Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

а)

-Н -

-----------\

]Л"'dx

N

M

)

Q

У

dx

%

Рис. 7.7

По отношению к этому элементу силы N , M и Q , заменяющие

Т

действие отброшенных частей системы на выделенный элемент,

являются внешними. Внутренние же силы им равны, но противопо­

Н

ложны по направлению, и сопротивляются деформациям элемента.

Поэтому работа внутренних сил всегда отрицательна.

Б

Замечание -

В

ф орм улах

р азд ел а

7.3

д ал ее будут и сп о л ьзо ван ы

обозначени я:

й

A -

площ адь сечения стерж ня;

J -

осевой момент инерции сечения;иобозначение момента инерции J у

в формуле Ж уравского связано с п

иняты м обозначением осей на рис. 7.9;

EA

-

ж есткость с

р

ерж ня на растяж ение-сж атие;

E J -

ж есткость с

ерж ня на изгиб;

GA

-

ж есткость с

о

ерж ня на сдвиг.

т

Действие на элемент продольных сил

N

вызывает растяжение

и

его на

Adx =

A

(рис. 7.8,а). На этом перемещении статически

з

возрастающая внешняя сила N

совершит элементарную действи-

о

1ттт 1 л т- * 7

N 2 dx

. .

т льную

работу:

dWN = — N Adx = --------. Работа же dAN внут-

п

2

2EA

продольных сил будет ей равна, но отрицательна (направле­

ренних

ния внутренних сил и соответствующих им деформаций противо­

Р

положны). Следовательно, dAN = - d W N = ---------- .

’

N

N

2EA

Используя

формулу

для определения кривизны

оси стержня

1

d 2y

M

У

— — —= ^ 7 , величину угла взаимного поворота сечений по-

Р

dx2

E J

Т

dx

M dx

M 2 dx

лучим в виде d p = — = . Тогда dAM = —

Н

Р

E J

2E J

'

Б

й

и

р

о

и

Рис. 7.8

Касательные напряжен я в сечении, определяемые по формуле

Журавского:

з

т

о

Q S 0

п

т=

е

J y b(z)

т

Р

= y d x = — dx (рис. 7.9).

вызывают взаимный сдвиг сечений на AZ

dAg = —

J (т dA) A z

dx

dA =

= ------- JT

■A

2

G

2

Q 2 dx

SO

ju Q dx

2 G

A J y b(z)

dA = —

2 G A

!

sy

2

dA - безразмерный коэффициент, завиУ-

где

u = A f

A J y b(z)

Т

сящий от формы площади поперечного сечения. Для прямо­

угольного сечения u = 1,2; для круглого u = 1,18; для прокат­

ных двутавров приближенно u равно отношениюНплощади

двутавра к площади его стенки.

Б

й

f - ■ 1----------’r

и

1

р

1

о

—

\Аф

к

т

/ d x '

~

и

Полную действительную работу внутренних сил плоской стержневой

системы

з

лучим, интегрируя выражения для элементарных работ по дли­

каждогооучастка стержня и производя суммирование по всем участкам

сист мы. Суммарнаядействительная работа внутренних силравна:

п

N 2dx

M 2dx

„

, uQ^2ddx

не

X f

(7.2)

X f -

2GA

2EAJ 2EJ

Р

Поскольку в формулу (7.2) величины N ,

M

и Q входят в

квадрате, то работа внутренних сил всегда отрицательна.

7.4. Применение принципа возможных перемещений

У

к упругим системам

Н

Б

Т

Расширим понятия, изложенные в разделе 2.4.

Упругая система, испытывающая заданное внешнее воздействие,

возможных перемещений для нее т же будет бесконечно большим.

р

Как отмечено в разделе 2.4, при “переходе” системы из дефор­

мированного состояния в

в котором учитываются возможные

новое,

перемещения, внешнее воздейс вие и внутренние силы не меняют­

т

ся. Поэтому работу внешн

х и внутренних сил на возможных пере­

мещениях

мо определять по выражениям:

и

з

F i - обобщенные силы;

необход

Ai

- соответствующие обобщенные перемещения;

п

где

Р

где

S i - обобщенные внутренние силы;

W (возм) + А(возм) = 0

"г У1внутр

w •

Предполагается, что в упругой системе связи являются идеаль­

не происходит; в неупругих системах это учитывается.

В практических приложениях за возможные перемещения при­

У

нимаются конечно малые перемещения, которые могут быть вызва­

ны силовыми или другими воздействиями. Например, дляТсостоя­

ния балки, показанного на рис. 7.10

(состояние “i ”), в

качестве

возможных перемещений

можно принять

перемещения

этой же

балки, нагруженной другой группой

сил

Н

(состояние “ к

”). Тогда

возможная работа внешних сил состояния “ i ” на этих перемещени­

ях запишется в виде:

Б

W (возм) = F 1 A,k + Fй2 A2k.

Возможная работа внутренних

состояния “ i ” на деформаци­

ях балки в состоянии “ к ”

сил

авна:

р

Авнтмр= —X J N i NEоd x —X f M

i ^ d i —X j u Q i Q ^ .

будет

i

Состояние к

и

Fll

зF2

О

~Состояние- A

A li

A 2 i

п

е

Рис. 7.10

Р

W (возм) = X F-А

,

У

Т

Н

(7.3)

где W (возм^ - возможная работа внешних сил;

л(возм')

г

Б

Авнутр

- возможная работа внутренних сил.

й

Отметим, что понятие возможного перемещения (обозначается

символом 5 ) было введено Лагранжем. В классическом трактате

и

“Аналитическая механика” (1788; рус. пер., т. 1-2, 2 изд., 1950) он в

основу всей

статики положил “общую

формулу”, являющуюся

р

принципом возможных перемещен й, а в основу всей динамики -

о

“общую формулу”, являющуюся сочетан ем принципа возможных

перемещений с принцип м Д'Аламбе а.

аимн

с и раб т и взаимности перемещений

7.5. Теоремы о вз

з

тл нейно деформируемая система (рис. 7.11,а)

Предположим, что

о

последовательно нагружается вначале силой Fi , а затем силой F \ .

п

б)

а)

е

Р

Рис. 7.11

W ■= 1 F ■А ■■

гг

2

г г■*

У

При “переходе” балки из положения 2 в положение 3 сила Fk

со­

вершает действительную работу W^

Fk А ^ , а сила F

, оставаясь

в это время неизменной, совершает на перемещении А^

возможную

работу Wjk = Fj А ^ . Суммарная работа двух сил будет равна:Т

W = Wjj+ Wkk +Wjk .

Н

обратной

и

Бпоследовательности -

Если осуществить нагружение балки в

вначале силой F k , а затем силой Fj (р с. 7.11,б), - то получим:

W2 = Wkk +Wjj+ Wki.

Так

как значение раб

ы рвнешних

сил равно

потенциальной

энергии системы

поск льку, независимо от последовательности

нагружения, в обо

х случаяхосовпадают начальные и конечные по­

з

ложения балки, то W1т= W2 . Значит, имеет место равенство:

о

и

Wjk = Wkj,

(7.4)

п

или в развернут й форме записи:

е

F А k = Fk Аk .

Р

Получена формальная запись теоремы о взаимности работ (тео­

ремы Бетти (1823-1892)): работа сил состояния i

на перемеще­

ниях состояния k

равна работе сил состояния k

на перемеще­

ниях состояния .

Аналогичная зависимость о взаимности имеется и для возмож­

ных работ внутренних сил на соответствующих деформациях. То­

У

гда формулировка теоремы о взаимности работ может быть дана в

такой форме: возможная работа внешних (внутренних) сил со­

Т

стояния i на перемещениях (деформациях) состояния k равна

работе внешних (внутренних) сил состояния k на перемещени­

ях (деформациях) состояния i .

Б

Пр и ме р .

Балка (рис. 7.12) постоянного сечения в состоянии 1 на­

гружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q , а в

состоянии 2 - сосредоточенным моментом M , приложеннымНв конце­

й

вом сечении. Показать справедливость теоремы о взаимности работ.

Состояние 1

и

Состояние 2

q

\qdx

р

о

т

силой

Рис. 7.12

о

в состоянии 1 является нагрузка q . Ее воз­

Об бщенн й

можную раб зту пределим как сумму элементарных работ сил q dx

на еремещениях у

состояния 2:

е

Р

п

W12 = j q dx У2

= q \ У2 dx = q со,

0

0

^

у2(x) = - M -x .

Последовательное интегрирование дает:

У

E J У2 (x) = - ~2J x + c1,

M

3

Н

E J У2 (x) = - —

x + C1 x +c2 .

Ту 2 = 0 ,

6 l

Б

6

l

Используя граничные условия

x = 0

У2 = 0 и x = l

найдем:

Л

Г x

й

E J У2 (x) = M

------- +1 x

Тогда:

и

р

\

о

M l 3

M

- —

+I x

dx =

о = j У2(x)dx = -------J

и

6 E J

V

l

J

24 EJ

Возможная работа:

з

т q M l

W

12 = 24 E J

Возм жная раб та сосредоточенного момента равна W21 = M срв .

Пр гибы и углы поворота балки в состоянии 1 определяются из

уравн ний:о

п

1 q lj3

q lj 3 q x 4

е

У1(x ) = E J

x - — x +■

24

12

24

Р

q l

3

q l

3

q x

У1(x) = —

2

1

E J

24

4

x

6

При x = l

y1(x) =фв

l3

= — q------ .

1

24 E J

Направление действия момента M

совпадает с направлением

перемещения р в , поэтому:

У

W 21= M q L .

21 24 E J

Н

Следовательно, Wl2 = W 21.

Б

Если обобщенные силы в состояниях “i ” и “ k ” будутТравны

единице (перемещения от единичных сил обозначаются буквой 5,

рис. 7.13), то из теоремы (7.4) следует, что:

Sik = Sla .

й

(7.5)

и

Состояние 1

р

Состояние 2

Fi= 1

т

Fk=1

и

о

Sk

I

з

Рис. 7.13

о

п

Равенство (7.5) выражает одно из общих свойств линейно

деформируемых систем и является формальной записью тео­

р мы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла (1831—

Р

1879)): перемещение по i -му направлению от k -й единич­

ной силы равно перемещению по k -му направлению от i -й

еединичной силы.

Замечание о размерности перемещений Sik. Обобщенное пе­

ремещение

Atk , вызываемое обобщенной силой

F k , определя­