Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

У

Т

Н

Б

Рис. 15.19

й

и

Удлинение стержня и углы поворота его концевых сечений - это

компоненты вектора деформаций:

о

Арк] T .

S =[Al,

А н,

т

р

Как следует из рис. 15.19:

и

Al = ик - ин,

з

v

- v

п

АРн = -(Рн - Рр=- Рн +: к

’ Н

vк -нv

о

Ар к =р к

- р = р к

Р

l

еНаправление угла поворота Арн не совпадает с положительным

иН

Al

-1

0

0

1

0

0

ун

Рн = a* T z , (15.19)

о = АРн

0

1

-1

0

1

0

к

- l

l

и к

У

1

1

АР

0

0

0

1

VK

Т

l

- 1

Рк

Н

= [ин

vHрн ик vKрк]Т

где z

- вектор перемещений концов

Б

стержня в местной системе координат.

Как и в случае операции с векторами сил (15.17), преобразование

координат вектора z

й

„

£•

при повороте осей д п на угол р по часовой

стрелке производится с помощью

матрицы

VT. Поэтому можно

записать, что:

о

Следовательно, z

=V z .

р

сис

T

Тогда в общей

еме к

рдинат геометрические уравнения, яв­

ляющиеся услов ями совмес ности перемещений узлов (концевых

з

стержня, можно записать в виде:

сечений стержня)

деформацийт

о

О = a

V z = a

z .

(15.20)

Al ' EA

0

0

N

2l

l

5 = АФн =

0

Mн = d S ,

6 EJ

6 EJ

АФк _

Mк

0

l

2l

У

6 EJ

6 EJ _

Т

где d- матрица внутренней податливости стержня.

Н

Для стержней с иными условиями закрепления физические зависи­

мости устанавливаются с помощью известных методов определения

l

0

Б

концевых перемещений. Так, для стержня, шарнирно опертого в нача­

ле и защемленного в конце, взаимосвязь 5 и S получается в виде:

5 = ' А1

и

EA

l

N

= d S .

А Фк

р

йM к

0

3EJ

о

0

адля стержня с защемлением в начале и шарнирной опорой в конце:

т

и

EA

' N " = d S .

5 =

" Al '

з

l

Mн _

п

3EJ

Если

бх димо физический закон написать в виде S = S (5),

е

то из

р дставленных выражений следует, что:

Р

S = d_1 5 = k 5 .

(15.21)

где

k - матрица внутренней жесткости (реакций) стержня.

Например, для стержня с защемленными концами:

0

0

~ T

k =

4EJ

2EJ

0

~ T ~

~ T ~

В блочной форме с рук ураматрицы A представляется в таком

виде. Для каждого жес к

узла предусматриваются три строки, в

го

вестных усилиях уравненийт

^ X =0 , ^ Y =0 и ^ M =0 ;для

каждого

у ла - две строки (записываются коэффициен­

и

з

Ширина

шарнирного

олосы (число столбцов в ней) определяется длиной век­

торапS для каждого стержня.

Поясн ния к составлению матрицы равновесия проведем на

примере

рамы (рис. 15.20).

Р

У

Рис. 15.20

Т

й

казано, что верхняя часть этой

цы связана с началом стержня,

о

грузки на

2-й стержень (в сечении, ип имыкающем к узлу, приложен

момент M =4 кН •м),

а для него имеет размеры 6 •3. Пер­

матрица

Таблица 15.3

вые три строки относя ся к началуматрстержня, то есть к узлу 2

(см. в таб­

о

и1

2

3

4

Стержни

п

зN2

N3 M H 3 M K 3

N4 M K 4

ST

M H 2

M K 2

Узлы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Р

0,9701

-1

0

0

0

-0,25

0,25

2

0,2425

0

-0,2

0,2

1

0

0

е

A= 0

0

-1

0

0

-1

0

0

0,25

4

1

0

0

0

0,2

-0,2

1

0

0

0

1

ется вычислять (не надо определять опорные реакции), то часть

матрицы а ,связанная с соответствующими уравнениями равнове­

сия для опорного узла, в матрицу равновесия A не вписывается

У

(опускается). Так, числовые значения матрицы а для 3-го стержня

(5, 6 и 7 столбцы) относятся только ко 2-му узлу. Аналогичное рас­

Т

пределение записей имеет место по 1-му и по 4-му стержням.

разно с вычислительной точки зрения.

Для более

глубокого уяснения физического

смысла задачи,

0,2425 •N 1 - 0,2 •MH2 + 0,2 •MK2й+ N3 =-20 •103,

где учтена замена

о

и

y А

т

02 =

MрK2 - M H2

и

l2

з

о

x

4 к Н - м

MH2

п

у /

е

Рис. 15.21

РТа же структура матрицы

A имеет место и для других систем

лимости к = n- m =3.

Т

Для геометрически неизменяемой стержневой системы ранг мат­

рицы равновесия A равен числу независимых уравнений равнове­У

сия для узлов этой системы, то есть

r(A) = m. При

этом, если

Б

m = n ,то исследуемая система относится к статически определи­

мым, а определитель матрицы det A Ф0; если m < n,то система

является статически неопределимой.

Н

изменяемой

При соотношении m > n ранг матрицы r(a) < n и, следователь­

но, система относится к геометрически

.

Как уже отмечалось, число компонент векторов S и А

одинаково.

В табл. 15.3 векторы S

р

записаны для каждого стержня. Число урав­

о

нений равновесия, коэффициенты котоиых записаны в матрице A,

указывает

соответствует числу определяемых компонент вектора перемеще­

ний z как для отдельн го узла, так и для системы в целом. Номер

и

и на номер соответствующей ком­

строки в матрице A

з

поненты вектора z .Напр мер, второму уравнению (Е Y =0) мат­

о

п

Указанная согласованность матриц в основных уравнениях строи­

Ее

Р

Таблица 15.4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

14,82

У

12,22

0

0

0

0,8

-0,4

Т

0

-0,4

0,8

K=

• 30,24• 106

15,28

0

0

Н

0

1

-0,5

0

-0,5

1

15,28

0

Б

0

0,75

Автоматизированный расчет стержневой системы предполагает

й

формирование матриц основных уравнений и решение последних

на основе исходных данных о системе, к которым относятся:

- количество узлов, в том числе опорных,

их признаки;

- координаты узлов;

р

- расположение стержней, соед

няющ

х узлы;

- жесткости стержней;

о

и

- сведения о нагрузке, действующей на узлы.

Так как элементами ма рицы A являются синусы и косинусы

углов наклона стержней к к рдинатным осям, то вычисление их

сводится к определен ю о ношений проекций на эти оси (разность

з

координат конца

началатстержня) к длине стержня.

од

В зависимости от поставленных задач результатами расчета могут

быть значения перемещенийи

узлов, усилий в стержнях и их деформа­

перемещенийОпр д лим для рассмотренной рамы перемещения узлов, усилия

ций, матрица внешней жесткости системы, матрицы влияния усилий и

е

. Эта информация позволяет выявить особенности рабо­

ты системы

нагрузкой и может быть использована для построения

э юр усилий и перемещений, линий влияния усилий и перемещений.

Р

в ст ржнях и построим эпюры усилий.

Если принять F = [0;- 20; 4; 5;-10; - 4] •103, (размерность со­

средоточенных

сил и

моментов

- Н,

Н •м), то

из выражения

z = { a K A )

F

найдем, что:

x y

x y

Вектор усилий определен по соотношению S = K A

z.

Т

S = [3,58;

4,95;-0,12;-4,00;|

Н

У

20,09; - 3,88; 2,05; I -10,78; 0,18f •103.

Б

компоненты

усилий,

щиеся к конкретным стержням.

й

0,12^ ^ т т т Т Г П Т к 4,0

0,78

.. .

\

р

" 3,58

4,95

о

1,48

2,05

0,18 j

и0,05

,

20,09'

10,78

и

) (к H• м)

т

) (кН )

N

(к Н)

и

Рис. 15.22

з

Для определен я поперечных сил в стержнях использована за­

висимость:

о

MK - MH

п

l

е

Р

-

4,0 + 0,12

^

2,05 + 3,88

,

0 2 = ---- 5----- = -0,776;

0 3 = ----------------- 4--= 1,4825 ;

0 4 = 0,18 = 0,045 .

4

4

^

^

Lz = R

— 1

(

т \ -

1

-

ется по выражению z = Lz F , в котором

=I A K A

I

У

матрица влияния перемещений. Ее размер (m• m). С помощью этой

матрицы вектор узловых сил преобразуется в вектор узловых пере­

Т

мещений. Элемент (3^ этой матрицы определяет перемещение узла

влияния перемещений является и матрицей внешней податливости

L =^ =[5,] .

Б

Вектор усилий S в стержневой системе так же можетНбыть вы­

ражен через вектор F

й

.С этой целью запишем его вначале в форме

и

S = K ATz ,а затем, используя выражение для z ,представим в виде:

р

S = K A T R _1F = K A t (A K A t )-1F = LS F ,

о

где LS - матрица влияния усилий.

векторе

и

Ее размер (n• m).Каждый элемент aik этой матрицы определяет i -е

з

S )от k -й единичной силы (Fk= 1).

усилие (i -й номер в

о

столбца ССц матрицы LS суть усилия в

Элементы первого