4. По формуле (22.17) вычислить в новом приближении иско мые собственные формы Х ф , нормировать их.
В ходе итераций матрицы R () и M (г) стремятся к диагональным, а матрица Z(i) стремится к единичной. В качестве начального прибли жения можно принять Q^0) = Е (единичной матрице), а X (0) соста
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
вить из векторов перемещений, полученных загружением исходной |
||||||||||||||
деформируемой системы к |
подходящими независимыми нагрузка |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
ми. Опыт вычислений показывает, что если требуется получитьУс |
||||||||||||||
достаточной точностью к |
собственных векторов, то итерировать |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
. аилуч |
|
необходимо несколько большее количество векторов к1 |
||||||||||||||
ший выбор определяется меньшей из двух величин: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
||
|
|
|
|
|
к1 = min(2k, к + |
8). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||
П р и м е р 22.1. Найти собственные частоты и собственные фор |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
мы свободных колебаний однопролетной одноэтажной рамы, несу |
||||||||||||||
щей три сосредоточенные массы ( |
с. 22.2). |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
10 т |
|
|
|
2 0 т |
|
|
10 т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
о |
|
|
|
|
12 м |
|
|||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
12 м |
|
|
|
12 м |
|
|
|
|
|
||
|
п |
|
|
|
|
|
Рис. 22.2 |
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ж сткости стержней рамы на изгиб и на растяжение-сжатие со |
||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отв тств нно равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
E J1 = 2,34 • 105 кНм2, |
EA1 = 7,8 • 106 кН для стоек, |
||||||||||||
|
E J2 = 5,55 • 10 кНм2, |
EA2 |
= 10,4 • 10 кН для ригеля. |
|||||||||||
661
Решение ведем в матричной форме методом перемещений с уче том продольных деформаций. Дискретная расчетная модель рамы (рис. 22.3) в этом случае имеет девять возможных упругих переме
щений и двенадцать неизвестных независимых усилий. Точечные |
|||||||||||||
массы могут перемещаться линейно по вертикали и горизонтали, |
|||||||||||||
инерцией их вращения пренебрегаем. Следовательно, суммарная |
|||||||||||||
динамическая степень свободы системы равна шести. Собственные |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
частоты и собственные формы свободных колебаний найдем из ре |
|||||||||||||
шения системы однородных алгебраических уравнений (22.8) девя |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
того порядка, где матрица масс будет иметь нулевые элементыУпо |
|||||||||||||
направлению угловых степеней свободы. |
|
|
Б |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
й |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
о |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22.3и |
|
|
|
|
||||
Вырезав последова ельно узлыр2, 3 и 4, составим девять уравне |
|||||||||||||
ний равновесия: |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
з |
|
|
= 0; |
|
Мк1 - M n2 = 0; |
||||||
-0 1 + N 2 |
= 0;т- N 1 - Q2 |
|
|||||||||||
|
о |
|
|
Q2 - Q3 = 0; М к2 - М п4 = 0 ; |
|||||||||
|
- N 2 |
|
+ N 3 = 0 ; |
|
|||||||||
Р |
- N 3 - Q4 = 0; |
|
Q3 - N 4 = 0; |
|
М к3 - М п4 = 0 . |
||||||||
|
|
из уравнений равновесия поперечные силы |
|
||||||||||
Исключивп |
|
||||||||||||
е |
|
|
|
Qi = |
Мк ■- М пi |
(i=1,...4), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 п |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
li |
|
|
|
|
|
|
|
662
получим матрицу размером 9x12 коэффициентов системы уравне ний равновесия:
|
|
|
0 |
|
1 -1 |
|
12 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
||
|
|
|
12 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
- 1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
12 |
|
0 |
-1 2 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 -1 2 |
0 |
|
0 |
12 |
0 |
|
0 |
|
0 |
Т |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|||||||||||
A = — 0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
-1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
-1 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
12 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
12 |
0 |
-1 2 |
|
0 |
|
Н |
0У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 -1 2 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
- |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
|
Б |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 -1 2 |
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
-1 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
||
|
Вычислим матрицы внутренней жесткости: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
для вертикальных стержней № 1 |
№ 4: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
650000 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Gi = G4 = |
о |
78000 |
- 39000 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
0 |
|
|
- 39000 |
|
78000 |
|
|
|
||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
для горизонтальных с ержней № 2 и № 3: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
т"867000 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
= |
0 |
|
185000 |
|
- 92500 |
|
|
||||||||
|
|
|
G2 |
= G3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
G |
|
- 92500 |
|
185000 |
|
|
|||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
G = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р |
Построим суммарную матрицу внутренней жесткости: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
|
|
|
|
663
и, применив формулу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = A TG A , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получим матрицу внешней жесткости девятого порядка: |
|
|
|
У |
|||||||||||||||
|
“ |
868 |
|
0 |
- 9,75 |
|
- 867 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
654 |
- 23,1 |
|
|
0 |
- 3,85 |
- 23,1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
||
|
- |
9,75 |
- 23,1 |
263 |
|
|
0 |
23,1 |
92,4 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
- 867 |
|
0 |
0 |
|
|
1733 |
0 |
0 |
- 867 |
Н |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
R = 1000• |
0 |
|
- |
3,85 |
23,1 |
|
|
0 |
7,70 |
0 |
|
0 |
- 3,85 |
- 23,1 |
|||||
|
|
0 |
|
- |
23,1 |
92,4 |
|
|
0 |
0 |
370 |
Б |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
23,1 Т92,4 |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
- 867 |
0 |
0 |
868 |
|
0 |
- 9,75 |
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
- 3,85 |
23.1 |
|
0 |
654 |
|
23,1 |
||
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
- 23,1 |
92,4 |
- 9,75 |
23,1 |
|
263 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующая матрица масс девятого порядка примет вид: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
“10 |
|
|
|
|
р20 |
й |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
10 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M |
= |
и |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примоним к решению обобщенной проблемы собственных значе |
||||||||||||||||||
ний для олученных матриц обратный степенной метод со сдвигом: |
|||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
(R - a ^ M )X = (со2 - & 2 ) M X . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Предварительно необходимо составить соответствующую ком пьютерную программу, реализующую следующие матричные опе рации: сложение-вычитание матриц, умножение матрицы на вектор
664
и скаляр, разложение матрицы на треугольные множители и реше ние системы линейных алгебраических уравнений.
Найдем сначала наименьшую собственную частоту. Для этого зада-
2
дим параметр сдвига DQ = 0 . Выполнив соответствующие вычисления,
найдем, что наименьшая собственная частота d |
= 7,697 рад/с. |
|
У |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
Далее зададим параметр сдвига достаточно большим, например, |
||||||||||||
а>0 = 2 • 106 . Выполнив разложение |
сдвинутой |
матрицы |
|
на тре |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||
угольные множители, обнаружим, что на главной диагонали со |
|||||||||||||
множителя находится шесть отрицательных элементов. Следова |
|||||||||||||
тельно, при данном сдвиге метод обратной итерации найдетТшестую |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
апом |
|
собственную частоту как ближайшую к параметру сдвига. |
|
|
|||||||||||
ним, что старшие три собственные значения данной обобщенной |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
проблемы девятого порядка формально являются бесконечно боль |
|||||||||||||
шими, так как в матрице масс имеются три нулевых элемента. Вы |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
полнив итерации, получим, что d>6 = 416,4 рад/с. |
|
|
|
|
|||||||||
представлены в табл. 22.1. параметра |
сдв га |
из |
интервала [7,692; |
||||||||||
|
Постепенным выбором |
|
|
||||||||||
416,42] найдем остальные четы е собственные частоты и соответст |
|||||||||||||
вующие собственные формы. Результаты выполненных вычислений |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
Таблица 22.1 |
|||
|
|
|
|
|
Собсовенная частота (рад/с) |
|
|||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|||||
|
№ |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
6 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
Значение |
7,697 |
13,47 |
255,0 |
|
255,3 |
|
294,6 |
|
416,4 |
||||
|
№ |
о |
иСоответствующие собственные формы |
|
|
|
|||||||
|
|
. |
|
|
(нормированы к единичнойдлине) |
|
|
|
|||||
перемещ |
0,5767 |
0,0010 |
0,0001 |
|
0,00280 |
-0,7066 |
-0,5770 |
||||||
|
1 |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
0,0005 |
-0,0028 |
-0,7044 |
|
0,7044 |
0,0028 |
0,0004 |
||||
Р |
3 |
|
0,0260 |
0,0870 |
-0,0376 |
|
0,0622 |
-0,0259 |
-0,0260 |
||||
4 |
|
0,5772 |
0 |
0,0005 |
|
0 |
|
0 |
0,5766 |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
|
0 |
|
-0,9924 |
0 |
|
-0,0020 |
-0,0007 |
|
|
0 |
|
е6 |
|
-0,0129 |
0 |
-0,0693 |
|
0 |
|
0 |
0,0130 |
||||
|
7 |
|
0,5767 |
-0,0010 |
0,0001 |
|
-0,0028 |
0,7066 |
-0,5770 |
||||
|
8 |
|
-0,0005 |
-0,0028 |
0,7044 |
|
0,7043 |
0,0028 |
0,0004 |
||||
|
9 |
|
0,0260 |
-0,0870 |
-0,0376 |
|
-0,0622 |
0,0259 |
-0,0260 |
||||
665
Все вычисления программно выполнялись с двойной точностью (не менее 15 значащих цифр). Приведенные выше значения элемен тов матрицы R и внесенные в табл. 22.1 результаты вычислений представлены с точностью в три - четыре значащие цифры. Это обусловлено только шириной страницы данного издания. В практи ческих расчетах все промежуточные данные следует сохранять ми
нимум с шестью значащими цифрами. Это связано с плохой обу |
||||||||||
словленностью задач динамики сооружений. При небрежном обра |
||||||||||
щении с промежуточными данными окончательные результаты мо |
||||||||||
гут различаться в несколько раз. Именно поэтому конечные резульУ |
||||||||||
таты, полученные с помощью разных программных продуктов по |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
разным численным алгоритмам, как правило, совпадают лишь с |
||||||||||
точностью до трех - четырех значащих цифр. |
|
|
|
|||||||
|
Плохая обусловленность численных решений свойственна всем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
задачам теории сооружений при совместном учете продольных и |
||||||||||
изгибных деформаций и при |
расчете |
систем, элементы которых |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
сильно отличаются размерами своих поперечных сечений. Испра |
||||||||||
вить такую ситуацию может только компьютерный расчет с двой |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
ной точностью и разумное, осто ожное округление промежуточных |
||||||||||
результатов. Во всех случаях |
необход |
м контроль конечных ре |
||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
зультатов. По крайней мере, п вт ный |
асчет с незначительно из |
|||||||||
мененными (возмущенными) исх дными данными. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
22.4. Пр менениеометода степенных рядов |
|
||||||
|
|
|
|
|
для прямого интегрирования |
|
|
|||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференц альных уравнений движения |
|
||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Сн ва рассм трим общие дифференциальные уравнения движе |
|||||||||
ния нек т р зй деформируемой системы при вязких силах сопро |
||||||||||
|
|
и |
|
р изв льных динамических нагрузках: |
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
M Z + H Z + R Z = F (t), |
|
|
(22.18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с начальными условиями: |
|
|
|
|
|
|||||
тивления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
Z (t0) = Z 0,Z (t0) = Z1. |
|
|
(22.19) |
||
666
Будем искать решение системы (22.18) в некоторой точке t = t1,
удаленной от начальной точки t = tq на величину шага h = t1 —tq ,
в виде ряда Тейлора по степеням шага h |
до четвертого порядка |
||||||||||||||||
включительно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z f r ) = Z (to )+ Z (to )h + 2 Z (to )h 2 + 1 Z (to )h 3 + 4 Z /F (to )h4, |
|||||||||||||||||
или в упрощенных обозначениях: |
|
|
|
|
Б |
|
Т(22.20) |
||||||||||
|
Z = Z 0 + Zi h + 1 Z 2 h 2 + 1 Z 3 h 3+ |
, |
|||||||||||||||
|
— |
Z4 h 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
6 |
324 |
4 |
где символ Z |
без индекса обозначает искомый векторНпереме |
||||||||||||||||
|
щений в точке t1; |
|
|
|
й |
|
|
|
|
||||||||
символы |
|
Zk |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(k = 0,1,2,3,4) |
с нижними индексами к обо |
|||||||||||||||
|
значают вектор |
перемещен |
|
векторы их соответст |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
вующих производных, выч сленные в точке t0 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
по |
в емени (по переменной h ), по |
||||||||||
Дифференцируя ряд (22.20) |
|
||||||||||||||||
лучим выражения для вычисления векторов скоростей и ускорений |
|||||||||||||||||
в точке t1: |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
з |
т^ |
|
1 |
|
2 |
1 ^ |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
-г |
|
|
|
(22.21) |
|||||||||
о |
|
Z = Z1 + Z 2h + ^ Z 3h + ^ Z4h ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
п |
|
|
|
Z = Z2 |
+ Z3h + 2 Z4h . |
|
|
(22.22) |
|||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z q и век |
|
Знач ния компонент вектора начальных перемещений |
|||||||||||||||||
етора начальных скоростей Z1 |
заданы как исходные данные (22.19). |
||||||||||||||||
Значения компонент вектора начальных ускорений Z 2 |
|
найдем из |
|||||||||||||||
исходных уравнений (22.18), представив их как систему алгебраи
667
ческих уравнений относительно вектора Z 2 с матрицей коэффици ентов M :
M Z 2 = F (t0) —H Z 1—R Z 0 . |
(22.23) |
|
У |
Для вычисления значений компонент векторов третьих и четвер |
|
тых производных перемещений по времени продифференцируем |
|||||
дважды исходные уравнения (22.18). В результате сможем получить |
|||||
еще две рекуррентные системы линейных алгебраических уравнений: |
|||||
M Z 3 = F (t0) —H Z 2 —R Z X; |
|
Т(22.24) |
|||
M Z 4 = F(to ) —H Z 3 —R Z 2 . |
Н(22.25) |
||||
|
|
|
|
Б |
|
Итак, имеем следующий одношаговый численный метод четвер |
|||||
того порядка точности для прямого нтегр рования дифференци |
|||||
альных уравнений движения |
|
второго порядка) без их |
|||
|
|
|
й |
|
|
преобразования к нормальному в ду, то есть к системе дифферен |
|||||
циальных уравнений перв |
п ядка,иазрешенных относительно |
||||
первых производных. |
|
(уравнен |
|
|
|
В начале шага ин егрир вания д полнительно к векторам началь |
|||||
ных перемещен й Z q начальных скоростей |
Z 1 необходимо вы |
||||
|
го |
|
|
|
|
числить еще три вектора:тZ 2 , Z 3 и Z 4 , решив последовательно три |
|||||
системы рекуррентных алгебраических уравнений (22.23)-(22.25). |
|||||
и |
|
|
|
|
|
Затем по ф рмулам (22.20) и (22.21) вычислить искомые значения |
|||||
перемещенийзи ск ростей в конце шага интегрирования. Затем про |
|||||
вт ряется: точка t1 рассматривается как начальная и ищется |
|||||
о |
|
|
|
|
|
р ш ние в точке t2 = t1+h . |
|
|
|
|
|
Ппр д началом очередного шага сопоставляются значения уско |
|||||
Рцесср ний, вычисленные путем решения системы уравнений (22.23) и вычисленные по формуле (22.22). По результатам сопоставления производится корректировка длины шага интегрирования.
Рассмотренный метод имеет четвертый порядок точности, так как в разложении (22.20) отброшены члены пятого порядка и выше
668
относительно длины шага h . По этой причине метод приобрел
демпфирующие свойства. Численные эксперименты показывают, что |
|
с увеличением шага или длины отрезка интегрирования (количества |
|
шагов) решение затухает. В расчетном отношении динамическая сис |
|
тема как бы стремится к состоянию равновесия или к режиму уста |
|
новившихся колебаний даже при отсутствии сил сопротивления. |
У |
|
|
Если в разложении (22.20) сохранить члены не выше второго поряд |
|
Т |
|
ка относительно шага h , то получим известный метод постоянного ус корения (третья производная перемещений по времени равна нулю), а
если сохранить члены не выше третьего порядка относительно шага h , то будем иметь другой известный метод - метод линейного ускоре ния. В некоторых современных проектно-вычислительных ком
плексах численные методы динамического расчета данного типа |
|||||||||
составляют альтернативу даже общепринятым методамНрешения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
задач статики сооружений: задачи расчета сооружений на статиче |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
||
ские воздействия решаются как динамические, Бметодом установле |
|||||||||
ния. Статическая нагрузка рассматр вается как динамическая, вне |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
запно приложенная при нулевых начальных условиях. По мере за |
|||||||||
тухания колебаний при учете |
с л соп от вления деформируемая |
||||||||
система приближается к |
состоянию |
авновесия, отвечающему при |
|||||||
|
|
|
|||||||
ложенной нагрузке. |
т |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
и |
ГЛАВА 23 |
|
||||
|
М ЕТО Д Ы ИССЛЕДОВАНИЯ У СТО Й ЧИ В О СТИ |
||||||||
|
о |
|
УПРУГИХ СИ СТЕМ |
||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.1. П |
нятиезравновесии в деформированном состоянии. |
|||||||
|
Уст |
йчивые и неустойчивые состояния равновесия |
|||||||
действия сил, или принцип суперпозиции. Каждое очередное воздей |
|||||||||
Р |
В лин йной строительной механике при расчетах на статические и |
||||||||
динамич ские нагрузки широко применяется принцип независимости
ствие (нагрузка, изменение температуры, осадка опоры и т. п.) при кладывается к недеформированной расчетной схеме сооружения при молчаливом предположении, что в элементах этого сооружения нет никаких внутренних сил, вызванных предыдущими воздейст
669
виями, а деформации и перемещения от прикладываемого воздей ствия не изменяют геометрии расчетной схемы. При таком подходе уравнения равновесия составляются для исходной, недеформиро-
ванной расчетной схемы. Результат действия нескольких нагрузок, |
|
приложенных одновременно или последовательно, без разницы, |
|
равен сумме результатов, вызванных действием каждой нагрузки, |
|
приложенной в отдельности, независимо от других. Это дает воз |
|
|
Т |
можность суммировать усилия и перемещения от отдельных воз |
|
действий в самых разных сочетаниях, чтобы получить результат, |
|
Н |
|
наиболее неблагоприятный с точки зрения прочности или жесткостиУ |
|
сооружения. Более того, перемещения, вызванные каждым воздей |
|
Б |
|
ствием в отдельности, или всеми воздействиями вместе, полагаются |
|
пренебрежимо малыми по сравнению с общими габаритами соору |
||
жения, и влияние искажения геометрии сооружения за счет дефор |
||
|
|
й |
маций на распределение внутренних сил в элементах сооружения не |
||
учитывается. Все эти предпосылки позволяют обо тись при расчете |
||
|
альными |
|
сооружений линейными зависимостями |
лине ными уравнениями, |
|
алгебраическими или дифференц |
|
. На линейных зависи |
р |
|
|
мостях и линейных уравнениях и пост оена классическая, линейная |
||
строительная механика. Расчет соо ужен й методами классиче |
||
ской, линейной строительн й механики называют расчетом по не- |
||||||
|
|
|
|
|
дает |
|
деформированной расчетн й схеме, или расчетом по недеформиро- |
||||||
ванному состоянию. |
|
|
сказать т чнее, то классическая линейная |
|||
|
|
|
Если |
оме оды определения внутренних сил и |
||
строительная механ |
ка |
|||||
|
|
возн |
|
|
||
перемещений, |
|
кающ х в элементах сооружения от нагрузок и |
||||
воздействий, пр ложенных к начально-ненагруженному и неде- |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
формированному сооружению. При этом предполагается выполне |
||||||
ние двух главных условий: материал сооружения подчиняется зако |
||||||
|
п |
|
|
|
|
|
ну Гука, а еремещения элементов сооружения пренебрежимо малы |
||||||
избежно существующих внутренних сил в элементах вновь нагру |
||||||
по сравнению с габаритами сооружения и не влияют на распределе |
||||||
ние внутренних сил. |
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
|
|
|
В р альных сооружениях искажением расчетных схем за счет их д формаций действительно можно пренебречь. Однако неучет не
жаемого сооружения не всегда является обоснованным. Обратимся к фактам.
Факт первый. Монтажник руками может свободно отклонить в сторону крюк подъемного крана. Но если к крюку будет подвешен
670