стремиться перейти в некоторое новое состояние равновесия. Ис ходное деформированное состояние системы является неустойчи вым. Равновесие в нем возможно только теоретически. При малей шем отклонении от этого состояния равновесия система приходит в движение и будет только удаляться. Возврат в исходное состояние равновесия невозможен.
23.5. Критерии устойчивости равновесия |
|
Т |
|
|
|
Н |
||
Таким образом, как следует из вышеизложенного, |
физическимУ |
|
критерием устойчивого равновесия в деформированном состоянии |
||
Б |
|
|
является способность сооружения совершать малые |
затухающие |
|
или незатухающие свободные колебания относительно этого поло |
||||||||||||
жения равновесия. Аналитическим критерием будет отсутствие ну |
||||||||||||
левых и отрицательных корней в характеристическом уравнении |
||||||||||||
(23.13). Это равносильно требованию о положительной определен |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
в линеаризован |
|
ности матрицы мгновенной жесткости, |
||||||||||||
ные уравнения статического |
|
рован |
я (23.7), (23.9) и в ли |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деформ |
|
|
неаризованные дифференциальные у авненвходящейя движения (23.12). |
||||||||||||
Положительная определенность с мметр чной матрицы означает |
||||||||||||
положительность не только её п еделителя, но и положительность |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
||||
всех главных миноров и, след вательно, всех собственных значе |
||||||||||||
ний. С этой точки |
|
|
и с а ический метод исследования устой |
|||||||||
чивости |
|
|
|
зрения, |
|
|
|
|
|
|||
сооружен й, |
донамический полностью эквивалентны. |
|||||||||||
Более того, |
|
з |
ельная |
|
определенность |
матрицы мгновенной |
||||||
|
полож |
|
||||||||||
жесткости является кр |
тер |
ем устойчивого равновесия как консер |
||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
вативных, так и неконсервативных деформируемых систем. |
||||||||||||
|
Рассм тренные выше линеаризованные уравнения статического |
|||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
деформир вания и линеаризованные дифференциальные уравнения |
||||||||||||
движения |
в |
|
бщей теории устойчивости, связанной с именем вы |
|||||||||
дающ гося |
ученого |
А.М. Ляпунова, |
называются уравнениями в |
|||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращ ниях. Именно на исследовании линейных уравнений дви |
||||||||||||
ж |
|
приращениях и основывается исследование устойчивости |
||||||||||
сооружений, по терминологии А.М. |
Ляпунова, в первом прибли |
|||||||||||
жении, устойчивости сооружений «в малом». |
|
|||||||||||
691
23.6. Энергетический метод исследования устойчивости
Требование о положительной определенности матриц мгновен ной жесткости сооружений в устойчивых состояниях равновесия вытекает и из энергетических принципов общей механики. Как из
|
|
У |
вестно, в устойчивых состояниях равновесия полная энергия де |
||
формируемой системы минимальна. Минимум полной энергии де |
||
|
Т |
|
формируемой системы является энергетическим критерием устой |
||
чивости равновесия. |
Н |
|
По отношению к исследуемому деформированному состоянию |
||
равновесия изменение (приращение) полной энергии системы мож но выразить через матрицу мгновенной жесткости и вариации пе ремещений (возможные перемещения, отсчитываемые от деформи
рованного состояния равновесия). Так как приращение нагрузки |
||||||||
при исследовании устойчивости равновесия полагается равным ну |
||||||||
лю, то изменение потенциала дополнительных внешних сил равно |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
нулю. Суммарная работа уже приложенных нагрузок и вызванных |
||||||||
ими внутренних сил в исследуемом деформированном состоянии |
||||||||
равновесия на вариациях перемещен й как на возможных переме |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
щениях также равна нулю (в исходном состоянии система уравно |
||||||||
вешена). В результате при ащениеиполной энергии системы в |
||||||||
деформированном сост янии п и ва иациях перемещений равно |
||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
(с обратным знаком) дейс ви ельной работе только приращений |
||||||||
внутренних сил. |
|
п следние выразить через перемещения, |
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
то выражение для выч сления приращения полной энергии |
||||||||
примет вид: |
|
|
т |
|
|
|
||
|
|
|
|
Если |
|
|
(23.17) |
|
|
|
|
з |
ДЭ = 2 Z TR (X , S)Z . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Усл вие стационарности приращения полной потенциальной |
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
||
эн ргии риводит к системе уже знакомых однородных алгебраиче |
||||||||
ских уравнений: |
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
(23.18) |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы равновесие упругой системы в деформированном состоя нии было устойчивым, необходимо, чтобы матрица вторых частных
692
производных (матрица Гессе) полной потенциальной энергии как функции многих переменных (23.17), или, что то же самое, чтобы мат рица первых частных производных (матрица Якоби) системы алгеб раических уравнений (23.18) была положительно определенной:
R(X , S ) > 0. |
У |
(23.19) |
Напомним, что положительная определенность симметричной матрицы означает не только положительность её определителя, но и
|
Н |
положительность всех главных миноров и, следовательно, положи |
|
тельность всех ее собственных значений. |
|
При выполнении условия (23.19) полная потенциальнаяТэнергия |
|
|
Б |
упругой системы минимальна. Система однородных уравнений (23.18) имеет единственное нулевое решение Z = 0 . Система обладает отпорностью (способностью сопротивляться) на любое дополнитель ное воздействие, и в ней возможны свободные колебания. Следова
тельно, равновесие деформируемой |
усто чиво. |
|||
23.7. Качественный метод сследованйя устойчивости |
||||
Метод исследования уст йчив стисистемыавновесия сооружений в де |
||||
формированном состоянии, св дящийся к исследованию знаковой |
||||
|
|
|
р |
|
определенности матрицы мгн венн й жесткости, называют качест |
||||
венным методом. Качес венный метод позволяет получить прямой |
||||
|
|
о |
|
|
ответ на вопрос: "Ус ойч во или неустойчиво сооружение при дан |
||||
ном характере |
т |
|
|
|
уровне нагрузки? Да? Или нет?". |
||||
Критическая нагру ка является количественной характеристикой |
||||
устойчив сти с |
ружения. При этом под критической нагрузкой сле |
|||
дует нимать, в |
|
устойчивости, наибольшее значение некоторо |
||
запас |
|
|
|
|
го араметра, характеризующего данный вид нагрузки с количествен |
||||
ной стороны,опри котором сооружение еще устойчиво. Определять |
||||
критич ское значение параметра нагрузки приходится методом после |
|
|
п |
доват льных приближений, методом проб и ошибок. |
|
|
ассмотренные выше критерии устойчивости сооружений в дефор |
е |
|
Р |
|
мированном состоянии относятся к понятию общей, глобальной устой чивости некоторой дискретной модели исследуемого сооружения. В соответствии с введенной ранее методикой дискретизации расчет ных схем сооружений с целью их компьютерного исследования
693
дискретная расчетная модель реального сооружения состоит из от дельных элементов, стержней, соединенных между собой в узлах, жестко или шарнирно. Положительная определенность матрицы
мгновенной жесткости дискретной модели сооружения в деформиро |
|||
ванном состоянии гарантирует равенство нулю дополнительных ста |
|||
тических узловых перемещений при отсутствии дополнительных |
|||
статических узловых нагрузок или иных дополнительных статиче |
|||
|
|
Т |
|
ских воздействий. Одновременно гарантируется способность дис |
|||
кретной модели сооружения совершать свободные колебания отно |
|||
сительно деформированного состояния равновесия. |
Н |
У |
|
|
|
||
Однако любая дискретная модель деформируемого сооружения |
|||
Б |
|
|
|
состоит из континуальных элементов, стержней, каждый из которых |
|||
имеет бесконечное множество критических состояний и может быть |
|||||||
причиной локальной, местной неустойчивости даже при неподвиж |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
ных, несмещаемых узлах всей дискретной модели. Сильно утриро |
|||||||
ванным примером может служить гибкий деревянный брусок, под |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
пирающий железобетонное перекрытие: брусок выпучился, потерял |
|||||||
устойчивость, а железобетонная конструкц я может совершать сво |
|||||||
|
|
|
|
р |
|
||
бодные колебания, её равновесие устойч во. |
|||||||
|
|
соо |
|
|
|||
В реальных строительных |
|
|
ужен ях должна быть обеспечена |
||||
как общая, глобальная уст йчив сть всего сооружения, так и мест |
|||||||
|
сть |
|
|
|
|
||
ная, локальная устойчив |
|
кажд го элемента. Поэтому исследова |
|||||
ние глобальной |
устойчив |
с и с |
ружения следует проводить только |
||||
после обеспечен я локальной устойчивости всех элементов. |
|||||||
з |
ойчивости отдельных элементов прово |
||||||
Проверка местной |
|||||||
дится при полностью акрепленных узлах дискретной модели, т.е. в |
||
|
по |
|
основной системе метода перемещений, и выполняется известными |
||
методами |
ф рмулам Эйлера, вытекающим из исследования не |
|
|
п |
|
нулевых решений дифференциального уравнения продольного из |
||
систему метода перемещений, или дискретную расчетную схему ис |
||
гиба (эти в |
р сы будут рассмотрены ниже). |
|
Р |
Итак, для завершения изложения теории расчета сооружений на ус |
|
тойчивость остается только рассмотреть, во-первых, методы исследо вания устойчивости отдельных стержней, составляющих основную
следуемого сооружения; во-вторых - методы формирования матриц мгновенной жесткости сооружений в деформированных состояниях равновесия; и, в-третьих - методы исследования знаковой определен ности матриц.
694
Г Л А В А 24 |
|
У СТО Й ЧИ В О СТЬ П РЯМ Ы Х |
|
СЖ АТЫ Х С ТЕРЖ Н ЕЙ |
|
НА Н ЕДЕФ О РМ ИРУ ЕМ Ы Х ОПОРАХ |
У |
|
|
24.1. Дифференциальное уравнение изгиба сжатого стержня |
|
|
Т |
Рассмотрим центрально сжатый стержень постоянного попереч ного сечения, находящийся в прямолинейном исходном деформи рованном состоянии равновесия (рис. 24.1). Потеря устойчивости сжатого прямолинейного стержня будет сопровождаться его изги
бом. Составим уравнение статического деформирования сжатого |
|||||||||
прямолинейного стержня при его переходе в отклоненноеНдеформи |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
рованное состояние. Переход обусловлен малыми вертикальными |
|||||||||
перемещениями и(х) |
за счет изгибных деформаций.БГоризонталь |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
ные перемещения за счет искривлен я стержня будут величинами |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
более высокого порядка малости, |
х не уч тываем. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
2 |
Рис. 24.1 |
|
|
||
|
о |
|
|
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для пределения упругой линии искривленного стержня вос |
||||||||
пользуемся дифференциальным уравнением изгиба балки: |
|
||||||||
Р |
|
|
|
E J d U(2X) + M (х) = 0, |
(24.1) |
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
гдеM (х) - изгибающие моменты в сечениях изогнутого стержня. |
|||||||||
|
Значение изгибающего момента в сечении с абсциссой х |
можно |
|||||||
вычислить по простой формуле (см. рис. 24.1): |
|
||||||||
695
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.2. Учет опорных закреплений сжатых стержней
Постоянные интегрирования, входящие в общее решение (24.5) определяют в зависимости от условий опирания сжатых стержней.
Рассмотрим процедуру определения постоянных интегрирования |
||||||
|
|
|
|
|
|
У |
на примере центрально сжатого стержня с жесткой заделкой на од |
||||||
ном конце и шарнирно-подвижной опорой на другом (рис. 24.2). |
|
|||||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
L |
|
Н |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 24.2 |
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратим внимание на то, что и заделка и опорный стержень яв |
||||||
ляются абсолютно жесткими, недеформируемыми.БГраничные ус |
||||||
ловия в заделке обусловливают равенство нулю перемещения и уг |
||||||
|
|
прот |
воположном конце стержня |
|||
ла поворота опорного сечения. На |
|
|||||
нулевыми являются перемещение опо ного сечения поперек оси |
||||||
|
момент |
|
|
|
||
стержня и изгибающий |
|
|
в иопо ном шарнире, пропорцио |
|||
нальный второй произв дн й т линии прогибов. Следовательно, |
||||||
т |
|
|
|
|
|
|
имеем следующие че ыре д п лнительные (граничные) условия для |
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
определения четырех пос янных интегрирования: |
|
|
||||
неизвестных |
|
|
u(L) = 0; u"(L) = 0. |
(24.7) |
||
u(0) = 0; u'(0) = 0; |
||||||
|
Дифференцируя общее решение (24.5) дважды и подставляя в (24.7), |
||
получим следующую систему четырех совместных уравнений отно |
|||
|
п |
постоянных интегрирования: |
|
сительно |
|||
е |
оu (0) = C2 |
+ C4 = 0; |
|
Р |
|
|
|
u'(0) = kCi + C3 = 0;
(24 8)
u(L) = C1sin kL + C2 cos kL + C3L + C4 = 0; u"(L) = - k 2Q sin kL - к 2C2 cos kL = 0.
Искомые постоянные интегрирования не равны нулю, если оп ределитель полученной системы уравнений равен нулю:
697
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
k |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
sin kL |
cos kL |
L |
|
= 0. |
|
||
|
1 |
У |
|||||
- sin kL |
- cos kL |
0 |
|
0 |
|||
|
|
||||||
Заменив третью строку |
полученного |
|
определителя суммой |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Т |
третьей и четвертой строк и разложив затем определитель по эле |
|||||||
ментам четвертой строки, получим уравнение для определения кри |
|||||||
тического значения произведения kL : |
|
|
|
Н(24.9) |
|||
kL cos kL - sin kL = 0. |
|
||||||
или: |
tgkL = k L . |
|
|
|
|||
|
й |
||||||
Трансцендентное уравнение (24.9) |
|
||||||
|
бесконечноеБмножество |
||||||
|
|
|
имеет |
|
|
|
|
корней. По физическому смыслу решаемой задачи нас интересует |
|||||||
|
4,4932кореньE J 2019EJ |
|
|||||
наименьший положительный |
|
kL = 4,493 , которому будет |
|||||
соответствовать на основании (24.6) на |
меньшая критическая сжи |
||||||
мающая продольная сила: |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
(24.10) |
||
N cr = |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
L2 |
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как система однородных уравнений (24.8) при выполнении условия (24.9) является вырожденной, то ее ненулевое решение мо
жет быть п |
с точностью до произвольного ненулевого мно |
||
жителя. Итак,зпримем C = C . Затем последовательно найдем: |
|||
|
лучено |
|
C2 = -C 4 = - k L C . |
|
C3 = -kC 1 = -kC; C4 = -C 3L = kLC; |
||
|
п |
|
|
|
В р зультате уравнение (24.5), определяющее отклоненную, |
||
смежную форму равновесия рассматриваемого сжатого стержня в |
|||
критическом состоянии (уравнение формы потери устойчивости), |
|||
примет вид (см. рис. 24.2): |
|
||
Р |
|
|
|
u(х) = C (sin kx - kL cos kx - kx + kL) .
698
Значения критических сжимающих продольных сил и соответст вующие формы потери устойчивости прямолинейных стержней по стоянного сечения при других условиях опирания на недеформируемые (жесткие) опорные устройства приведены в табл. 24.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, при значениях продольной сжимающей силы, меньших критического значения N < N cr , прямолинейная форма равнове-
699
сия центрально сжатого стержня является устойчивой. При значе ниях продольной сжимающей силы, равных или больших критиче ского значения
|
N > N cr, |
|
У |
прямолинейная форма равновесия сжатого стержня становится не |
|
устойчивой. |
Т |
П р и м е р 24.1. Найти критическое значение равномерно распре |
|
деленной нагрузки q , приложенной к ригелю однопролетной одно |
||||||||||
этажной рамы (рис. 24.3). Изгибную жесткость ригеля можно принять |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
бесконечно большой по сравнению с изгибной жесткостью стоек. |
||||||||||
|
Равномерно распределенная по всему пролету нагрузка вызывает |
|||||||||
в стойках сжимающие усилия: |
|
|
|
Н |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сжатые стойки жестко защемлены в фундаментах. Их верхние торцы в местах стыка с ригелем могут свободно поворачиваться.
Вследствие отсутствия горизонтальных связей в уровне покрытия ригель может сместиться по горизонтали (рис. 24.3). Такие косо симметричные деформации в симметричной системе не вызовут в ригеле продольных усилий. Следовательно, при кососимметричных
700