нагрузок. Примем, что нагрузки пропорциональны одному обще му параметру F .
При образовании балочных механизмов в пролетах следует учи тывать, что на опорах, на которых меняются несущие способности сечений, а изгибающие моменты, исходя из условия равновесия уз лов, слева и справа одинаковы, пластические шарниры будут воз
никать в сечениях, принадлежащих пролету с меньшей несущей |
||||||||
способностью. Для опоры В, например, пластический шарнир воз |
||||||||
никнет в сечении справа от опоры, и будет воспринимать предель |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
ный момент М ^^)д. На опоре С пластический шарнир возникнет |
||||||||
также в сечении справа от опоры и будет воспринимать предельный |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
момент М {'^ед. Балочные эпюры будем подвешивать к линиям пре |
||||||||
дельных опорных моментов: ab - в первом пролете, ЬсН- во втором |
||||||||
и cd - в третьем пролете (рис. 17.9,в). В результате балочные эпюры |
||||||||
изгибающих моментов впишутся в эпюру несущихБспособностей |
||||||||
рассматриваемой балки так, как показано на рис. 17.9,в. |
||||||||
|
Рассмотрим образование балочных |
механизмов в каждом из |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
пролетов отдельно. В первом п олете такой механизм образуется |
||||||||
при появлении двух пластических ша |
|
в сечениях К (под ле |
||||||
вой силой F) и В (справа т |
|
ниров |
|
|||||
п ы В). Соотношение между ордина |
||||||||
тами балочной эпюры изгибающих моментов и ординатами эпюры |
||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
несущих способнос ей пределяется равенством: |
||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т— = 12 М пред+тМ пред , |
|
|||
из кот р |
|
и |
|
|
|
|
||
найдем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
з |
F (1) |
= 4 6 МпРед |
|
|||
|
|
го |
|
|
||||
|
|
|
1 пред |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второйппролет превратится в механизм (рис. 17.9,г) при образо |
|||||||
вании пластических шарниров в сечениях В (справа от опоры), Т |
||||||||
е(под силой 2F) и С (справа от опоры). Из соотношения ординат ба |
||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
лочной эпюры и ординат эпюры несущих способностей пролета следует:
551
|
|
F I _ М |
М пред + 0,6М пред |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
пред |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
откуда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
F(2) |
_ 3 6 Мпред |
■ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 пред |
? |
|
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В третьем пролете балочный механизм возникнет при появлении |
|||||||||||||
пластических шарниров в сечениях С (справа от опоры), D (в сечении, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
примыкающем к защемлению) и в середине пролета. Из равенства |
|
||||||||||||
|
|
9 2 ' _ 0.6М„„0+ о,6М |
|
Н |
|
||||||||
|
|
Б |
|
|
|||||||||
следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F(3) _ 4 267 Мпредй |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 пред |
> |
|
|
i |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||
Предельное значение парамет а наг узки F находится из условия: |
|||||||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
|
min |
(F (1) |
F (2) |
|
F (3) )_ |
3 6 Мпред |
■ |
|
|
|||
1 пред |
11Ш1 |
V пред’ 1 пред’ |
1 пред) |
^ |
|
|
|
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельному состоян ю соответствует образование механизма |
|||||||||||||
разрушения |
втором пролете балки (рис. 17.9,г). |
|
|
|
|
||||||||
Рассм трим |
примеррасчета однопролетной балки с кусочно |
||||||||||||
постоянн й жесткзстью на участках АС и CD (рис. |
17.10). Для пе |
||||||||||||
балки в предельное состояние необходимо образование двух |
|||||||||||||
пластич ских шарниров. Один из них возникнет в сечении, примы |
||
|
|
во |
кающ м к защемлению, а второй может появиться либо в сечении |
||
|
п |
|
под силой F, либо в сечении С, то есть там, где изменяется жест |
||
кость балки. Примем, что предельные моменты сечений балки на |
||
рехода |
АС равны М пред, а на участке CD - 0,6М пред. Эпюра несу |
|
участке |
||
щих способностей сечений балки показана на рис. 17.10,в. Балочная |
||
Р |
|
|
эпюра изгибающих моментов показана на рис. 17.10,б.
552
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мента под силой F равным сумме соответствующих ординат на эпюре несущей способности, получим уравнение:
2F a |
|
2 |
|
|
|
= М пред + ~ М пред , |
|
||||
из которого найдем предельную нагрузку для рассматриваемой |
|||||
балки: |
|
|
|
У |
|
F |
= 2 5 M пРед |
|
|||
' |
Т |
||||
пред |
? |
a |
|||
|
|
|
|||
В рассмотренных примерах решались задачи по определению |
|
предельных нагрузок на неразрезные балки, несущаяНспособность |
|
|
й |
которых полагалась известной (были заданы предельные моменты, |
|
которые могли воспринять сечения). |
Б |
На практике иногда требуется реш ть обратную задачу: по за |
||||||
данной (предельной) нагрузке в каждом пролете необходимо найти |
||||||
предельные изгибающие моменты, а по н м подобрать размеры се |
||||||
чений балки. Порядок действий п ииэтом следующий: |
||||||
а) в каждом |
пролете |
|
ится балочная эпюра изгибающих |
|||
моментов; |
|
|
|
|
р |
|
б) в каждом проле е на бал чных эпюрах проводятся осевые ли |
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
нии таким образом, ч обы максимальные ординаты балочных эпюр |
||||||
делились пополам (в случае равенства предельных моментов при |
||||||
растяжении верхн |
|
ст |
|
|||
х волокон и нижних волокон балки) или в дру |
||||||
гом со тн шении, |
|
предельные моменты при растяжении верх |
||||
|
|
если |
|
|
||
них вол к н и нижних волокон балки разные; при этом на каждой |
||||||
|
з |
|
|
|
||
промежут чн й |
поре оказываются два разных предельных момен |
|||||
та, соответствующие двум смежным пролетам; |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
в) устанавливается окончательное положение осевой линии |
||||||
балки:пположение осевой линии в пролете с наименьшими мо |
||||||
м нтами принимается за окончательное, в дальнейшем произво |
||||||
е |
|
|
|
|
|
|
дится выравнивание осевой линии последовательным перехо |
||||||
дом от пролета к пролету в порядке возрастания значений пред |
||||||
Рварительно выровненных моментов; на каждой промежуточной |
||||||
555
опоре за окончательное значение предельного опорного момен та принимается меньшее из двух;
|
г) |
по найденным значениям предельных изгибающих моментов |
||||||||||||
вычисляются пластические моменты сопротивления |
Wm и подби |
|||||||||||||
раются размеры поперечных сечений. |
|
|
|
|
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 18 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
О СНО ВН Ы Е П О Н ЯТИ Я |
|
|
||||||||
|
|
|
ДИНАМ ИКИ СО О РУ Ж ЕН И Й |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Т |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
18.1. Динамические нагрузки и их классификация |
|
|||||||||||
|
Динамическими называют такие нагрузки или другие внешние |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
воздействия на сооружение, которые изменяются во времени доста |
||||||||||||||
точно быстро, сообщая массам сооружения заметные ускорения, так |
||||||||||||||
что возникающие при этом силы |
|
|
|
Б |
|
|
||||||||
|
|
существенно влияют на |
||||||||||||
напряженно-деформированное состоян |
|
сооружения. Если инер |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
||
ционные силы, вызываемые наг узкам , |
зменяющимися во време |
|||||||||||||
ни, малы по сравнению с самими наг узками, то такие нагрузки |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
инерции |
|
|
|
|
||
можно приближенно отнести к статическим нагрузкам. |
|
|
||||||||||||
|
Динамические нагрузки м гут изменяться во времени и в про |
|||||||||||||
странстве самым |
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
||||
|
льным бразом. В основном можно выде |
|||||||||||||
лить следующие харак ерные виды динамических нагрузок. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Импульсивная нагрузка характерна быстрым развитием и бы |
|||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стрым исче новен ем, почти мгновенным действием. Импульсив |
||||||||||||||
ные нагрузки вы ывают резкое изменение скорости масс сооруже |
||||||||||||||
ния. Такие |
|
произв |
|
|
|
|
|
|
порожденной |
|||||
нагру ки вызываются ударной волной, |
||||||||||||||
различными |
взрывами, |
внезапными порывами ветра и т. п. |
|
|
||||||||||
|
Ударная нагрузка вызывается падением различных тел на со |
|||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оруж ни , работой копров, кузнечных молотов и т. д. Характеризу |
||||||||||||||
тся р зким изменением скорости соударяющихся масс. Если упав |
||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш т ло остается на сооружении, то изменяется общая масса со |
||||||||||||||
оружения, а вес упавшего тела рассматривается как дополнитель |
||||||||||||||
ная, внезапно приложенная нагрузка. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Р |
Внезапно приложенная нагрузка является частным случаем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ударной (падение тела с нулевой высоты). Появляется на сооруже нии внезапно и остается постоянной с течением времени.
556
Неподвижная периодическая нагрузка характерна тем, что многократно повторяется через определенные промежутки времени (периоды), оставаясь приложенной к сооружению в одном опреде ленном месте. Аналитически произвольную периодическую нагруз ку можно описать зависимостью:
|
|
|
|
У |
где F |
|
|
Т |
|
T |
|
Н |
|
|
- период изменения нагрузки во времени, то есть время |
||||
|
одного полного цикла изменения периодической нагрузки. |
|||
|
|
Б |
|
|
|
Малая по значению периодическая нагрузка может ино |
|||
|
гда создать большой динамический эффект. |
|
|
|
Периодическую |
|
|
|
|
сам (или |
|
|
|
|
мируемого сооружения на периодическоееакциюйвозде ствие представить как сумму реакций от постоянной составляющей и от каждой гар монической составляющей в отдельности. Таким образом, для оп ределения реакции сооружения на любую периодическую нагрузку достаточно уметь определять его на действие внезапно
приложенной постоянн й |
в емени нагрузки и на действие на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
грузки, изменяющейся по зак ну синуса (или косинуса). |
||||||||
|
Вибрационная нагрузка. Нагрузку, изменяющуюся по закону си |
|||||||
|
|
|
|
|
|
во |
|
|
нуса (или косинуса), |
называют вибрационной, |
или гармонической. |
||||||
Гармоническая, в брац онная нагрузка является частным случаем |
||||||||
периодической нагру |
. Не нарушая общности, вибрационную на |
|||||||
грузку м |
|
|
ки |
|
|
|||
|
|
представить в виде: |
|
|||||
|
|
|
|
|
з |
F (t) = F sin(#t + р ), |
(18.1) |
|
|
|
|
жно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
F |
- ам литуда вибрационной нагрузки; |
|
|||||
|
|
в |
- круговая, или циклическая частота изменения нагрузки во |
|||||
|
п |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
времени, выражающая количество циклов (периодов) ее |
|||||
|
|
изменения за время 2п секунд; |
|
|||||
Р |
сумма в скобках под знаком синуса называется фазой измене |
|||||||
|
|
|
ния вибрационной нагрузки; |
|
||||
|
р |
- начальная фаза изменения нагрузки (при t = 0). |
||||||
|
|
|||||||
557
Группу вибрационных сил, действующую на сооружение, приня то характеризовать вектором:
F (t) = F sin e t . |
(18.2) |
Амплитуды F группы вибрационных сил могут быть заданы про |
|
извольно. Но предполагается, что во времени все вибрационные силы |
|
изменяются с одной и той же частотой в , то есть синфазно, причем |
|||||||
начальная фаза группы вибрационных сил полагается нулевой. |
|||||||
Целью динамики сооружений является определение экстремальУ |
|||||||
ных усилий и перемещений, а не установление точного характера |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т |
движения отдельных масс сооружения. Поэтому представление |
|||||||
вибрационной нагрузки в виде (18.2) является наиболее неблаго |
|||||||
приятным для сооружения. |
|
|
Н |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Природа возникновения вибрационных нагрузок может быть са |
|||||||
мой разнообразной. Чаще всего вибрационные нагрузки порожда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Б |
|
ются неуравновешенными вращающимися частями машин и меха |
|||||||
низмов, |
установленных на |
|
|
. В брационные нагрузки |
|||
вызывают гармонические колебан |
сооужений. Колебания высо |
||||||
кой частоты принято называть виб ац ями. |
|
||||||
Подвижная нагрузка ха акте изуетсяизменением своего по |
|||||||
ложения на сооружении. М жет быть постоянной, периодической, |
|||||||
|
|
|
|
сооружен |
|
|
|
ударной, импульсивной. Как правило, подвижная нагрузка создает |
|||||||
ся разнообразными |
ранспороными средствами: поездами, автомо |
||||||
билями, мостовыми |
кранами, организованными колоннами людей |
||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
или неоргани ованной толпой и т. п. |
|
|
|||||
Сейсмическая нагрузка представляет собой беспорядочные |
|||||||
|
|
и |
|
при землетрясениях, подземных |
|||
движения чвы, толчки, удары |
|||||||
взрывах, |
з |
|
|
|
|
|
|
р садках почвы на подрабатываемых территориях. |
|||||||
Динамический расчет сооружений на сейсмические воздействия от |
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
з мл трясений или взрывов, а также на динамическое воздействие вет |
|||||||
ра, на д йствие подвижной нагрузки, которая меняет с течением вре |
||
|
п |
|
м ни свое положение, не меняя направления действия и абсолютного |
||
значения, |
в конечном итоге сводится к расчету на действие некоторой |
|
Р |
|
|
системы эквивалентных вибрационных, гармонических сил. Именно поэтому в динамике сооружений изучению влияния на сооружение вибрационных нагрузок уделяется первостепенное значение.
558
18.2. Силы инерции и степень свободы деформируемой системы
При динамическом нагружении деформации сооружения зависят |
|||||||
не только от уровня внешних воздействий, но и от уровня возни |
|||||||
кающих сил инерции, с которыми ускоряющиеся массы воздейст |
|||||||
вуют на каркас сооружения. По определению, сила инерции прямо |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т |
пропорциональна произведению массы на ускорение и направлена |
|||||||
против направления ускорения. |
|
|
Н |
||||
В выбираемой динамической расчетной схеме сооружения проблеУ |
|||||||
ма расположения масс является первостепенной. От этого зависит за |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Б |
|
кон распределения инерционных сил. В современной динамике со |
|||||||
оружений принято рассматривать два основных вида расчетных схем: |
|||||||
- |
расчетные схемы |
с дискретным |
расположением сосредото |
||||
|
|
|
|
|
й |
|
|
ченных, точечных масс, движение которых характеризуется конеч |
|||||||
ным числом параметров (степеней свободы) и описывается обыкно |
|||||||
|
|
|
|
емени |
|
|
|
венными дифференциальными уравнениями; |
|
|
|||||
- |
расчетные схемы с распределенными массами, движение ко |
||||||
торых характеризуется |
|
р |
|
и пространственных |
|||
функциями в |
|
||||||
координат (бесконечное |
число |
|
|
|
|
||
|
степеней свободы) и описывается |
||||||
дифференциальными уравнениями в частных производных. |
|
||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
Для анализа колебаний деф рмируемых систем численными ме |
|||||||
тодами на основе современных к мпьютерных технологий наиболее |
|||||||
приспособлены расче ные схемы с сосредоточенными массами, то есть системы с конечным числом степеней свободы. В таких рас четных схемах все элементы (стержни) сооружения считаются не
весомыми, а их массу |
массу полезной нагрузки заменяют сосре |
||||
|
|
|
и |
|
|
доточенными массами, расположенными дискретно, в узловых точ |
|||||
|
|
|
з |
|
|
ках. В эт м случае выражение для сил инерции получается наибо |
|||||
|
р стым. Для одной сосредоточенной ускоряющейся массы |
||||
m |
|
о |
|
имеет вид: |
|
выраж ние для вычисления силы инерции J |
|||||
|
п |
|
d 2Z |
|
|
лее |
|
|
(18.3) |
||
|
|
J = -m w = - m — ^ , |
|||
|
|
dt |
|
||
Р |
|
|
|
|
|
где w = Z - ускорение массы; Z - перемещение массы.
559
Для нескольких ускоряющихся масс сооружения применяют векторно-матричные обозначения:
|
|
|
|
|
- |
d 2Z |
|
- |
(18.4) |
|
|
|
|
J = - M |
— — = - MZ, |
||||
|
|
|
|
|
|
d t2 |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где J - вектор обобщенных сил инерции (сосредоточенных сил по |
||||||||
|
|
направлению линейных перемещений масс и сосредоточен |
|||||||
|
|
ных моментов по направлению угловых перемещений масс); |
|||||||
|
|
M - квадратная, как правило, диагональная матрица сосредо |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
точенных масс и моментов инерции сосредоточенныхТмасс; |
|||||||
|
|
Z - вектор ускорений масс (вектор вторых производных по |
|||||||
|
|
времени от перемещений масс, линейных и угловых)Н. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
Размерность (порядок) вектора сил инерции, матрицы масс и векто |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
ра ускорений в выражении (18.4) зав с |
т от степени свободы дефор |
||||||||
мируемой системы. В классической д нам ке |
сооружений степень |
||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
свободы колеблющейся дефо ми уемой с стемы принято рассматри |
|||||||||
|
|
|
|
|
руемой |
|
|
|
|
вать как количество независимых геомет ических параметров, опреде |
|||||||||
ляющих возможные перемещения т лько движущихся масс. Поэтому |
|||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
следует различать динамическую степень свободы и общую степень |
|||||||||
свободы дискретной деф рмируем й системы. Общая степень свобо |
|||||||||
|
|
|
|
и |
системы рассматривается как количе |
||||
ды дискретной деформ |
|
||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
ство независимых геоме р ческих параметров, определяющих воз |
|||||||||
можные перемещен я всех ее узлов. Такое понятие степени свободы |
|||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентно понятию кинематической неопределимости при расчете |
|||||||||
деформируемых систем методом перемещений. Динамическая же сте |
|||||||||
|
п |
|
|
|
деформируемой |
системы относится |
|||
пень св б ды к леблющейся |
|||||||||
дено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
только к движущимся массам. Различие состоит в том, что в направле |
|||||||||
нии динамических степеней свободы развиваются силы инерции, все |
|||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
остальные направления остаются "безынерционными".
Исторически понятие динамической степени свободы было вве с целью снижения порядка получаемых систем итоговых урав нений, подлежащих решению при анализе колебаний. Если речь идет о динамической степени свободы, то решению подлежит сис тема дифференциальных уравнений движения (система дифферен циальных уравнений второго порядка в обыкновенных производных)
560