тенциальной энергии деформации упругой системы и кинетической энергии движущихся масс системы остается постоянной величиной:
U + T = C = const.
В тот момент, когда скорость колеблющейся системы имеет ну левое значение, ее перемещения достигают амплитудных значений.
И наоборот, когда колеблющаяся система проходит положение рав |
||||||||||||
новесия и перемещения равны нулю, скорость движущихся масс |
||||||||||||
максимальна. Так как потенциальная энергия деформации пропор |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
циональна квадрату перемещений, а кинетическая энергия - квад |
||||||||||||
рату скоростей, то при прохождении положения равновесия: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
U = 0 |
|
T = Tmax = C |
|
Н |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а при амплитудном отклонении от положения равновесия: |
|
|
||||||||||
|
|
|
U = Umax = C, |
|
T = 0. |
Б |
|
|
||||
|
Следовательно, |
|
|
|
й |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Tmax = U max |
|
|
|
|
|
(22 5) |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим балку с п г нн й массой т ( х ), совершающую сво |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
бодные гармонические п перечные колебания с собственной часто |
||||||||||||
той о по собственной формеоу (х ): |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
т |
|
|
+ n ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у(х, t) = у ( х ^ п ^ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скор сть движущихся масс будет определяться выражением |
|||||||||||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду(х, t) |
= о у(х) cos(o t + n) . |
|
|
|
|||||
|
|
о dt |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Амплитудноеп |
значение кинетической энергии при cos(® t + n) = 1 |
||||||||||
буд т равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
651
Потенциальная энергия деформации получит максимальное, ам плитудное значение при sin(® t + rj) = 1. Исходя из определения
потенциальной энергии деформации и используя дифференциаль ное уравнение изгиба балки
|
|
|
|
|
E J (х)у"(х) = M |
(х), |
|
|
У |
||||
будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j E J (х)[у"(х)]2й х . |
|
|
||
|
Следовательно, на основании (22.5) имеем: |
Б |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
о 2 0 |
|
р |
й |
|
(22.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
мацииможно выразить через |
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
|||||||
|
Потенциальную энергию деф |
||||||||||||
действительную работу внешних сил: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
\M 2(х)йх = 1 |
|
|
|
|||||
|
|
U max = 2 j |
|
ET( \ |
2 |
jj q(х)у( х)й х , |
|
|
|||||
|
|
з |
т2 0 ET(х) |
2 0 |
|
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где q(х) - предполагаемая, приближенно задаваемая инерци |
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
нная нагрузка; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
у( х) - вызванная этой нагрузкой линия прогибов стержня. |
||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
Тогда формула (22.6) примет вид: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
j q(х)у( х)йх |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
о 2 |
0 |
|
|
|
|
|
(22.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
652
Формулы (22.6) и (22.7) позволяют вычислять частоты свобод ных колебаний в стержнях переменного поперечного сечения с не равномерно распределенной массой. Формулы являются точными,
если форма колебаний (линия прогибов) стержня, закон распреде |
|
ления масс, инерционная нагрузка и условия опирания стержня |
|
|
У |
(граничные условия) соответствуют друг другу. В противном слу |
|
чае эти формулы являются приближенными. |
Т |
Очень часто для оценки основной собственной частоты инерци онную нагрузку считают равной весу масс q(х) = g m (х) , прикла
дывают ее в направлении движения масс, а форму колебаний при нимают в виде статической линии прогибов, вызванной такой на
грузкой. Вычисление определенных интегралов в полученных фор |
||||||||||||
мулах также можно выполнить приближенно любым численным |
||||||||||||
методом (прямоугольников, трапеций, Симпсона и др.)Н. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степеней |
|
|
|
22.2. Замена распределенных масс сосредоточеннымиБ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми |
|
свободы заменяет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
||
|
Система с бесконечно большим ч слом |
|
||||||||||
ся системой с одной или нескольк |
степенями свободы. Для этого |
|||||||||||
распределенные по длине стержней массы заменяются эквивалентными |
||||||||||||
сосредоточенными массами. Чем |
больше |
сосредоточенных масс |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
заменяет распределенную массу, тем ближе будут вычисленные |
||||||||||||
приближенные |
значения |
динамических параметров к их точным, |
||||||||||
действительным |
|
ям.о |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Замена распределенных масс сосредоточенными может быть выпол |
|||||||||||
нена двумя способами. Предварительно элементы системы, несущие |
||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
распределенные массы, разбиваются на требуемое число участков. |
||||||||||||
|
п |
|
|
амены масс заключается в том, что масса каж |
||||||||
|
Первый сп с б |
|||||||||||
дого участка с средотачивается в его центре масс. В результате |
||||||||||||
вместо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рас ределенной массы получаем несколько сосредоточен |
|||||||||||
ных масс, количество которых равно количеству участков. |
||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ состоит в том, что суммарная масса участка рас пр д ля тся по узловым точкам на его границе. Так, для участка стержневого элемента масса распределяется по закону рычага в две сосредоточенные массы, располагаемые на его концах.
Рассмотрим однопролетную балку пролетом L , несущую равномер но распределенную массу интенсивностью т (рис. 22.1,а). Разбив про
653
лет балки на четыре участка равной длины, и сосредоточив массы уча стков в центрах участков, получим систему с четырьмя степенями сво боды (рис. 22.1,б). Применив второй способ и сосредоточив массы на границах участков, получим систему с пятью сосредоточенными масса
ми, но только с тремя степенями свободы (рис. 22.1,в). |
|
У |
|||||||||||
|
Цэ-сИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||
|
mL/4 |
|
mL/4 |
|
|
mL/4 |
|
Н |
|
||||
|
|
|
|
|
mL/4 |
|
|
||||||
|
и - * - |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
* " 2 , |
|
|
|
в) |
mL/8 |
|
mL/4 |
|
|
|
|
mL/4 |
mL/8 |
|
|
||
и - |
|
|
|
|
|
|
mL/4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тт. |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
||
|
L/4 |
|
L/4 |
|
|
L/4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
L/4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
жно |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
т |
Рис. 22.1 |
|
|
|
|
|
|||||
Аналогичным образ м м |
|
|
|
|
систему с большим количеством |
||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сосредоточенных масс замени ь системой с гораздо меньшим коли |
|||||||||||||
чеством сосредоточенных масс. То же можно сделать и с системой, |
|||||||||||||
несущей одновременно распределенные и сосредоточенные массы. |
|||||||||||||
|
22.3. Специальные численные методы решения |
|
|
||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общего |
частичнзй проблемы собственных колебаний |
|
|
||||||||||
вида позволяет для задачи вида (20.14) найти наибольшее |
|||||||||||||
Рассматриваемыйо |
в курсах по методам вычислений степенной |
||||||||||||
м тод вычисления наибольшего по модулю собственного значения |
|||||||||||||
и соотв тствующего собственного вектора квадратной матрицы |
|||||||||||||
собственное значение |
Xmax и тем самым вычислить наименьшую |
||||||||||||
Рсобственную частоту |
|
®m;n : V1 / Лпах и соответствующую собст- |
|||||||||||
венную форму колебаний.
654
Обратный степенной метод со сдвигом, также рассматриваемый в курсах по методам вычислений, позволяет для заданной матрицы найти собственное значение, ближайшее к заданному числу, и соот ветствующий собственный вектор. Этот метод позволяет выделить требуемое количество низших собственных значений и найти их вместе с соответствующими собственными векторами. Небольшая модификация этого метода допускает его применение для решения обобщенной проблемы собственных значений вида (20.12) для двух
симметричных матриц. Рассмотрим эту модификацию. |
|
|
|
У |
|||||||||
|
Перепишем систему (20.12) в виде: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R X |
= о 2M X . |
|
Т |
||||||
|
|
|
|
Н |
(22.8) |
||||||||
|
Зададим число |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
соо, и будем искать собственную частоту |
о |
, бли |
||||||||||
жайшую к этому заданному числу, и соответствующую собственную |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
форму (соответствующий собственный вектор X ) свободных колеба- |
|||||||||||||
ний. Вычтем из обеих частей |
|
|
|
|
|
2 |
|
^ |
|||||
|
|
(22.8) произведение ®оM X |
: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R - 02M )X = ( о 2 |
-о02)M X . |
|
|
|
|
|||||
|
Обозначив |
|
|
равенства |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
о |
|
|
= ¥■> |
|
|
(22.9) |
|||
|
|
|
(R - ® 2M ) = |
K ; (о 2 -®0Ь |
|
|
|||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
обобщенную проблему на собственные значения |
|||||||||||
для двух симметричныхиматриц: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
з |
|
K X = у/M X . |
|
(22.10) |
|||||||
|
|
новую |
|
|
|
||||||||
|
Дал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мето |
||
|
, в соответствии с технологией обратного степенного |
|
|||||||||||
да, можнопорганизовать следующий итерационный процесс (с учетом |
|||||||||||||
симм тричности матрицы внешней жесткости). |
|
|
|
|
|
||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
1. Разложить симметричную матрицу K на три множителя: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
K = LTDL . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
655
Провести анализ элементов диагональной матрицы D . Количе ство ее отрицательных элементов равно количеству собственных частот, меньших заданного числа о 0.
Не проводя последующих итераций, а только изменяя задавае |
|||||||||||||
мое число о 0, формируя новую матрицу K , разлагая ее на множи |
|||||||||||||
тели и анализируя количество отрицательных элементов на главной |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
диагонали сомножителя D , можно отделить требуемое количество |
|||||||||||||
собственных частот на требуемом участке спектра. В этом и состо |
|||||||||||||
ит метод дихотомии спектра собственных частот. |
Н |
У |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
2. Задать начальное приближение для |
искомого собственного |
||||||||||||
значения |
/ (k) и начальное |
приближение |
Б |
|
|
||||||||
для соответствующего |
|||||||||||||
собственного вектора X (k) . |
|
й |
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить вспомогательный вектор: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y(k) = M X (k). |
|
|
|
|
||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
из |
Найти в новом приближен собственный вектор X (k+1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
решения системы линейныхиалгебраических уравнений с |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
мат |
ицей коэффициентов: |
|
|
|
|||
|
|
|
факторизованн й |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
и |
L T D L X (k+1) = Y(k) . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Вычислить в новом приближении искомое собственное зна |
|||||||||||||
чение, |
|
|
уя скалярные произведения: |
|
|
|
|
||||||
|
|
исполь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п |
з |
/ (k+1) |
X (k)X (k) |
|
|
|
|
||||||
е |
|
|
|
|
|
X (k)X (k+1) |
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нормировать найденный вектор X (k+1). |
|
|
|
||||||||||
6. |
|
|
|
||||||||||
Если нормирование векторов производится к единичной длине, |
|||||||||||||
то в предыдущей формуле числитель заведомо равен единице. |
|
||||||||||||
7. |
При выполнении условий завершения процесса итераций вы |
||||||||||||
вести результаты:
656
/ (k+1) и X (k+1^
иначе принять:
/ (k) - / (k+1) и X (k) = X (k+1) ,
и повторить вычисления с пункта 3.
По завершении итераций искомая собственная частота вычисля |
|||||
ется по формуле: |
|
|
|
|
У |
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(22.11) |
|
Найденный собственный вектор X |
|
Н |
|
||
определяет соответствую |
|||||
щую собственную форму свободных |
|
. |
|
|
|
Матрица масс может быть как полож |
|
Б |
|
|
|
тельно определенной, так |
|||||
и неотрицательно определенной. |
ца жесткости после сдвига |
||||
(матрица K) может быть знаконеоп еделенной,колебанийно не должна полу |
|||||
читься вырожденной. Если мат |
ца K оказалась вырожденной, то |
||||
|
и |
|
|
|
|
заданное число а>0 равно дн й из собственных частот. |
|
|
|||
Приведенный алгори м вычисленияМатр |
собственного значения, |
||||
ближайшего к заданному числу (параметру сдвига), и соответст |
|||||
вующего собственного векоралегко реализуется на компьютере |
|||||
на основе любого ятыка программирования и известного про |
|||||
граммного обеспечен я. Он позволяет вычислять собственные |
|||||
частоты и с бственныеиформы свободных колебаний, описывае |
|||||
мых уравнениями вида (20.12) или (22.8). Отметим, что разложе |
|||||
з |
|
|
|
|
|
ние матрицы K на множители может быть также выполнено лю |
|||||
бым численнымометодом, даже без учета ее симметричности. |
|
||||
В современных проектно-вычислительных комплексах методика |
|||||
обратногопстепенного метода применяется для одновременных ите |
|||||
раций н скольких (в принципе, произвольного количества k ) соб |
|||||
е |
|
|
|
|
|
ственных частот и соответствующих собственных форм. Учитывае |
|||||
мое в практических расчетах количество собственных форм обычно |
|||||
Рменьше динамической степени свободы деформируемой системы и |
|||||
значительно меньше ее общей степени свободы (k << n ) . По срав-
657
нению с другими методами частичного решения первой задачи ди намики сооружений метод одновременных итераций обладает луч шей обусловленностью. Он позволяет получать искомые частоты и формы колебаний с заданной точностью. Рассмотрим метод одно временных итераций более подробно.
Предположим, что для системы (22.8) порядка n требуется найти k
младших собственных частот, образующих диагональную матрицу |
У |
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка k , и k |
соответствующих собственных форм, образующих |
||||||||
прямоугольную матрицу размерности ( n ■k ): |
Н |
|
|||||||
Б |
|
|
|||||||
|
|
х - [ X |
... |
|
]. |
|
|
||
Подставим их все в систему (22.8) |
|
й |
|
|
|||||
|
выраз |
м ее в таком виде: |
|
||||||
|
|
|
|
и |
|
(22.12) |
|||
|
|
R X - M X Q 2. |
|
||||||
Если бы значения |
|
р |
|
|
|
|
|||
k иск мых частот и соответствующих собст |
|||||||||
венных векторов |
быоизвестны, |
то система (22.12) была бы |
|||||||
удовлетворена тождественно. Если же задать их значения прибли |
|||||||||
женно и |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
ть только в правую часть (22.12), то получим сис |
|||||||||
тему уравнений, к торая позволит уточнить искомые собственные |
|||
|
|
были |
|
формы (с бственные векторы). Итак, обозначив матрицу уточняемых |
|||
|
|
з |
|
собственных вект ров через Y , имеем для ее определения систему: |
|||
|
подстав |
(22.13) |
|
|
п |
RY(i) - P(i-1),Pi-1) - MX(i-j)Q2-D, |
|
|
|
|
|
гдеi - номер итерационного приближения. |
|
||
|
Система (22.13) эквивалентна системе (22.12) и представляет со |
||
бой k систем линейных алгебраических уравнений с одной и той |
|||
Р |
|
|
n (матрицей |
же симметричной матрицей коэффициентов порядка |
|||
658
внешней жесткости) и k правыми частями, зависящими от при-
ближенных значений квадратов искомых собственных частот Q 2- 1)
и собственных форм X (г-- 1) . Ее решением будет матрица Y(i)
уточненных собственных форм, или собственных векторов.
Затем можно было бы найти уточненные значения искомых соб
|
|
|
|
Т |
|
ственных частот, применив для этого отношение Релея, которое |
|||||
можно получить из системы (22.8), подставив в него уточняемые |
|||||
|
|
|
Н |
У |
|
собственные векторы Y j , составляющие матрицу Y(i): |
|
||||
|
|
( j - |
Б |
(22.14) |
|
|
|
1,2,...,k ), |
|||
где |
|
й |
|
|
|
j - номер вычисляемой собственной частоты и соответст |
|||||
ределенной форме (а не все векто ысходились к одной форме с низ |
|||||
i |
вующей формы колебаний; |
|
|
|
|
- номер итерационного пр бл жен я. |
|
|
|
||
Однако чтобы в процессе ите ац й каждый вектор сходился к оп
|
|
|
|
всего |
|
|
шей частотой), весь набор иск мых с бственных векторов необходимо |
||||||
привести к взаимно ор ог нальнрму виду. Это можно выполнить раз |
||||||
|
|
и |
|
п ступают следующим образом. |
||
личными методами. Но чаще |
||||||
С помощью |
тер руемых собственных векторов, образующих |
|||||
|
з |
|
|
|
||
прямоугольную матртцу Y>-), производят замену переменных в |
||||||
|
вектор |
|
|
|
|
|
системе (22.8): |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
X |
- Y Z , |
(22.15) |
|
|
новых переменных порядка k . |
|
||||
Р |
Z - |
|
|
|||
|
|
|
|
Y T , переходят к редуцированной |
||
Затпм, умножив (22.8) слева на |
||||||
обобщ нной проблеме собственных значений: |
|
|||||
|
Y TR Y Z - O>2Y TYMYZ, или R Z - о 2M Z , |
(22.16) |
||||
где матрицы R и M уже имеют порядок k . |
|
|||||
659
Если бы векторы, составляющие прямоугольную матрицу Y , были бы точными собственными векторами, то они удовлетворяли
бы редуцированной системе (22.16). Причем матрицы R и M были бы диагональными, а так они получаются заполненными, симмет
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
ричными, и только в процессе итераций будут приближаться к диа |
|||||||||||
гональным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так как порядок редуцированной обобщенной проблемы собст |
||||||||||
венных значений (22.16) намного меньше исходного числа степеней |
|||||||||||
свободы (k << n) , для ее решения применяют стандартные методы |
|||||||||||
решения полной проблемы собственных значений, например, метод |
|||||||||||
вращений, или метод Якоби. Решив полную проблему собственныхТ |
|||||||||||
значений (22.16), получают матрицу уточненных частот |
) и мат |
||||||||||
рицу ортогональных и нормированных векторов Z (Н) порядка k , |
|||||||||||
от которых необходимо вернуться к первоначальным переменным |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
порядка n . Сделать это можно по формулам вида (22.15): |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
X (i) - |
|
й |
(22.17) |
||
|
|
|
|
|
|
Y(i)Z (i) . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
||
|
Итак, окончательно алг итм метода одновременных итераций |
||||||||||
(его еще называют ме |
д м и |
|
в подпространстве, так как |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ераций |
|
|
|
|
|
в процессе итераций совершае ся попеременный переход от задач |
|||||||||||
большой размернос |
n ок задачам существенно меньшей размер |
||||||||||
ности k ) состо т следующихт |
этапов. |
|
и пробных чисел Q(i-1) . |
||||||||
|
1. |
Задать набор пробных векторов X ( ^ |
|||||||||
|
2. |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
С ставить систему уравнений (22.13) порядка n и найти ее k |
||||||||||
решений, |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|||
|
есть вычислить прямоугольную матрицу Y (i) . |
|
|||||||||
|
3. |
Перейти к редуцированной проблеме собственных значений (22.16) |
|||||||||
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
||
порядка k , то есть составить матрицы R |
|
и M , решить для них |
|||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
полную проблему собственных значений и вычислить в новом при |
|||||||||||
ближении |
искомые собственные частоты |
Q(i) и набор вспомога |
|||||||||
тельных ортогональных векторов Z (г) . |
|
|
|
|
|||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
660