Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

в виде одной синусоидальной функции:

У

si(t) = V-sin(0t + П Ь

(20.56)

где

Т

Н

Таким образом, формула (20.56) дает возможностьБнайти ампли­

туду Vi любого динамического ус л я через компоненты векторов

й

и

динамики

нить решение системы

n совместных линейных дифференциаль­

з

ных уравнений вт рого порядка, описывающих движение деформи­

системы с n степенями свободы, решением n независимых

о

лин йных дифференциальных уравнений второго порядка, описы­

вающихпдвижение как бы п независимых колеблющихся систем с

Итак, рассмотрим общие дифференциальные уравнения движе­

ния (20.2) некоторой линейно деформируемой системы с учетом

вязких сил сопротивления при произвольном силовом динамиче­

ском воздействии F (t) :

У

M Z + H Z + R Z = F (t).

Т

(20.57)

Н

ных колебаний (20.12):

Б

й

(20.58)

(R - а 2М )X = 0.

и

Получена матрица собственных частот Q

, а также матрица собст­

венных форм X , и могут быть построены (вычислены) матрица обоб­

щенных масс M (20.21) и мат ица обобщенных жесткостей R (20.22).

о

Введем в матричное уравнение (20.57) подстановку:

т

(20.59)

ложим

Z (tр) = X V (t),

то есть, выраз

век ор неизвестных динамических перемещений

з

через вектор новых не звестных функций от времени V (t) . Други­

ми словами, ра

динамические перемещения по собственным

формам св б дных не атухающих колебаний, представленных мат­

п

рицей

X

. Умн жим также матричное уравнение (20.59) слева на

е

матрицу собственных форм X T , и преобразу­

транс

онированнуюо

м го к виду:

Р

X

TM X V + X TH X V + X TR X V = X TF(t).

(20.60)

X TF (t) = W(t).

(20.61)

Коэффициенты при V и V в соответствии с обозначениями

(20.21) и (20.22) являются соответственно диагональными матрица­

ми обобщенных масс M и обобщенных жесткостей R . Коэффици­У

ент при V , который обозначим через

Т

H = X TH X ,

(20.62)

Н

является матрицей обобщенных коэффициентов вязкого сопротив­

Б

й

можно при условии, что исходная матр ца коэффициентов сопро­

тивления

H будет подчинена услов ю (18.14), то есть будет яв­

ляться линейной комбинацией исходной матрицы масс и матрицы

внешней жесткости. В результате получим:

H = X T (к1M +рк2R) X = k1M + к2R ,

(20.63)

где к1

о

ик2 - неко орые специально (как правило, эксперимен­

тально)тподобранные коэффициенты.

При с блюдениииусловий (18.14) и (20.63) матричное уравнение

движения (20.60) принимает вид:

з

о

M V + H V + R V = W(t)

(20.64)

и полностью разделяется, то есть становится эквивалентным п не­

зависимым дифференциальным уравнениям второго порядка:

е

Р

mivi + hivi + rivi = V i(t) (i = 1,2A ...,n ) .

(2065)

кого трения (20.63). Начальные условия vi(t0)

и v (t0)

могут быть

найдены из решения систем алгебраических уравнений общего ви­

да, полученных из (20.9) путем замены (20.59):

Т

X V (t0) = a,

X V (t0) = b

,

Н

(20.66)У

Б

или из уравнений с диагональными матрицами коэффициентов:

M V

(t0) = X TMa,

й

TM b .

(20.67)

M V (t0) = X

и

В случае, если условия (18.14) и (20.63) не выполняются, и матри­

р

ца H , вычисляемая по формуле (20.62), получается не диагональной, а

заполненной, то производят ее “волевую” д агонализацию, отбра­

вводятся дополн тельные

допущения в соответствии с так называемой

сывая недиагональные элементы. Выполняют это с одной единст­

венной целью: получить разделенную систему дифференциальных

т

уравнений движения вида (20.65). Тем более что на практике для ди­

намического расчета

ем с дн й степенью свободы искусственно

сис

незав

с

мого трения (см. раздел 19.6), которая бли­

теорией частотно

же отвечает опытным данным.

чно

Для значительного количества динамических воздействий на

систему с дн й степенью свободы в справочной литературе можно

п

найти аналитические решения. Однако некоторые из них оказыва­

уравнений движения. Основное достоинство численных методов

ются д стат

громоздкими. Поэтому в практических расчетах

при отсутствии аналитических решений, а также в качестве альтер­

Р

д4у( х, t)

д2у(х, t)

У

E I -^V ’ + т

’ = q( х, t),

(21.3)

дх

дt

Т

и может быть решено в аналитической форме.

21.2. Свободные колебания. Балочные функции

Б

Рассмотрим свободные поперечные колебания однородного двух­

опорного стержня постоянного сечения с равномерно распределен­

ной по длине массой. Дифференциальное уравнение движенияН(21.3)

при q(х, t) = 0 принимает вид:

й

E J

дх4

+ т

= 0.

(21.4)

дt

Как и в случае линейно

дефо

ми уемыхисистем с конечной степенью

свободы, будем искать гарм нические одночастотные колебания рас­

т

рй с бственной частотой о , когда его

сматриваемого стержня с нек

изогнутая ось (собственная ф рма к лебаний) описывается некоторой

пока еще неизвестной функц ей X (х) . Следовательно, можем предпо­

з

ложить, что искомое решен е уравнения (21.4) имеет вид:

о

иу( х, t) =

X (х)sin(оt + п ),

(215)

п

- с бственная форма;

где X (х)

- собственная круговая частота;

П -

начальная фаза собственных колебаний однородного

стержня с равномерно распределенной массой.

еПодставив (21.5) в (21.4) и сократив на sin(ot + rf), получим одно­

родное обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка

Ротносительно неизвестной формы собственных колебаний X (х) с не­

E JX IV - т о 2X = 0.

(21.6)

Разделив на EI и введя обозначение

n

4

т оо2

(21.7)

= -------.

E J

У

приведем дифференциальное уравнение (21.6) к виду:

Т

X IV - n4X = 0.

Н

(21.8)

К дифференциальному уравнению (21.6) или (21.8) необходимо

присовокупить граничные условия. Так, в случаеБсвободно опертой

балки пролетом l будем иметь:

й

X (0) = 0,

0,

E JX "(0) = - M (0) =

X ( l ) = 0,

E JX "(l)и= - M ( l ) =

0.

(219)

Общее решение однор дн

р

уравнения (21.8) имеет вид:

го

(21.10)

X (х) = С1ск(пх) + C2‘ЧН(пх) + C3 c o s ^ ) + C4 sin(nх).

т

Из граничных услов й (21.9) на левой опоре балки найдем, что

и

С1 = С3 = 0. Граничные условия на правой опоре балки дают:

з

о

C2sh(X) + С4 sin(^) = 0,

(21.11)

4

п

C2 sh(X) - С4 sin(^) = 0.

гдеЯ = n l , l - длина пролета балки.

Чтобы система однородных уравнений (21.11) имела ненулевое

решение, необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю. Это

Р

условие дает так называемое характеристическое уравнение:

Таблица 21.1

Функция

Первая

Вторая

Третья

Четвертая

производная

производная

производная

производная

K1(пх)

nK4 (пх)

п2^ (п х )

п3K2(пх)

п4^(пх)

K 2(пх)

nK1(пх)

п K 4(пх)

п ^ (п х )

п4K 2(пх)

Т

п4K3(nх)

K 4(пх)

nK 3(пх)

п K 2(пх)

п ^(п х)

п4K 4(пх)У

Б

Функции Крылова оказались очень удобными для выражения

форм колебаний балок с различными опорами. Общее решение

уравнения (21.8), выраженное через функции Крылова,Нформально

принимает вид:

й

X (х) = C1K 1(пх) + С2K 2(пх) + C3K 3(пх) + С4K 4(пх). (21.15)

Значения

р

Q -C 4 должны

четырех постоянных нтегр рования

по

быть подобраны так, чтобы

выполнялисьиграничные условия, то

т

к нцам - по два на каждом конце.

есть условия опирания балки

Для типовых случаев (балка на к нце свободна, шарнирно оперта

и

или жестко защемлена) граничные условия выражаются равенства­

ми нулю двух из следующ х че ырех величин:

п

X (х), X '(х), X "(х), X "'(х).

зпреимуществ функций Крылова является то, что с их по­

Одним из

мощью м

сразу написать общее решение (21.15), удовлетворяю­

постоянные

щ однороднымжно граничным условиям на конце балки (при х = 0 )

Р