Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

Н

сил, то при всяком возможном бесконечно малом перемещенииУто­

чек этой системы сумма работ ее внешних и внутренних сил равна

Б

Т

нулю. Представим формальную запись этого принципа в виде:

W (возм) + А в в т = 0.

(2.5)

Вводя понятие степени свободы

стержневой

системы (см. раз­

где W (возм) - возможная работа внешних сил;

л (в озм )

г

внутренних

сил.

Авнутр - возможная работа

ном состоянии статически

пределимой системы (W = 0) нельзя за­

дел 1.4) мы предполагали,

что ее

сте жни являются абсолютно

о

твердыми, недеформируемыми. Учитывая это, а также определение

этого

понятия о возможных перемещениях, надо отметить, что в исход­

давать возможные перемещения. Как же тогда применять принцип

возможных перемещен

й к расчету таких систем?

з

принципа в задачах расчета статически оп­

Для исполь ован я

о

W {возм) = S iS i+Z Fk A k = 0,

(2.6)

где

Si

-

искомое усилие в связи i ,

St

- перемещение по его

направлению;

Fk

-

к -я обобщенная сила, Aк - перемещение по направ­

лению силы F k .

Если направления

силы

и соответствующего

ей перемещения

совпадают, то работа положительна.

У

Так как расчет ведется по недеформированной схеме, то в системе

с одной степенью свободы все перемещения

Si и

Т

Aк выражаются

через один параметр. Сократив каждое слагаемое уравнения (2.6) на

этот параметр, решим его относительно S i .

Н

Например,

определяя реакцию

VB

в опоре

B

двухпролетной

Б

статически определимой балки (р с. 2.13,а), удалим опорную связь

в точке

B

и приложим в этой точке не

звестную силу VB . Поло­

й

жение механизма с одной степенью свободы определяется одним

параметром. В качестве эт

па аметиа примем угол поворота бал­

ки AB

(рис. 2.13,б). Так как

,

по оп

еделению, является беско­

нечно малым углом,

р

о Ai= 21р, Ав = 4 /р , A2= 5 /р , Аз= 51р.

го

т

iF2= 10кH

F3= 4 кН

и

*

\

з

j

\VB

о

\2/— J=

2/

l j

Ч

l

I

п

е

Р

W (возм) = Vb 419

- Fx2 l9 - F2 5l9+ F3 5l9 = 0.

Решение его дает VB = 17,5 кН.

У

При определении усилия в стержне 1-2 шпренгельной балки

(рис. 2.14,а) последовательность действий остается такой же, как и в

Т

предыдущем примере. После удаления в заданной балке стержня 1-2

получим механизм, возможные перемещения которого характеризуются

взаимным поворотом стержней AC

Н

и CB относительно точки С . За­

дадим правому диску возможное перемещение в виде поворота его

вокруг шарнира С

на бесконечно малый угол 9

Б

(рис. 2.14,б).

а)

q =

10 к H/ м

й

и

/

п

и

ш

н

и

ш ш

—л--------

ГГТ.----

О -----------

А

Тз

(С

р

VB = 22,5k H

б)

о

2

т

2 м

2 м

2 м

2 м

и

з

о

п

е

Рис. 2.14

Р

Из уравнения возможных работ

лий необходимо строить заново.

Линия

влияния представляет

собой график,

характеризующий

Т

изменение конкретного усилия в одном строго определенном сече­

нии сооружения в зависимости от положения подвижной единич­

Н

ной сосредоточенной силы. Ордината линии влияния показываетУ

значение соответствующего усилия при положении единичной си­

Б

лы в том месте, где рассматриваемая ордината отложена. По данной

линии влияния нельзя ничего сказать об изменении усилий в других

сечениях сооружения.

Единичная подвижная сила при построении линий влияния при­

нимается безразмерной. Поэтому размерности линий влияния уси­

лий определяются выражением

и

[размерность ординат линии влиян

[размерность усилия]

я ус лйя] = ^

i---------- --------- И .

о

[размерность силы]

Соответственно

линий влияния опорных реакций, по­

Линии влиян я усординатыпозволяют:

перечных и продольных сил будутрбезразмерными (Н /Н ), а раз­

жении;

линий

мерность ординат

влияния изгибающих моментов будет рав­

на размерности дл ны (Н • м / Н = м ).

-

определять

начен

я усилий от нагрузок при любом их поло­

п

- нах дитьзнаиболее невыгодные расположения нагрузок на со­

оружении с целью определения экстремальных (максимальных и

е

минимальных) усилий.

3.2. Статический метод построения линий влияния усилий

в простых балках

Особенности применения статического метода рассмотрим на

Рпримере построения линий влияния опорных реакций и усилий в

двух точках. Так, при

xFA = 0, M RA = 0 , а при

xFA = l , M RA = l .

Соединив эти точки прямой, получим линию влияния опорного мо­

мента (рис. 3.1,в).

У

Изгибающий момент и поперечную силу в сечении К определим

из уравнений равновесия правой части балки, когда сила F = 1 рас­

положена справа от сечения К :

Н

м к р = -1 XFK(при XFK = 0

М к = 0 ;

Т

при XFK = с

М к = - с );

QK =+ 1.

При

движении

силы

слева

от

сечения

Б

уравнений

К

из

I МКр = 0 и I

QKP = 0

следует, что

М к = 0,

QK = 0 . Линии

и

влияния М к и QK показаны на рис. 3.1,г,д.

Наибольшее по модулю значен е зг бающего момента в сече­

р

йлы на конце консоли. При

нии K возникает при расположен

с

положениях силы

правее

сечен я

К

астянуты

верхние волокна

по

балки, поэтому ординаты изгибающего момента отрицательны. По­

т

перечная сила в сечении К п и т м же положении силы положи­

тельна (вращает элемент балки

часовой стрелке) и равна едини­

опорной балки сконсолями (рис. 3.2,а). Из уравнений равновесия

це. В сечении К линия влияния изгибающего момента имеет излом,

з

а линия влияния поперечной силы - разрыв на единицу (скачок).

Построим л н

вл ян

опорных реакций RA и RB для двух­

о

балки следует:

Р

I

M B = 0;

1 x - RB l = 0;

RB = x /l;

(3.1)

пI M A = 0;-1

(l -

x)+ RA l = 0;

RA =(l - x ) /l.

(3.2)

еПолученные зависимости представляют собой уравнения пря­

мых, которые построим по двум точкам:

- при x = 0 RA = 1,

RB = 0;

- при x = 0 RA = 1,

RB = 0;

а) на конце левой консоли при x = - /и ;

RA = (l - lk1Vl ;

Rb = lk J l ;

У

б) в сечении К между опорами при x = а;

Ra

=(l - а )/l ;

RB = a /l;

Т

в) на конце правой консоли при x = l+lk2;

RA = - lk 2^ ; RB = (l +lk 2 Vl .

Линии влияния опорных реакций, построенные согласно полу­

ченным зависимостям, представлены на рис. 3.2,б,в.

Построим линии влияния изгибающего момента и поперечной

силы в сечении К.

Усилия в сечении К могут быть найдены из рассмотренияНравно­

жной

весия левой либо правой части балки относительно сечения К. При

этом для получения более простых зависимостейБследует рассмат­

и

силы.

ривать ту часть балки, на которой нет подв

р

згибающий момент Мк

При движении силы слева от сечен я К

получим из уравнения равновесия п авой части балки:

о

(3.3)

т

и

мКр = R B b .

С учетом (3.1) это выражение приводит к линейной зависимости

(левая прямая):

з

о

M K =f ,

(3.4)

п

справедлив й для левой части балки, на которой находится единич­

е

ная сила.

Из (3.3) следует, что левая прямая линии влияния М к

может

быть построена умножением всех ординат линии влияния

R B на

величину b:

Р

л.в М к = (л.в. R b )

b.

Мк

= Ra а

или

л.в. М к = (л.в. Ra ) а.

То есть правую прямую линии влияния МК можно построить,

увеличив ординаты л.в. Ra

в а раз (рис. 3.2,г).

Т

Полученные прямые (левая и правая ветви линии влияния Мк)

пересекаются под сечением К. Линия влияния поперечной силы в

Н

сечении К строится аналогично. При движении силы слева от сече­У

ния получим (левая прямая):

Б

QK = - R B

то есть

л.в. Qk = -(л.в. Rb ).

й

При движении силы справа от сечения из уравнения равновесия

левой части будем иметь (правая прямая):

QK = Ra

то есть

л.в. QK= л.в. Ra.

р

Построенная линия влияния

QK показана на рис. 3.2,д. Под сече­

о

нием К она имеет разрыв на единицуи(а / l+b / 1 = 1). На рис. 3.2,е,ж

показаны линии влияния изгибающего момента и поперечной силы

в сечении Кь бесконечно близк м к поре В.

Линии влияния

в сечениях на консолях двухопорной

балки (рис. 3.

)

роя ся ак же, как и в сечениях консольной

2,з,

т

балки (рис. 3.1,г,д).

что

н

вл

яния усилий в балках, а также и в других

Заметим,

л

статически

пределимыхусилийсистемах, имеют линейное или кусочно­

п

линейн е чертание.

Рассм трим п строение линий влияния усилий в многопролет­

стые

ных статически определимых балках, которые представляют собой

совоку ность простых балок, соединенных между собой по концам

Р