Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

разной конструкции устраивают

в

двухшарнирных арках (рис. 13.2).

Двухшарнирная арка с затяжкой, сохраняя свойства распорных систем,

У

имеет балочные опоры и передает на опорные конструкции от вертикаль­

ной нагрузки только вертикальные усилия. Она может быть расположена

на высоких колоннах или стенах без контрфорсов.

Т

Н

й

Особенности расчета один раз статически неопределимых арок

рассмотрим на примере расчета двухшарнирнойБарки с затяжкой.

13.2. Расчет двухшарн

арки

с затяжкой

рной

рудно

Двухшарнирная арка с затяжкой является внешне безраспорной. Распор

опор

воспринят затяжкой, и его следует

ассмат ивать как внутреннюю растяги­

вающую силу в затяжке. Двухша ни ная а ка с затяжкой является один раз

т

рассчитатьметодом сил.

статическинеопределимой, и еене

и

Рассмотрим двухшарнирную арку с прямолинейной затяжкой,

расположенной в уровне

(рис. 13.3,а). Арка имеет переменное

з

сечение

и загружена вертикальной

по длине пролета поперечное

продольную

5 ц X 1 + Л ^ = 0,

силу). Основным неизвестным метода сил будет уси­

лие в затяжке N 3am= X 1 (рис. 13.3,б).

Каноническоеоуравнение метода сил имеет вид:

где5 ц - взаимное перемещение концов затяжки в месте разреза,

Р

вызываемое единичным усилием в затяжке X 1 = 1 ;

Л ^ —взаимное перемещение концов разрезанной затяжки

Л

j M M p d s

j y (x )M p d s

1F = S E J (x ) “ ~S E J (x )

'

Коэффициент при неизвестном (единичное перемещение), вы­У

числяемый с учетом продольных деформаций затяжки, находят по

двучленной формуле:

Т

s

= j M i d s

+ N

3amL

= Г [У (x )] 2d s +

L

Н

11

s E J (x )

E A 3am

S E J (x )

E A 3am '

Чтобы в этих криволинейных

Б

перейти к интегриро­

ванию по длине пролета, то есть по абсц

ссе х , введем замену:

й

d x

d s

= -

интегралах

cos p( x)

где p( x) - угол накл на к гризнтали касательной к оси арки в

сечен

с

абсциссой

x .

В результате длятвыч сления коэффициента и свободного

члена канонического уравнения метода сил получим следующие

формулы:

и

з

L

[ У( x) ]

2d x

L

о

с

Sn

= j — ^

---------------------+ ------- ,

0 E J (x)cosp (x)

E A 3am

еп

Л

L

y ( x ) M

F d x

Р

lF

о E J (x) cos p(x)

Таким образом, вычисление перемещений в арках, как и в других

нем сечении каждого участка вычисляют значения всех подынте­

гральных функций. В итоге процедура взятия определенного инте­

Н

грала заменяется вычислением конечной суммы произведений зна­

чений подынтегральных функций в серединах участков:

Б

„ П

y k2Axk

+ —

,

L

s n

= X —

k=1F J . cos p .

й

E A 3

и

A 1R = - X рFJ

’

k=1 F J k cos Pk

где k —номер учас ка;

о

n —кол

чествоучастков.

Обычно все выч слен

я проводят в таблицах (табл. 13.1).

и

Таблица 13.1

№

з

Xk

у.k2AXk

yk(MF)kAxk

участка

у

FJk

cospk

(MF)k

Axk

k

.

FJkcospk

F J cos p.

о

1

2

3

4

5

6

7

8

9

п

е

Р

s

s(M)

A1F

°11

°

= °(M)хуш

+

L

°11 =°11

+ FA3

После того как из решения канонического уравнения будет най­

дено усилие в затяжке:

У

N зат X 1

- A 1F

Т

Л1

внутренние силы в любом сечении двухшарнирнойНарки можно

найти по тем же формулам, что и в трехшарнирной арке:

Б

M x = Mx0 - X 1Ух;

й

Qx = Q 0 c o s P x - X 1s i n Px;

и

N x = - ( Q0 sрl n Px + X 1 c o s Px ) .

Индекс x в данных формулахообозначает произвольное сечение арки.

т

13.3. Влиян е податл

вости затяжки на усилие в затяжке

и

В статически неопределимых системах распределение усилий в

элементах зависитот соотношения их жесткостей (податливостей).

Следовательн , и податливость затяжки

L / ( ЕАз а т ) будет влиять

о

на знач ние усилия в затяжке. Полученную в предыдущем разделе

формулупдля вычисления усилия в затяжке можно переписать сле­

дующим образом:

е

Р

N ат = X, = “ A1F =

" A1F

°11

° lM) + L

11

FAзат

У

Т

Н

Б

Если постепенно уменьшать жесткость затяжки, то есть величину

FA^зат, или, что то же самое, увеличивать податливость затяжки, ве­

тяжки F A ,,^

усилие в ней будет также увеличиваться, однако в

гораздо меньшей с

о. В пределе, при стремлении жесткости

затяжки к бесконечностт, а податливости - к нулю, усилие в затяж­

ке будет

чески стремиться к величине:

епени

-A i

з

H

=

MF

°(M )

асимптот

°11

H

-

величина, численно равная распору двухшарнирной

арки без затяжки на шарнирно-неподвижных опорах

п

где

(рис. 13.1,а).

То есть в этом предельном случае, когда затяжка абсолютно не­

растяжима, двухшарнирная арка с затяжкой превращается в двух­

Ршарнирную арку на неподвижных опорах - в обыкновенную двух­

пора арки без затяжки, вычисляемого по последней формуле.

У

При расчете двухшарнирных арок без затяжки за основное неиз­

вестное также принимают распор ( X 1 = H ). Основную систему

Т

метода сил получают, отбрасывая горизонтальный опорный стер­

жень одной из опор. Единичная и грузовая эпюры изгибающих мо­

ментов в основной системе для двухшарнирной арки без затяжки

получаются такими же, как и для арки с затяжкой (рис. 13.3,в,г).

Распор двухшарнирной арки без затяжки вычисляют по формуле:

£ Ук (M F )k Axk

Н

X

= H = к=1

F Jk cos Pk

Б

1

£

y k 2Axk

k=1F Jk cos Pk

й

13.4. Особенн сти

асчетаибесшарнирной арки

Бесшарнирная арка являе сятрижды статически неопределимой.

Для определения трех осн вных неизвестных метода сил необходимо

составить и реш ть

о

ри канонических уравнения. Соответствующим

выбором основной с

метода сил можно добиться даже полного

стемы

разделения системы канон ческих уравнений на три отдельных урав­

нения, кажд е с

неизвестным, при произвольном очертании оси

дним

арки и

изв льн й нагрузке. Варианты основных систем, представ­

з

ленные на рис. 13.5,а,б,в, позволяют обнулить побочные коэффициен­

ты каноническихоуравнений и привести уравнения к виду:

пр

°11X 1 + A1F = 0 ;

е

°22X 2 + A2F = 0 ;

Р

них шарниров из условий, чтобы побочные коэффициенты канони­

Б

ческих уравнений метода сил обратились в нуль.

Однако в век электронных калькуляторов и компьютеров реше­

ние систем линейных алгебраическ х уравнений второго-третьего

порядка не представляет каких-л бо затруднений. Поэтому можно

отказаться от выбора оригинальныхиосновных систем и дополни­

тельных вычислений.

р

о

т

X i

-

и

В)

X2WзX2

о

п

Рис. 13.5

е

Р

^11X 1 + A1F = 0 ;

У

&22X 2 + ^23X 3 + А2F = 0 ;

Т

Н

^32X 2 + ^33X 3 + А3F = 0 •

Б

К таким же результатам приводит и основная система в виде

криволинейной балки (рис. 13.6,б). Рассмотрим данный вариант бо­

й

М ,

лее подробно, так как многие вопросы, свойственные такой основ­

ной системе, уже нашли свое отражение в расчете двухшарнирных

и трехшарнирных арок.

и

р

М „

о

т

и

з

о

М ,

п

Рис. 13.6

групповое

неизвестное X 2 . Основное неизвестное

X 1 = 1 вызовет

Сгру

ируем неизвестные

опорные моменты, разложив их на

Р

неизвестное X 1 и

симметричное

кососимметричное групповое

С учетом введенных выше обозначений соответственно получим:

(М 1)2Axk .

Axk

Н

*11 = £

*22 = £

E Jk cos <Pk

k=1

k=1E JkБcos Pk

yk Axk

й

*23 = —£

*33 = £ y2Axk

k=1E Jk cos Pk

k=1E Jk cos Pk

и

A

= £

(М

р

^ F )kAxk .

1)k (М F )k Axk

A2F = £

A1F = £

----- ТГт--------------- ;

k=1E Jk cos Pk

k=1

E Jk cosоPk

т

A = £ y k (М

f )kAxk

и3F

T—гT

'

з

k=1

E J k cos Pk

В

риведенных выше формулах индекс k обозначает номер уча­

стка

риовычислении интегралов Мора по правилу прямоугольни­

ков. Значения подынтегральных функций вычисляются обычно в

п

с р динах участков.

После

определения из решения канонических уравнений основ­

Р