вероятностная постановка задачи выбора оптимальных реше­ний в экономике более адекватно отображает реальные ситуации. Поэтому применение вероятностных моделей во многих случаях позволяет уменьшить риск при выборе наиболее эффективных решений. Однако применение указанных моделей связано с не­обходимостью определения вероятностных характеристик ана­лизируемых процессов (ситуаций). Это существенно усложняет решение рассматриваемых задач. Во многих случаях вероят­ностное распределение экономических показателей бывает не­известным. Поэтому возникает необходимость определения предпочтительных альтернатив при условии, что вероятностные характеристики экономических показателей являются неизвест­ными.

В условиях полной неопределенности, когда вероятности рас­сматриваемых ситуаций неизвестны, можно пользоваться пра­вилом Лапласа, заключающимся в том, что все неизвестные вероятности P_j считают равными. После этого выбор эффектив­ного решения можно принимать или по правилу максимизации среднего ожидаемого выигрыша или по правилу миними­зации среднего риска. Подобный критерий принятия ре­шения можно назвать принципом недостаточного обоснования Лапласа.