Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

мещений по общим правилам теории сооружений.

У

Таким образом, и динамический, и статический расчет произвольной

деформируемой системы методом перемещений практически осуществ­Т

ляются по одному и тому же алгоритму. Только на этапе составления

матрицы динамической жесткости по матричной формуле (20.38) осу­

Н

Б

При выводе матричных зависимостей (20.34)-(20.39) на порядок

и на значения компонент матрицы масс

М

вектора нагрузок F

случае часть масс может

принята

нулевой, и деформируемая

не накладывалось никаких ог ан чен й.йСтепень свободы колеб­

вовать

авной общему количеству

лющейся системы может быть п нята

система будет иметь "безынерци нные" степени свободы. Вибраци­

и

только на часть узлов и могут

онные нагрузки могут дейс

проведенные в данном разделе выше, остаются справедливыми. Поря­

й

док матриц и векторов понизится до динамической степени свободы.

Матрица масс в этом случае также будет невырожденной, ее можно

и

будет обратить, что дает дополнительные преимущества, если она к

тому же будет диагональной.

р

При составлении уравнений дв жен я только с учетом динами­

ческих степеней свободы

можно

в качестве основных динамических

неизвестных принять не пе емещения, а амплитуды инерционных

т

сил, которые при вибраци нн й нагрузке также будут изменяться

по гармоническому зак ну. П дставив в общее выражение вектора

инерционных с л (18.5) в брационное ускорение (20.36), получим

з

формулу для выч слен я век ора вибрационных сил инерции:

о

(20.40)

п

J (t) и= - M Z = 0 2M Z sin(01) = J sin(01),

можно вы­

е

разить ч рез вектор амплитуд вибрационных перемещений Z :

Р

J = 0 2M Z .

(20.41)

Z = \

м - 1J .

(20.42)

в 2

Подставив (20.42) в уравнения (20.37), получим систему линейных

алгебраических уравнений относительно амплитуд инерционных сил,

но с несимметричной в общем случае матрицей коэффициентов:

У

(

V

= F .

Т

в 2

J

(20.43)

Н

где E - единичная матрица.

Б

Систему (20.43) можно привести к с мметричной форме, если

при ее выводе воспользоваться не

внешней жесткости R ,

а матрицей внешней податливости D

,

цей

обратить матрицу внеш­

ней жесткости. Умножив систему у авнений (20.43) слева на мат­

рицу внешней податлив

и

ли

к матрице

учтя,

что

она обратна

внешней жесткости, можно п лучить систему алгебраических урав­

нений в канонической ф рме

матр

н сительно амплитуд инерционных

о

сил с симметричной ма р цей коэффициентов:

сти

(D — —l

M _1)J + D F = 0

(20.44)

и

в 2

з

или более кратк :

о

Dd J + AF

= 0,

(20.45)

п

где

Р

DD = D

- \ M

-1,AF = DF.

в 2

пролета (эффективная масса т1= 20

т). Вторая степень свободы

отвечает совместным горизонтальным перемещениям трех масс,

расположенных на ригеле (эффективная масса т2 = 40 т). Составим

матрицу податливости данной рамы по этим двум направлениям.

Т

Загрузим раму поочередно двумя силами F 1= 1 и F2 = 1. Соста­

вим ее конечно-элементную расчетную схему (рис. 20.8), задав же­

Н

сткости стержней рамы на изгиб и на растяжение-сжатие соответст­У

венно равными:

Б

E J1 = 2,34-106 кНм2;EA1 = 7,8-107 кН для стоек;

й

E J2 = 5,55-106 кНм2;EA2 = 10,4-107 кН для ригеля.

чными

Воспользовавшись любым проектно-выч слительным комплек­

сом, найдем вызванные этими ед н

с лами векторы переме­

р

щений всех узлов, из которых выбе ем только компоненты, относя­

о

щиеся к вертикальному и горизонтальному перемещениям узла № 3.

т

и

з

о

п

е

Р

В р зультате получим матрицу внешней податливости второго

порядка по заданным двум направлениям:

D = 2,76 -10-5

9,80 -10-22

8,22 -10-22

4,22 -10-5

несколько резонансных зон, вызывая в сооружении кратковременные

колебания с повышенными амплитудами. Похожие явления наблю­

Н

даются и после выключения механизмов, при сбросе ими оборотов.

Практика подтверждает, что даже при резонансе реальные переме­

Б

щения сооружений остаются конечными. И первостепенное значение

здесь имеют силы внутреннего

сопротивления, а также си­

й

лы внешнего трения и специальные демпф рующие устройства. Изуче­

ние природы сил сопротивления, как

зучен е переходных процессов

при нагрузках переменн й част ты

и

входит в учебную программу.

Однако задача учета влияния сил с противления на характер устано­

неупругого

вившихся динамических пр цесс в является, несомненно, важной.

Рассмотрим установ вшийсяорежим вынужденных колебаний,

вызванных вибрац

онной нагрузкой, при наличии сил сопротивле­

т

и

з

лько

время как внешние демпфирующие устройства могут быть присое­

динены т

в

пределенных местах (узлах) сооружения, силы

п

внутреннего трения сопротивляются любым деформациям соору­

жения

. П эт му м жно полагать, что в дискретной расчетной схеме

расч тные силы сопротивления должны быть приложены в направ­

Р

У

Матрица масс может быть и неотрицательно определенной, то есть

частью масс и соответствующими силами инерции можно пренебречь.

Т

Частное решение неоднородной системы дифференциальных урав­

нений второго порядка (20.46), отвечающее чисто вынужденным коле­

баниям, будем искать в виде суммы двух гармонических движений:

Z (t) = X sin(0t) + Y cos(0t),

(20.47)

где X и Y

Б

- неизвестные амплитудные векторы, независящие

от времени.

й

Н

Дифференцируя (20.47) дважды по времени

t , получим выраже­

Z (t) = - 0 2(X sin(0t)ускорени+ Y cos(0t)).

(20.48)

ния для определения скоростей и

:

Z (t) =

0 (X cos(0t) - Y sin(0t)),

о

Подставив выражения (20.47)ри (20.48) в матричное дифференци­

и

сгруппир вав в левой части слагаемые при

альное уравнение (20.46)

тригонометрическ х функц ях sin(0t) и cos(0t) , приравняем между

з

функциях в левой и правой частях

собой коэффиц енты этихпри

о

получим

систему совместных матричных

уравнения. В ре ультате

и Y :

е

0 H X + (R - 0 2M )Y = 0,

(20.49)

Р

п

(R - 0 2M )X

- 0 H Y = F .

альных уравненийдвижения (20.46) в виде суммы двух гармониче­

Динамическ е перемещенияодеформируемой системы, вызван­

з

ные действием в брац онной нагрузки с учетом сил сопротивления

по теории вя кого трен

полученные из решения дифференци­

по

ских функций (20.47), уже не являются синфазными. Динамические

п

каждому возможному направлению остаются гар­

перемещения

е

моническими, но в общем случае совершаются со своей амплитудой

и сво й фазой. Исходя из матричной формулы (20.47), можно по

Р

изв стным зависимостям тригонометрии покомпонентно предста­

вить каждое динамическое перемещение zi (t)

в виде одной сину­

соидальной функции:

zt(t) = at sin(0t + At ),

(20.52)

где

амплитуда at и сдвиг по фазе A выражаются через компо­

ненты векторов X

и Y по формулам:

ai = Vxf + У2,

tg (Ai) = y t / xi ,(i = 1,2A ...,n).

У

Динамические перемещения по разным направлениям достигают

своих экстремальных значений в разные моменты времени. Оценить

уровень так называемых виброперемещений, виброскоростей и виб­

роускорений, то есть найти амплитудные значения перемещений ai ,

2

при действии вибрационнойТна­

скоростей 0ai и ускорений 0 ai

грузки с учетом вязкого трения на основе формулы (20.52), как ви­

дим, труда не представляет.

й

Н

Более трудоемкой является задача определения экстремальных

усилий в элементах деформируемой системы приБсовместном дей­

ствии вибрационной нагрузки и с

и

р

допустим, с методом перемещен

й с учетом (20.47) формально

можно установить закон изменен

я внут енн х сил во времени:

S (t) = G[X sin(0t) + Y cos(0t)],

(20.53)

где

т

и

G - матрица перех да т узловых перемещений дискретной

деформ руемойосис емы к усилиям в ее элементах.

з

каждое динамическое усилие является

Из (20.53) следует, что

суммой

о

2n

гармонических функций, достигающих своих экстре­

мальных значений в разные моменты времени. Перепишем вектор­

п

но-матричную зависимость (20.53) в векторном виде:

Р

S (t) = A sin(0t) + B cos(0t),

(20.54)

гдевведены вспомогательные векторы:

A = g X ,

B = g Y .