Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

У

Т

Н

Рис. 8.26

Б

й

Для построения линии влияния Ыб в раме (рис. 8.25) введем в

и

X 1 = 1 (рис. 8.27).

6-м сечении шарнир и загрузим раму моментами

Эпюра вертикальных перемещен

й грузовой линии от данного за-

р

гружения будет подобна линии вл ян я Ыб . Ординаты S f 1 эпюры

могут

перемещений, если нужно,

быть вычислены по правилам, из­

ложенным в разделе 8.9.

т

и

з

о

/- Г

п

е

\

Р

Рис. 8.27

9.1. Степень кинематической неопределимости.

У

Основные неизвестные

Т

Положения концов стержня, входящего в состав рамы или дру­

гой системы, испытывающей заданное воздействие, полностью ха­

ответствующие перемещения концов нескольких стержней, соеди­

и

ненных в узле, равны между собой, однако они, как правило, неиз­

вестны. Поэтому системы,

содержащ

так е узлы, являются кине­

и

ризуется тремя компонен ами (Z 1, Z 2, Z 3), узла 3 - одним (Z 4).

Кинематически неопредел мыми системами являются не только

з

статически неопределтмые. К ним, в общем случае, относятся и

определ

мые.

статически

п

е

Р

1

определимую.

У

Т

Н

Рис. 9.2

БРис. 9.3

Если бы каким-либо методом удалось

перемещения кон­

найти

цевых сечений стержня, то последующая задача определения уси­

лий в его сечениях решалась бы достаточно просто, так как для ли­

и

нейно деформируемых систем существует однозначная зависимость

между усилиями, перемещениямирузлов и нагрузкой.

Именно с помощью ме

да перемещений, суть которого излага­

ется далее, и определяю ося вначале перемещения узлов, которые

з

являются основными тне звестными этого метода расчета, а затем и

усилия в стержнях (в методе сил сначала определялись усилия, а

о

потом - перемещения)и.

полнительно

Ранее, в перв й главе, указывались основные допущения, при­

нимаемые ри пределении линейно деформируемой системы. До­

к ним, при расчете рам методом перемещений вводят­

ся сл дующие:

Р

узла 2 следует показывать на линии 2-3 (дуга, описываемая из цен­

тра 1 радиусом r = / ^ 2 , заменяется касательной к ней в точке 2).

У

Горизонтальное перемещение узла 3, вследствие третьего допуще­

ния, необходимо принять равным Z 2 . Следовательно, рассматри­

Т

ваемая рама является два раза кинематически неопределимой. Из­

мененная с учетом принятых допущений деформированная схема

рамы и основные неизвестные показаны на рис. 9.4,а.

Н

а)

б)

Б

й

и

р

о

тРис. 9.4

Из приведенныхирассуждений к изображению деформированного

состояния рамы следует, что общее число неизвестных n метода пере­

з

мещений ределяется как сумма неизвестных углов поворота nу же­

о

стких узлов и независимых линейных перемещений nл узлов, то есть:

п

е

n = ny + пл .

Р

Число ny

называют степенью угловой подвижности, а nл - степе­

лить для нее степень свободы

W . При превращении рамы в шар­

нирно-стержневую систему статически определимые консоли мож­

но отбросить (уменьшается степень линейной подвижности).

Для рассматриваемой рамы (рис. 9.4,а) пу = 1, а для соответст­

У

вующей ей шарнирно-стержневой системы (рис. 9.4,б) W = 1, то есть

пл = 1. Кинематический анализ схемы показывает, что подвижно­

Т

стью по горизонтальному направлению (показана стрелка о

) обла­

дают узлы 2 и 3. Следовательно, п = пу + пл = 1 +1 = 2.

Н

Определим число основных неизвестных метода перемещений

другой рамы (рис. 9.5,а). Степень

подвижностиБ

ее узлов

найдем с помощью шарнирно-стержневой с

стемы (рис. 9.5,б), для

которой W = 3 .

ной

а)

б)

лине

р

о

т

и

Рис. 9.5

Независимыезнаправления перемещений узлов показаны на этом

рисунке стрелками. Общее число неизвестных перемещений равно

п = у +ол = 6 + 3 = 9.

п

9.2. Основная система

е

асчет рамы методом перемещений на заданное воздействие нач­

нем с того, что примем сначала неизвестные перемещения узлов рав­

Р

нию угла поворота узла A ;

3) взаимным линейным перемещением AAB концов стержней по

направлению, перпендикулярному к его оси.

У

Т

Рис. 9.7

Н

Б

Вспомогательными величинами

расчете рам методом пере­

мещений служат опорные реакци , возн кающие в статически неоп­

ределимой балке постоянной жесткости

различных воздействиях

й

на нее. Их значения могут быть найдены методом сил. Покажем это.

П р и м е р

1. Определим

при

еакции в опорных связях и построим

эпюру изгибающих

в в балке, загруженной равномерно рас­

р

пределенной нагрузкой q (рис. 9.8,а). Приняв основную систему ме­

тода сил в виде консольнойобалки (рис. 9.8,б), построим единичную

(рис. 9.8,в) и

(р с. 9.8,г) эпюры изгибающих моментов.

момент

а)

и

грузовую

о

п

е

в)

Р

^1iX i + A if = 0,

где

fin

= ,

l 3

1 1 q l2 , 3 ,

ql4

У

a if

= ---------------------- l

—l = ---------.

11

3EJ

E J 3

2

4 8 E J

Следовательно,

Xj = - A^

= 3 q l .

Т

1

fi1

8

Окончательная эпюра изгибающих

моментов, построенная по

Н

выражению M = M F +X 1, показана на рис. 9.8,д, а на рис. 9.8,е

приведены значения опорных реакций.

Б

П р и м е р

2. Рассмотрим загружен

балки сосредоточенной си­

лой F (рис. 9.9,а), где и и v

й

- д обные ч

сла, сумма которых рав­

на единице. Используя

системуиз примера 1, построим

эпюру M F (рис. 9.9,б).

Вычислим свободный член канрнического уравнения:

A1F

основную

ul 1 = ----------- и l (3 — u)

= ------------------------F ul ul j l —

т

^

3 J

6E J

E J 2

и

Так как Suз= ------, то X 1 = F u2(3 - u ).

11

3E J

1

2

о

Y = 0

следует, что:

Из условия равновесия ^

п

е

RA = F - X 1 = F v (3 -

2

(3 - v2).

РОкончательная эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.9,в;

а)

IF

?B

u l

v l

У

Т

F l '

' '

J-F

Н

Б

v (1

-v 2) (jj|

f v (3-v2)

2 u-(3-u)t

Рис. 9.9

й

и

П р и м е р 3. Построим эпю у изгибающих моментов от поворо­

та защемленного конца балки на уг

л (рис. 9.10,а).

р

Каноническое

ме

сил запишем в виде:

ода

т

Sn X 1 + A1C= ° .

уравнение

Своб дный член можно вычислить по выражению:

з

о

A1c = - lLRici ,

п

где,

как известно из (7.13), Rt - реакции в связях основной сис­

Р

темы, вызванные силой X 1 = 1 (показаны на рис. 9.10,б).

четной схемы: перемещение точки B

противоположно направлению

силы X 1 (рис. 9.10,в).

Тогда:

X 1 = -

A1c

_ 3EJ

р .

Т

Эпюра изгибающих моментов

M

Н

и распределение опорных Уре­

акций показаны соответственно на рис. 9.10,г,д.

Б

а)

р

оВ

и

6)

('

р

йt x 1 = 1

о

в)

т

и

1с

з

3EJ

о

l

п

д)

l

р

%,

3EJ

3EJ

Р

3EJ

I - / 2 р

Рис. 9.10

е