Если растянутый (сжатый) стержень выполняет в раме роль за тяжки (распорки) или является стержнем фермы (оба узла шарнир
ные), то в векторе приращений усилий |
ASj остаются две компо |
ненты: приращение продольной силы AN и усилие сдвига Q . Со |
ответственно и в векторе деформаций Л j |
У |
останутся две компонен |
ты: удлинение стержня AL и перекос стержня Au . Т На последнее обстоятельство следует обратить особое внимание, так как при статическом расчете для стержней, имеющих шарниры на обоих концах, в соответствующих векторах обычно оставляют по одной компоненте. Отметим, что и при статическом расчете уси лия сдвига и деформации сдвига также можно было бы не исклю
чать из числа независимых искомых параметров. |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, и при расчете на устойчивость размерность век |
торов усилий и деформаций для отдельных стержней зависит от |
|
|
|
|
|
|
Б |
|
условий прикрепления этих стержней к узлам системы. |
|
Из векторов усилий ASj |
и |
|
деформаций |
Л j |
отдельных |
стержней составляются в соответств с нумераций стержней об |
щий вектор усилий AS и |
бщий |
идеформаций Л |
деформи |
руемой системы в целом: |
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оAS1 |
" Л i " |
|
|
|
тAS2 |
|
|
|
|
; |
Л = Л 2 |
|
(25.7) |
AS = |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
з |
|
I |
k |
I |
k |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
kо- количество стержней (элементов) деформируемой системы. |
Второепосновное отличие расчета стержневых систем на устойчи |
вость от их статического расчета по недеформированной расчетной |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
схеме состоит в построении матрицы внутренней жесткости G j пря |
молинейного деформированного стержня, связывающей векторы |
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
приращений усилий и приращений деформаций: |
|
|
(25.8)
Матрица внутренней жесткости стержня G j строится с учетом
продольного усилия в этом стержне на основе общего решения дифференциального продольно-поперечного уравнения изгиба стержня. Соответствующие формулы будут даны ниже.
Блочная матрица внутренней жесткости стержневой системы в ис |
ходном деформированном состоянии составляется обычным путем из |
|
|
|
|
|
|
|
У |
соответствующих матриц внутренней жесткости отдельных стержней: |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
G |
G |
|
|
|
Н(25.9) |
|
|
|
|
|
Gm |
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица мгновенной внешней |
|
|
всей стержневой сис |
|
|
|
|
|
й |
|
темы, необходимая для исследован я устойчивости ее исходного |
деформированного состояния, также |
оится по обычной матрич |
ной формуле: |
|
|
|
жесткости |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = A G A T = A( X )G (X , S )[A(X )]T, |
(25.10) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
где A = A( X ) - обычная матрица уравнений равновесия отно |
|
приращений |
усилий в исходном состоянии. |
Уравнениязравновесия в исходном состоянии составляются с |
деф рмир ванной геометрии, если влияние статических пе |
сительно р мпщ ний значительно, но с прямолинейными стержнями. Внеш
Ручетомются. В уравнения равновесия входят только соответствующие приращения усилий AN ,M n,M k , Q . При этом усилия поперечного
ние узловые силы исходного состояния и вызванные ими начальные внутр нние продольные силы в уравнения равновесия не включа
сдвига из уравнений равновесия не исключаются. Начальные про дольные силы исходного деформированного состояния в уравнения
равновесия не входят, в каждом узле они уравновешены и учиты ваются посредством специальных функций при построении матриц внутренней жесткости отдельных стержней Gj . Из матриц внут
ренней жесткости отдельных стержней формируется общая матрица (25.9) внутренней жесткости G = G (X , S ) .
Элементы матриц внутренней жесткости зависят от внутренних
продольных сил исходного состояния. Обычно в расчетах на устой |
чивость рядовых сооружений принимают во внимание только сжи |
мающие продольные силы. Растягивающие продольные силы Укак |
параметры учитываются в расчетах по деформированному состоя |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
нию только относительно гибких, большепролетных и высотных |
сооружений. |
|
|
|
|
|
Н |
|
25.3. Матрица внутренней жесткости |
|
сжатого стержня |
Б |
|
|
|
|
|
|
Матрица внутренней жесткости Gj |
сжатого стержня номер j с дву |
|
|
|
й |
N < 0, преобразую |
мя жесткими узлами по концам ( ис. 25.5, 25.6) при |
щая вектор приращений дефо мацийиЛ j (25.6) в вектор приращений |
реакций ASj (25.5), в соо ве с виирс формулой (25.8) будет иметь вид: |
|
о |
g 13 |
g 14 |
|
|
|
|
g11 |
g 12 |
|
|
|
|
т |
g 22 |
g 23 |
g 24 |
|
|
|
|
g 21 |
|
|
(25.11) |
|
Gj |
|
|
g 34 |
|
|
|
иg 31 g 32 g 33 |
|
|
|
|
з g 41 |
g 42 |
g 43 |
g 44 |
|
|
|
элементоg ^ обозначает приращение реакции под номером |
п |
i , вызванное единичной деформацией (приращени |
ем деформации) с номером |
k . |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номера приращений реакций и деформаций определены их рас |
положением в векторах (25.5) и (25.6). |
|
|
|
|
РСледовательно, первый столбец матрицы (25.11) соответствует |
приращениям реакций соответственно A N ,M n,M k , Q от единич 723
где под N подразумевается отрицательное, сжимающее усилие исходного состояния.
В общем виде матрица внутренней жесткости сжатого стержня с
двумя жесткими узлами по концам имеет вид: |
|
|
|
EA |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
Т |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4iP2(v) |
|
- 2iP3(v) |
|
- L |
P4(v) |
|
G = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
(25.14) |
0 |
|
- 2iP3(v) |
|
4iP2(v) |
|
|
|
|
|
|
L |
P4(v) |
|
|
0 |
|
- L P4(v) |
L |
P4(v) |
|
12i |
( ) |
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
-Lo2' П2 (v) |
|
|
Формула (25.8) для сжатого стержня с шарнирным узлом в начале |
|
|
|
|
р |
сключен угол поворота рп) |
(отсутствует реактивный момент |
M n |
|
и жестким узлом на конце в азве нутом в де примет вид: |
|
|
|
|
|
EA |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
AN |
|
L |
|
|
|
|
Al |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
M k |
|
0о3i P1(v) |
P1(v) |
Pk |
(25.15) |
|
L |
|
т3i |
|
|
|
|
з |
|
|
3i |
|
|
Au |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
0 ~ P 1 (v) |
L |
|
n (v) |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
Матрица внутренней жесткости для сжатого стержня с жестким уз
формуле |
|
лом в начале стержня и шарнирным узлом на конце (отсутствует реак |
тивный момент M k и исключен угол поворота Pk ) будет отли |
Р |
|
чатьсяпзнаками побочных элементов от соответствующей матрицы |
в |
(25.15). Формула (25.8) для такого стержня примет вид: |
|
|
"EA |
0 |
|
0 |
|
|
"AN" |
L |
|
|
|
|
3i |
Al |
|
|
Mn = |
0 |
3iV (v) |
Vn |
(25.16) |
|
-----------------i |
_ Q _ |
- L v (v) |
3i |
|
Au |
|
|
У |
0 |
ni(v) |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
В последних двух матричных формулах применены еще две спе |
циальные безразмерные |
трансцендентные функции |
Н |
|
Vi(v), n (v ) |
безразмерного аргумента-параметра v |
(25.13). |
Б |
|
|
При нулевом значении безразмерного параметра |
v все специ |
альные функции принимают единичные значения (обращаем вни |
|
|
й |
0 /0 |
при v ^ 0), |
мание на раскрытие неопределенности вида |
|
а соответствующие матричные формулы расчета по деформирован ному состоянию становятся эквивалентными формулам классиче ского расчета по недеформированному состоянию.
|
Матрицы внутренней жесткост , входящ е в формулы (25.15) |
и (25.16), можно получить из общей мат |
цы (25.14) путем исклю |
|
|
|
о |
|
чения из нее по алгоритму Гаусса-Жоидано соответственно второй |
или третьей строки (и лбца). Б лее точно, путем исключения со |
ответствующего угла пов р |
ариз ф рмулы (25.8), как неизвестного |
из системы линейных алгебраических уравнений. |
|
Для сжатого стержня с шарнирными узлами по обоим концам |
матрица внутренней жесткостист может быть получена путем исклю |
|
|
либо |
|
|
чения соответствующего угла поворота из зависимостей (25.15) или |
(25.16), |
б |
ихуглов из зависимости (25.8) с матрицей (25.14). |
В результате зп лучим: |
|
|
е |
|
"AN' |
L |
"AL |
Р |
п |
0 |
|
L |
(25.17) |
|
|
|
_ Q _ |
N |
Au |
|
|
|
0 |
|
В матрицу внутренней жесткости в (25.17) значение продольной |
силы N |
должно быть подставлено со своим знаком. Для растяну- |
того стержня со знаком «плюс». Для сжатого стержня со знаком «минус». Для сжатого стержня можно также воспользоваться выте кающей из (25.13) общепринятой подстановкой:
|
|
|
|
N |
|
v2E J |
|
(25.18) |
|
|
|
|
L L |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (25.17) подтверждает важное следствие, которое неод |
нократно отмечалось ранее. Растянутый шарнирно закрепленныйУ |
стержень сопротивляется поперечному воздействию: реакция сме |
щаемой опоры направлена в сторону смещения. СмещенныйТрастя |
нутый стержень стремится вернуться в исходное состояние. Сжатый |
шарнирно закрепленный стержень является “толкающим” стержнем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
реакция смещаемой опоры направлена навстречу смещению. Сме |
щенный сжатый стержень приходится удерживать от дальнейшего |
смещения. При нулевой продольной |
|
Б |
шарнирно закрепленный |
стержень остается нейтральным к поперечному сдвигу, никак на не |
го не реагирует. Именно поэтому |
удалосьйсключить деформации |
поперечного сдвига из матричных у авнен й статического расчета |
по недеформированному с ст янию.силе |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
П р и м ер 25.2. Провери ь уст йчивость равновесия симметрич |
ной статически неопределимой рамы (рис. 25.7) и найти критиче- |
|
|
|
|
о |
T^cr |
|
|
ское значение параметра нагрузки F . |
|
|
|
|
|
т |
|
|
нагрузки примем равным |
|
Номинальное начен е параметра |
F = 750 кН. Будем считать, что жесткостные параметры стержней |
рамы равны: |
и |
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA1о= EA4 = 9 -106 кН; E J1 = E J4 = 3 -105 кНм2; |
|
пEA2 = EA3 = 12 • 106 кН;E J2 = EJ3 = 6 • 105 кНм2. |
е |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
дискретная расчетная схема рамы, предназначенная для исследова ния симметричных деформаций рамы, показана на рис. 25.8.
При кососимметричных деформациях рамы ее центральный узел 3 не будет смещаться по вертикали, и в этом узле будут рав ны нулю изгибающий момент и горизонтальная составляющая внутренней силы. Следовательно, узел 3 можно представить
шарнирным в виде шарнирно-подвижной опоры. Однако, чтобы |
векторы внутренних сил и деформаций, а также матрицы внут |
ренней жесткости в стержнях полурам были одинаковыми для |
симметричных и кососимметричных деформаций, будем расУ |
сматривать и при кососимметричных деформациях узел 3 как же |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
сткий узел, но на шарнирно-подвижной опоре (рис. 25.9). |
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим симметричные деформации исходной рамы. Снача |
ла выполним статический расчет, чтобы определить внутренние |
силы от заданной номинальной нагрузки. |
|
|
Вектор возможных упругих перемещений двух узлов 2 и 3 полу- |
рамы (рис. 25.8) имеет четыре компоненты: горизонтальное пере |
Рмещение, вертикальное перемещение и угол поворота узла 2 и |
единственное вертикальное перемещение узла 3 (рассматриваем ненулевые перемещения):
|
|
|
|
V T - [ u 2 v2 |
(fr |
|
v3] • |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующий вектор нагрузок для статического расчета по- |
лурамы примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
F - [ 0 |
- 750 |
|
0 - |
7 5 0 f . |
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
Вектор неизвестных независимых усилий в двух стержнях полу- |
рамы будет состоять из восьми компонент: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" N i " |
|
|
|
" N 2 " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
M n2 |
|
|
|
|
S - "S i" ; |
Si - |
|
IS |
; |
|
S2 - |
|
|
|
|
|
|
_S2_ |
|
|
р |
йM k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
_ ^2 |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вырежем узлы 2 и 3 (рис. 25.10) и составим четыре уравнения |
равновесия: |
з |
тI X 2 - 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
и ZY - 0; |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZM 2 - 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZY - |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 0,6; cos а - |
0,8. |
|
|
Для наклонного стержня имеем: sin а |
|
|
Уравнения равновесия запишем в виде:
A S - F .
