Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

размерность A ik

размерность Sik =

размерность Fk

У

Т

Например, при нагружениях балок, показанных на рис. 7.14,

имеем:

Н

Б

й

и

р

о

т

и

Рис. 7.14

Перемещения 5 ^ S21

имеют одинаковую размерность.

7.6. Общая формула для определения перемещений

плоской стержневой системы

Предп

л жим,зчто стержневая система (рис. 7.15,а) под влияни­

ем заданных в здействий деформировалась, и требуется определить

будем

п р м щоние какой-либо ее точки i по заранее установленному на­

правл нию, не обязательно совпадающему с истинным направлени­

Р

м п р м щения этой точки. Рассматриваемое состояние системы

обозначать как “состояние a ”, а внутренние силы в сечениях

элементов - через N a , M a , Qa . Бесконечно малый элемент этой

системы в деформированном состоянии испытывает, в

общем

случае, деформации удлинения Adx = s d x , изгиба d p

= K dx

и сдвига

Az = у

d x . Здесь через

dx

обозначена длина элемента,

через s - относительное удлинение (укорочение) его, через к = -----

через у

р

кривизна

изогнутой оси,

-

относительный сдвиг (угол

сдвига) граней элемента.

Для определения искомого перемещения Aia наряду с состояни­

ем

a , которое является действительным состоянием системы, рас­

смотрим вспомогательное (фиктивное). Во вспомогательном состоя­

У

нии к той же системе по направлению обобщенного перемещения

Aia приложим единичную обобщенную силу Fi = 1 (рис. 7.15,б)Т.

а) состояние а

Н

состояние i

Б

A ic

й

и

р

Рис. 7.15

Внутренние с лы в

о

состоянии (состоянии i ) системы обозначим

этом

через N i,M t, Qi . Так как это состояние является состоянием равнове­

сия, то к нему применимипринцип возможных перемещений. За возмож­

ные перемещениязпримем перемещения, вызываемые заданным воздей­

ствием. Суммарная работа внешних и внутренних сил состояния i на

перемещенияхосостояния а должна быть равна нулю (7.3), то есть:

W

(в о зм )

(возм) _

п+ A

1 Aia- Z

j N i s d x -

Z j M >Kdx - Z j Qi Ydx = 0

е

"внутр

Р

Интегрирование ведется по длине каждого стержня или участка

Следовательно,

Aia = Z j N i s d x + Z j M i Kdx + Z j Qi y d x .

(7.6)

Н

ды, ползучестью материала или другими причинами. Поэтому фор­У

мулу (7.6) можно рассматривать как общую формулу для определе­

ния перемещений стержневых систем.

Б

Т

Состояние системы под действием заданной нагрузки принято на­

зывать грузовым (состоянием

F ). Из курса сопротивления материа­

линейно

деформируемой

лов известно, что деформации элементов

системы в этом состоянии определяются через внутренние силы так:

,

N Fdx

M Fdx

и QF dx

s d x = —£— ,

Kdx = — £— ,

Y dx = ------£-------,

EA

р

GA

E J

где

EA , E J , GA -

жесткости элементаисоответственно на рас­

тяжение

выраженияEA + Z J

(сжатие), изгиб и сдвиг.

AiF = Z j

EJ

GA

<77)

Подставляя эти

в (7.6), получим формулу для определе­

ния перемещен й плоской сержневой системы в следующем виде:

A

з

CM i M F dx

, z ! M Q i QF dx

(77)

о

Z

r N i N F dx +Z

п

называют ф рмулой Максвелла-Мора для определения пере­

Ее

м щ ний у ругих систем от заданной нагрузки.

Р

Н

дольных и поперечных сил. В то же время, автоматизированныйУ

расчет этих систем с помощью компьютерных программ произ­

Б

водится, как правило, с учетом влияния на перемещенияТизги­

бающих моментов и продольных сил.

В элементах шарнирно-стержневых систем, в том числе ферм, от

й

узловой нагрузки возникают только продольные силы. Поэтому оп­

ределение перемещений узлов производится по формуле:

A

_ Z

\ N iN F

dx

A F

=

р

Ё л ~

Z

о

Так как при узловой нагрузке наифе му продольная сила по дли­

т

не стержня не изменяется,

, п и условии постоянной жесткости

каждого стержня, формула переписывается в виде:

a =

Z

N kiN kF lk

’

(7 o)

AIF = Z

EA

^7-8^

число

k=1

EAk

где lk - длинаиk -го стержня;

п

зстержней фермы.

n -

В так м виде (7.0) впервые в 1064 г. Дж. Максвеллом была

получ на формула для определения перемещений ферм. Спус­

Р

тя 10 л т О. Мором (1035-1910) метод определения перемеще­

ний был развит на случай произвольных деформаций системы

е(см. формулу (7.7)).

Поясним особенности выбора вспомогательного состояния. Единич­

ная обобщенная сила должна прикладываться к системе по

направлению

соответствующего обобщенного

перемещения.

необходимо приложить единичный сосредоточенный

момент M = 1

(рис. 17.16,б), и тогда возможная работа внешней силы состояния i

на

перемещении AIF

состояния F

будет равна M р = 1

Т

AIF . В дальней­

шем номер единичной силы во вспомогательном состоянии будет опре­

делять и номер этого состояния.

У

а) состояниеF

б) состояние 1

Б

I ^

f I

< -4 M i= ]

Н

■kr

D

й

и

B

в) состояние 2

р

г) состояние 3

о

F 2 =1

M3 =1

M3 = 1

F

2= 1

тB

c 1

c 2

и

k1

з

A

то

Рис. 7.16

Если требуется определить изменение расстояния между точка­

нные

ми k1 и k2, во вспомогательном состоянии (состояние 2) по направле­

нию

рямой, соединяющей эти точки, следует приложить две направ­

л

пв противоположные стороны единичные силы (рис. 7.16,в); при

н обходимости найти угол взаимного поворота сечений с и с2 -

во

вспомогательном состоянии (состояние 3) в этих сечениях приклады­

ваются разнонаправленные единичные моменты (рис. 7.16,г).

РЗадаваемые во вспомогательных состояниях направления единичных

EJ

У

7.7. Способы вычисления интегралов Мора

Задача о вычислении перемещений по формуле Мора сводится к

btM i M F dx

Т

вычислению интегралов вида J

, которые принято назы­

Н

вать интегралами Мора. Для относительно несложных задач подын-

,

г,

ч M i M F

Б

тегральная функция f (х) = -----------

может быть такой, что неоп-

E J

й

ределенный интеграл F (х) можно выразить при помощи конечного

числа элементарных функций. Тогда определенный интеграл вы-

b

и

числяется по формуле J f (х) dx = F (b) - F ( a ) .

Состоян еF

р

Состояние 2

Покажем,

определен

е

верт

например,

кального перемещения

сечения 1 и угла повор та сечения 2 консольной балки (рис. 7.17),

т

нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, с учетом

влияния на прогиб только изгибающих моментов.

и

з

M 2= 1

о

я

I I

I

н

*

1

'2

l/2

l/2

п

1

l

Р

Состояние 1

Состояние 3

q3=i

е

1

1—

и

к*

I I I

f

i i i i6

х

•

Nj

■

i

j - x j

Рис. 7.17

M F —-0,5qx2,

M 1 = -1 x .

Принимая жесткость балки E J неизменной по ее длине, получим:

Д(Г рт) = A1F = j M i M f dx —j ^

( - x) ( - ^ - ) d x

q l 4

—

E J

2

Н

0

E J

0

8EJ У

^

Б

Для определения угла поворота сечения посередине балкиТис­

пользуем вспомогательное состояние 2. Тогда:

q x 2

—

й

—

M F

—;

M 2 = 0, если 0 < x < —; M 2 = 1,

если — < x < l :

и

2

т

l

2

1

Л .

qx2 .

,

(P2

^

г

M M F dx

=A2F = Z j

2 /

рT = j —

0 ( ^ V ) dx +

и

EJ

EJ

2

l

о2

0

1

-

7ql3

qx

q x

+ j —

1 (-------- ) dx —

48EJ

l E J

2

2EJ 3

го

п

2

Для эт

зже примера при вычислении площади эпюры прогибов

с ом щью всп м гательного состояния 3 (балка нагружена еди­

е

ничной равномерно распределенной нагрузкой) получим:

Р

„ ,

qx

—

x-

M F —- - —

, M 3 —------,

2 V

„2 Л

q

l

ql5

® = A 3F = j —

2 H

x

dx = -

x5

1q

EJ V

2

V 2 J

4E J 5 0 20E J

На практике интегралы типа

f 3(x)

У

a

аналитическим способом или с помощью численного интегрирования.

Для случая,

когда на участке

интегрирования стержень имеет

Н

постоянную жесткость, то есть E J = f (x) = const, а одна из функ­

ций f i (x) или

f 2 (x) является линейной, одним из наиболееТрас­

пространенных является способ, предложенный А. Верещагиным.

Поясним его сущность.

й

функций

Построим на участке интегрирования графики

fl(x ) и

f2(x) , то есть эпюры изгибающих моментовБ

(x) и

M F (x)

(рис. 7.18).

и

р

а)

о

т

и

з

о

п

б)

y

Mi (x)

е

Р

Рис. 7.18

ной прямой

примем

за начало координат. Тогда M t (x) = x t g a ,

а интеграл Мора преобразуется к виду:

У

Т

b

Н

Интеграл

J x M F

d x , по определению, представляет собой ста-

a

Б

тический момент площади эпюры M F (рис. 7.18,а) относительно

й

о этой

оси у . Он, как известно, равен произведению площади

эпюры на расстояние от ее центра тяжести до оси у , то есть:

b

и

р

о

a

т

/ tga , получим:

Учитывая соотношение xo =у

Таким

бра м,интеграл Мора вычисляется посредством произ­

пл

(7.9)

ведения

щадизкриволинейной эпюры на ординату прямолиней­

ной э юры, взятую под центром тяжести криволинейной.

обозначена

через о , и ордината

у имеют одинаковые знаки, то

О ерациюовычисления интегралов по способу Верещагина назы­

вают иногда “перемножением” эпюр. Положительный знак произ­

Р

принимается тогда, когда эпюра M , площадь которой

в д ния оу0

При использовании правила Верещагина сложные по очертанию

эпюры усилий следует представлять в виде суммы простых, для ка­

ждой из которых известны формулы для вычисления площади и

У

положения ее центра тяжести. Примерами таких простых эпюр яв­

ляются эпюры изгибающих моментов для консольных или одно­

Т

пролетных балок, нагруженных сосредоточенной силой или равно­

мерно распределенной нагрузкой (рис. 7.19).

Н

|

Я

Б

i

й

2

и

*< a l 2

(0 = - h i

3

р

h = q -

8

о

т

и

2

hi

(0 = —

3

Для олучения простых

эпюр следует

иногда использовать

п

з

8

2

Рис. 7.19

е

принцип независимости действия сил.

Р

D и

П р и м е р . Определить вертикальное перемещение точки