Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

M Y = X TM a ,

(20.29)

собственных векторов, а также и для ряда рабочих массивов. Поэтому

даже современные компьютеры успешно решают полную проблему собст­

венных значений для систем с относительно небольшим числом степеней

свободы, порядка несколькихсотен или максимум несколькихтысяч.

Т

Примеры динамического расчета реальных сооружений показы­

вают, что в суммах вида (20.25) слагаемые, отвечающие высшим

Н

собственным частотам, получают значения, пренебрежимо малыеУ

по сравнению с вычисляемой суммой. Практически для получения

Б

искомого результата можно ограничиться вычислением суммы не­

скольких первых слагаемых, соответствующих низшим собствен­

ным частотам. Поэтому отпадает необходимость в решении полной

й

проблемы собственных значений. Для реального сооружения доста­

точно решить частичную проблему собственных значений, т. е. найти

Или

несколько низших собственных частот

соответствующих собствен­

ных форм (собственных векторов).

же на ти собственные час­

р

тоты и собственные формы, отвечающ е заданному диапазону час­

о

тот. Для этого применяют специальные ч сленные методы. Некото­

рые из них будут рассм трены ниже.

П р и м е р

20.1. Определи ь с бственные частоты и собственные

формы свободных колебаний неразрезной двухпролетной консоль­

ной балки постоянного сечения, несущей сосредоточенные массы

(рис. 20.2). Собственнойтраспределенной массой балки по сравне­

нию с сосредоточенными массами пренебречь.

При с вершенииипоперечных, изгибных колебаний балка, несущая

четыре с средзт ченные массы, имеет четыре степени свободы, направ­

ления к т рых б значены стрелками F\-F4 (рис. 20.2). Чтобы сокра­

тыре

тить вычисления,оиспользуем симметрию системы. Для этого введем

ч

гру

овые степени свободы (рис. 20.3): две прямосимметрич­

ныепо(ПС)

направлениям F\ и F2 и две кососимметричные (КС) по

направл ниям F3 и F4.

При прямосимметричных деформациях сечение балки над цен­

тральной опорой не поворачивается, а при кососимметричных де­

Рформациях в этом сечении изгибающий момент равен нулю. Следо­

введением шарнира в центральном сечении (рис. 20.5).

Частотные (вековые) уравнения для полубалок составим в об­

ратной форме (20.15).

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, при­

Т

ложенных в направлении степеней свободы полубалок (рис. 20.4,

20.5), и вычислим по формуле Мора путем «перемножения» эпюр

компоненты матриц податливости полубалок.

У

Для прямосимметричных колебаний имеем:

Б

I

i

4

a 3

6

6I

Н

D nc =

й

7

A

S 22 _ = 1 2 E J - 6

и

Fi

р

F

F 4

о

4m

m

a

a

co nst

2Г

a

E J =

2

т

2

2

о

и

Рис. 20.2

b______________ u

п

з

‘ F 3

F 3

е

f 2

f 2

Д

m

Р

F i

Fi

m V

4

4m

T

4m

A

;

V /////,

Рис. 20.3

Н

У

Рис. 20.4

Б

Т

й

и

M3

р

F4 = 1

о

M4

т

Рис. 20.5

Соответственно для косос

мметричных колебаний получим:

1

1

1

1

4

3

и33

34

= я 3

-

DJKC =

3EJ

- 3

5

з

_^43

1 4

е

Р

Матрицыомасс полубалок примут вид:

п

"1

0"

"4 0"

m

;

= m 0 1

M ПС = m 0 4

M KC

16 - р

-

24

= 0

- 6

28 - р

где

12EI

12EI

р=

3

Л = ~

3.

ma

со ma

Т

Раскрыв полученный определитель и решив квадратное уравне­

ние относительно параметра р , найдем, что:

Б

У

Р,2 = 22 ± V180 ; или

р = 35,4; Р2

= 8,58.

Откуда находим выражения для круговых частот Нпрямосиммет­

ричных собственных колебаний:

и

о>1 =

12EJ

= 0,582

E J

12EJ

= 1,182. E J

ний) найдем из сис емы дн рдных уравнений (20.14), которая в

q\ma~

ma

0 2

=йqpma~3

ma 3

о

т

мы п ямосимметричных колеба­

мосимметричных колебаниях (ф

данном случае

примет

вид:

з

- р

-

24

о

16

*1

= 0.

-

6

28 - р

X 2

Полученная система однородных уравнений для найденных зна­

чений

Р

р является вырожденной и эквивалентна одному уравнению:

п

(16 - р ) Х 1 -

24X 2 = 0,

откуда получим:

X 2

= (16-р)Х 1

=

24

У

Вторая собственная форма прямосимметричных свободных ко­

лебаний при р = р2 определяется соотношением:

Т

X 2 = 0,309X 1.

Соответствующие

собственные

векторы

прямосимметричных

колебаний для полубалки примут вид:

Б

"

1

"

"

1

" Н

X (1) =

й

-

0,809

;

X (2) =

0,309

Для балки в целом будем иметь:

и

"

1

"

"

1

"

-

о

0,309

0,809

р; X (2) =

X (1) =

т

-

0,809

0,309

и

1

1

Частотное (вековое) уравнение (20.15) для второй полубалки, со­

о

ответствующей косос мметричным колебаниям, примет вид:

п

з

16 - р

- 3

= 0,

Р

-1 2

5 - р

откуда найдем:

ер 4 = 10,5 ±-у]66,3 , или

р

= 18,64,р4 = 2,61.

3EJ

3EJ

<р = -

А -

~

ma

3 '

ma

о

Следовательно, круговые частоты кососимметричных свободных

(собственных) колебаний равны:

У

Т

о = V Р ma

3

= 0,401V ma

Л

3EJ

= 1,127

, EJ

= VP4mar3

ma

3

Н

Соответствующие собственные формы кососимметричных сво­

бодных колебаний найдем из соотношения:

Б

(16- p ) X 3 - 3 X 4 = 0,

откуда при р —р

имеем

и

р

X 4 = -0,880Xй3 ,

а при р —Р4

о

т

и

X 4 = 4,55X 3.

Для балки в целом собс венные формы кососимметричных коле­

з

баний описываются следующими собственными векторами:

"

0,880

"

- 4,55'

п

х (3) =

- 1

;

X (4) =

-1

1

1

е

о

-

0,880

4,55

Н

описывать неоднородными дифференциальными уравнениями дви­У

жения (20.5), составленными в прямой форме. После подстановки в

Б

их правую часть вектора внешних вибрационных сил (18.2)Туравне­

ния движения примут вид:

M Z + R Z —F sin(# t).

(20.34)

и

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее

решение неоднородных линейных д фференциальных уравнений

можно представить как сумму общего йешения соответствующих

о

однородных уравнений вида (20.4) частного решения неоднород­

ных уравнений, в данн м случае (20.34). Общее решение однород­

т

ных уравнений движения, с держащеепостоянные интегрирования,

определяемые из начальных усл вий, описывает свободные колеба­

ния деформируемой с с емы. В реальных условиях из-за неизбеж­

з

ного присутств я л сопро ивления движению свободные колеба­

ния с течением времени затухают, и деформируемая система про­

совершать

должает

чисто вынужденные колебания с частотой вы­

нуждающей нагру ки в так называемом установившемся режиме.

п

При к лебаниях в установившемся режиме перемещения всех

е

узлов деф рмируемой системы, усилия во всех ее элементах с тече­

ни м вр мени изменяются по гармоническому закону с той же час­

Р