Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

Номера у з л о в |^ |

2""

г ^

т н

Ж.

2

R22+R 22 + R 2M

R

пип,

У

R =

к и ш а ;«((«((

4

R121

р(4);

Т

Н

Рис. 16.15

Для рамы, показанной на рис. 16.16, матрица жесткости в блоч­

ной форме записи имеет вид:

й

' R 11

R 12

R 13

Б

R =

R 21

и

R 22

R 23

р

R 33

_R 31

R 32

о

т

и

п

з

е

о

Рис. 16.16

Р

а)

Н омера узлов

МИГ

б)

Т

| Н ом ера у зл о в | > |

1

|

2

|

3

|

1

1

? 1 \

1

Н

У

J

Б

в 1

1)

й

в)

Ш И

I Н ом ера узл ов И

1

I

|Н о м е р а у зл о в

— г

3

р3

1

о

и2

2

j

?24-i

;

т

)

д)

е)

о

| Номера узлов |>|

1

|

2

|

3

|

и

1

№

)

R (2)

п

з

R(3

R =

фЛ>

<з\

R (5)>3

е

фф

R(5 )

ф.

Р

Rз:

Рис. 16.17

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

з

В зависимости от харак ера напряженного состояния пластин

они подразделяются на пл ты (отношение h к большему из разме­

ров

а

до

которых пренебрегают напряжениями сдвига и растяжения в средин­

ной

оверхн сти (соответствующее отношение находится в интерва­

ле

от 0,01 0,20), очень тонкие пластины (отношение меньше 0,01).

Р

В рассматриваемом далее примере используется конечный эле­

м нтпж сткой пластины.

Т ория расчета тонких пластин построена с использованием сле­

дующих гипотез.

1.

Гипотеза прямых нормалей, согласно которой прямолиней­

ф орм ации, а его дли н а

не

изм еняется. В соответстви и

с этой гипотезой углы сдвига

y xz и

у yz , а также линейная деформ а­

ция s z принимаю тся равны ми нулю:

Уxz

= 0 ; Yyz =

= 0; s z = 0.

2.

Т

Г и п отеза о недеф орм и руем ости среди н н ого слоя, в соо тветст­

ви и с

которой ли н ейны е

s x ,

Sy

и угловы е yxy

Н

деф орм ац и и срУе ­

ди н н ого слоя равн ы нулю :

Б

S? =

= 0 ;

S 0 =

= 0;

Чд x Уz =0

й

y^y Уz =0

у°

=

г д и

д v л

= 0.

- + ■

xy

д y

д x У

уz

=0

3.

Г и п отеза об

р

о тсутстви и н о

м альн ы х н ап ряж ени й н а п лощ ад ­

ках, п араллельн ы х срединн м у сл

юи, то есть н ап ряж ени е <Jz

= 0 .

т

и

и

v

В соответствии с двум я первы м и гипотезам и перемещ ения

ки

16.18,б) по н аправлениям осей

x

и

y

п рои звольн ой точ

K

(рис.

оказы ваю тся равны м

:

о

з

д w

д w

о

= - z

д x ’

v = - z ■

д y

В следствие эт

го линейны е и угл о вы е деф о р м ац и и вы чи сляю тся

е

по форм улам :

Р

п

д и

д2w

,

д v

д 2w

x

д x

= - z

2

Sy

= - z

д y 2

д x

= д y

' д и

д v Л

д2w

Уxy =

I

д

+ д

= - 2z

д y

д x

д x д y

x

(s x + i s y I

2

(sy + i

s x ),

= 1 —ji

У

Txy = G y xv =-

+ i ) Yxy

,

Т

^xy

- i x y

2(1

Н

где i - коэффициент Пуассона.

Б

Нормальные и касательные напряжения, вызванные изгибом

пластинки, линейно изменяются по толщине пластины и вычисля-

д2w

д2w

й

д2w

ются через кривизны

и кручение

д x д у

срединной

д x 2 ’ д у 2

и

поверхности по формулам:

р

о

2

E z

д2w

и

1 —i

E z

2

E z

д2w

тд x 2

1 + i д x д у

Изгибающие

M x

М у

и крутящие M xy

моменты, приходя­

п

щиеся на единицуздлины сечения пластины, вычисляются через со­

dx х dy х h . Чтобы не

Р

x = 0 и у = 0 напряжения, изги­

загромождать рисунок, на гранях

-1

1

a

a 2

a 3

У

1

a

a 2

a 3

-1

- 2 a

- 3 a 2

H =

1

a

b

a 2

ab

b 2

a 3 a 2b a b 2 b 3

3

a b 3

b a

1

a

2b

a 2

2ab

Н

2

- 3 aТ2b - b 3

b

-1

- 2 a

- b

- 3 a 2 - 2ab

- b 2

1

b

b 2

й

b 3

1

2b

2

и

b

-1

- b

-Бb 2

- b 3

р

4. И з (16.46) следует, что:

о

т

5.

Вектор перемещ ен

й

u с пом ощ ью вы раж ений (16.44) и (16.47)

з

п редставляется в в

де:

о бобщ нотнн ы х

оси тельн ы х деф орм ац и й k , ком п он ен там и к о торо ­

п

и u = L H -1 Z.

(16.48)

ределен и я вектора п ерем ещ ен и й м ож но н ай ти вектор

6. П

сле

е

Р

го будут кри ви зн ы и кручен ие среди н н ой п оверхн ости пластины :

к =

д2w

d 2w

d2w

T

(16.49)

dx 2

’

d y 2

dx dy