Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Т

Решение дифференциальных уравнений в частных производных,

описывающих движение систем с неравномерно распределенными

Н

массами, ведут, как правило, численными и численно-аналитическимиУ

методами на основе вариационных методов (метод Релея-Ритца, метод

Б

Власова-Канторовича, метод Бубнова-Галеркина) и конечно­

разностных методов (метод сеток, вариационно-разностный и т. п.).

Мощным методом решения динамических задач для систем с

распределенными массами является метод замены распределенных

масс сосредоточенными массами, основанный на идеях метода ко­

нечных элементов.

ГЛАВА 19й

р

о

К О Л ЕБА Н И ЯиСИ СТЕМ

т

С ОДНОЙ С ТЕП ЕН ЬЮ СВО БО ДЫ

и

19.1. Дифференциальн е уравнение движения

з

прос ейшей системы с одной степенью

Рассмотрим дв жен е

ока

дине пролета сосредоточенную массу m и нагруженную в этой же

точке динамическ й нагрузкой в виде вертикальной силы F (t) , из­

п

меняющейся с течением времени (рис. 19.1). Силы сопротивления

движению

рассматривать не будем.

Р

y (t) = S1 1 ( f (t) + J (t)),

(19.3)

s n = Z J М М dx = (M 1 •М 1)

У

EJ

есть податливость системы в направлении искомого перемещения

Н

движущейся массы, то есть перемещение, в данном случае балки в

середине пролета в вертикальном направлении, вызванное единич­

ной безразмерной силой, приложенной в том же направлении.Т

Б

Выразив в (19.3) силу инерции через произведение массы на ус­

корение и опустив индексы при единичном перемещении, получим

дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью

свободы под действием динамической нагрузки:

и

y = S(F (t) -

m y),

или

р

й

Smy + y = SF (t).

(19.4)

т

п лучить дифференциальное урав­

и

Разделив (19.4) на

S , м

нение движения в несколькожноином виде:

з

my + ry = F (t),

(19.5)

вано

r = —.

(19.6)

где

исп

бозначение

льз

е

S

Р

мещение

y o и скорость

vo

У

называются начальными возмущениями.

Т

При отсутствии постоянно действующих динамических нагрузок диф­

ференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы

(19.5) становится однородным:

Н

my + ry = 0.

(19.7)

Б

Разделив (19.7) на m , получим:

y + а 2y = 0,

(19.8)

где

и

а =

\V

1

(19.9)

— =

.-----й

\ m

~jSm

го

Общее решение однор дн

линейного дифференциального урав­

т

яннымиркоэффициентами (19.8) может

нения второго порядка с п с

виде

быть представлено в

суммы двух периодических функций:

з

(19.10)

y(t) = A sin a t + B c o s a t .

Произв льные постоянные интегрирования A и

B зависят от на­

п

чальных в мущений (начальных условий) и равны:

лебаний

(19.8) можно придать более простой вид:

(19.11)

о

A

= v o ;

B = yo.

Р

a

ш нию (19.10) дифференциального уравнения свободных ко­

y(t) = Y sin(a t + n ),

(19.12)

2

У

Y = .

2

Гvo ^

П = arctg

Гyoa

(19.13)

y o +

l a J

vo

Т

Таким образом, при произвольных ненулевых начальных возму­

щениях движение массы будет происходить по синусоидальному

закону с постоянной амплитудой Y и сдвигом по фазе n .

Рассмотрим частные варианты начальных возмущений.

Вариант 1. Задано начальное отклонение массы, начальная ско­

рость равна нулю:

Н

й

(19.14)

y (o) = yo;

и

Б

v(o) = y (o) = °.

р

а затем в (19.Ю), получим:

во

(19.15)

y(t) = yo c o s a t .

т

времени в соответствии с уравнени­

График движения массы

ем (19.15) показан на р

с. 19.3.

о

и

- " О -

п

з

*• t

*£ - ..л , Л

е

yo

Р

Рис. 19.3

Таким образом, если отклонить массу на расстояние yo

от по­

T =

2п

(19.18)

----.

а

Величина, обратная периоду

Т

f = T-,

Н

Б

выражает число полных циклов колебаний в секунду, измеряется в

Герцах и называется физической частотой. Физическая частота свя­

зана с круговой частотой зависимостью:

й

и

f =

а

(19.2o)

2п

р

периодов свободных

Рассмотрим пример определен я частот

о

колебаний систем с одн й степенью свободы.

П р и м е р

т

19.1. Для сис емы, из браженной на рис. 19.5,а, требует­

и

и частоту в Герцах f .

ся определить круговую час у а , период T

а)

з

E J = 5,5 • Ю4 кНм2

m = 1,5 т

о

п

12 м

е

Р

X 1 = 1

У

направлении возможного перемещения массы (рис. 19.5,б). Затем вы­

числим податливость системы в этом направлении, то есть перемеще­

E J

Т

ние по направлению вертикальной вспомогательной силы, вызван­

ное самой вспомогательной единичной силой:

Н

5п = (М 1 • М 1 ) - — х

Б

х 1

• 2 • 2 - • 2 + — (1 -1 + 4 • 0,5 • 0,5 + 2 • 2)

44

3 E J '

2

3

6

й

и

По формуле (19.9) найдем круговую частоту:

а =

3EJ

3 • 5,5 4 0 " = 50 сек -1

44m

о

\

44 4,5

т

р

Период колебаний равен:

и

2 • 3,1416 01257

T

2^

з

= ------------ = 0,1257 сек .

T =

—

о

а

50

Физическая частота:

п

1

пролетной одноэтажной рамы (рис. 19.6,а), предполагая, что ригель

T

= 7,96 Г ц .

Р

0,1257

19.2. Определить частоту свободных колебаний одно­

П и м е р

а)

б)

m

5„

У

Т

Рис. 19.6

Н

Б

При невесомых стойках и абсолютно жестком ригеле раму мож­

но рассматривать как систему с одной степенью свободы, способ­

й

ную совершать горизонтальные колебания за счет изгибных дефор­

маций стоек. Вычислим полную массу ригеля:

и

M = m l .

р

Определим податливость 5

амы по горизонтали в уровне по­

крытия (рис. 19.6,б):

т

и

1 h h 2 h = h3

5 = 5 = 2 1

5 = 5ii = 2

о---- — • — • h

• — • — = --------.

з

E J

2 2

3 2 6EJ

круговую

11

частоту:

m lh

и найдем

п

6EJ

е

Р

19.7 показано определение жесткости рассматриваемой

На рис.

Рис. 19.7

У

Итак, имеем:

Т

„ E J

„ E J

6EJ

Н

r = 3—г + 3—г = — .

h3

h3

й

h3

и

Как видим, жесткость r обратна податл вости 5 .

р

19.3. Общий случай действ

я возмущающей нагрузки

о

При действии на систему с

дн й степенью свободы произволь­

т

общее решение неоднородного

ной динамической нагрузки F (t)

и

дифференциального уравнение движения вида (19.5) может быть

представлено в в де суммы двух решений:

з

y (t) = yi(t) + y2(tЬ

(19.21)

где

о

y1(t)

- бщее решение (19.10) или (19.12) соответствующего

е

дн родного уравнения (19.7) свободных колебаний;

- частное решение собственно неоднородного урав­

y 2(t)

Р

нения (19.5) вынужденных колебаний. Это частное

прешение примет вид:

y2 (t) = ® 5§F(u)sina(t - u)du .

(19.22)

0

где

u - вспомогательная переменная интегрирования.