2.3.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

При использовании вышеперечисленных критериев возмож­ны ситуации, когда неконтролируемые факторы будут действо­вать более благоприятным образом по сравнению с наихудшим состоянием, на которое ориентировалось ЛПР. Например погодные условия оказываются более благоприятными по сравнению с прогнозируемыми. Количество конкурентов на тех или иных рынках оказывается существенно меньше по сравнению с теми ожиданиями, на которые ориентировались производители.

В подобных ситуациях полезный результат может значитель­но отличаться от того, который обеспечивается при реализа­ции критерия гарантированного результата или критерия песси­мизма.

Поэтому возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значе­ний. Здесь находит применение критерий Сэвиджа. Выбор стра­тегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (2.1).

Критерий Сэвиджа формулируется следующим образом:

(2.9)

Пример. Матрица полезного результата имеет вид, представ­ленный в табл. 2.4. Найдем значения :

β₁ = max{49 300, -60,-1140} = 49 300,

β₂ = max {197 200, 148 900, 98 400} = 197 200,

β₃ = max {197 200, 297 800, 196 800} = 297 800,

β₄ = max {197 200, 297 800, 393 600} = 393 600,

а затем по формуле (2.1) строим матрицу рисков (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Анализ коммерческого риска при неопределенной конъюнктуре

rij	П1	П2	П3	П4
P1 = 980 000	0	0	100 600	196 400	196 400
Р2 = 1 500 000	49 360	48 300	0	95 800	95 800
Р3 = 1 980 000	50 440	98 800	101 000	0	101 000

В данном случае E_rc = min{196 400, 95 800, 101 000} = 95800. Следовательно, выбирается стратегия Р₂, при которой величина риска, равная 95 800 у.е., принимает минимальное значение в са­мой неблагоприятной ситуации.

Сущность этого критерия в стремлении избежать большого риска при выборе решения. В соответствии с этим критерием (см. табл. 2.4) следует производить продукцию в объеме Р₂ = 1 500 000 у.е.

Таким образом, критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери. Основным исходным допущением этого критерия являет­ся предположение о том, что на выбор вариантов обстановки ока­зывают влияние действия разумных противников (природы), ин­тересы которых прямо противоположны интересам ЛПР. Поэто­му, если у противников (конкурентов) имеется возможность извлечь какие-либо преимущества, то они это обязательно сдела­ют. Это обстоятельство заставляет ЛПР обеспечить минимизацию потерь вследствие этих действий.

2.3.5. Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица

Критерий Гурвица позволяет учитывать комбинации наихуд­ших состояний. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характери­зующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

В соответствии с этим компромиссным критерием для каждо­го решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей.

Предпочтение отдается варианту решения, для которого ока­жется максимальным показатель E_i, т.е.

(2.10)

где k — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 ≤ k ≤ 1).

При k = 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием, т.е. ориентация на предельный риск, так как боль­ший выигрыш сопряжен, как правило, с большим риском. При k = 1 — ориентация на осторожное поведение. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонно­сти к риску ЛПР.

Пример. Анализируется матрица полезного результата, име­ющая вид табл. 2.4. При значении коэффициента оптимизма k = 0,6 найдем оптимальную стратегию P_i.

Вычисляем для каждой стратегии линейную комбинацию:

Е₁ = 0,6 • 49 300 + (1 - 0,6) • 197 200 = 108 460,

Е₂ = 0,6 • (- 60) + (1 - 0,6) • 297800 =119 084,

Е₃ = 0,6 • (- 1140) + (1 - 0,6) • 393 600 = 147 756.

Выбираем наибольшее из этих значений:

Е_iг = mах{108460; 119084; 147756}.

В соответствии с критерием Гурвица средний размер прибыли будет равен 147 756 у.е. при выборе объема производства Р₃ = 1 980 000 у.е.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

(2.11)

Пример. Рассматривается матрица коммерческого риска, при­веденная в табл. 2.5. Необходимо определить оптимальную стра­тегию с помощью критерия Гурвица (2.11).

Вычисляем при коэффициенте оптимизма k = 0,6 линейные комбинации:

Е_r1 = 0,6 • 196400 + (1 - 0,6) 0=117840,

Е_r2 = 0,6 • 95800 + (1 - 0,6) • 0 = 57480,

Е_r3 = 0,6 • 101000 + (1 - 0,6) • 0 = 60600.

Находим E_ri = min{ 117840; 57480; 60600} = 57480, что отвечает выбору объема производства Р₂ = 1500000 у.е.

Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов про­дукции, приведенная в табл. 2.2. Исследовать зависимость Е_i от различных значений коэффициента оптимизма k и показать оп­тимальные решения.

Результаты вычислений по формуле (2.10) сведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6