Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

три степени свободы.

Н

Б

й

В пространстве своб дн етвердое тело рассматривается как

обладает

Рис. 1.29и

бой его линии по отношению к осям неподвижной системы про­

и

шестью степенями свободы:

пространственный блок и

В данн м ра деле ограничимся рассмотрением только пло­

п

ских систем.з

Всякое

связей плоских систем

Классификацияо

только

т

можно рассматривать как

Таким образом, всяк е с

систему дисков, соединенных связями, как между собой, так и с

и

опорной поверхнос ью (землей). Землю (опорную поверхность)

з

также можно рассма р ва ь как диск. Чаще всего с землей связы­

вают неподвижную с стему координат и по отношению к земле оп­

о

ределяют степень свободы исследуемой системы.

В кинематическом анализе диски и связи полагаются недефор-

п

мируемыми, абс лютно жесткими.

связей, используемых в строи­

е

Рассм трим расчетные схемы

т льной механике.

Р

У

Т

Рис. 1.30

Рис. 1.31

Н

Б

Одиночный шарнир (на расчетных схемах изображается кружком)

эквивалентен двум простым связям. Соединяя два диска, шарнир

й

уменьшает их суммарную степень свободы, равную шести, до четырех,

так как положение двух связанных

шарниром

дисков характеризуется

двумя координатами х и у точки A

двумя углами ери /, фиксирующи­

ми положение линий AB и BC

(р

с. 1.32,а). Землю (опорную поверх­

неподвижную опору, экв вален ную двум простым связям (рис. 1.32,в).

во

Шарнирно неподв жная опора устраняет две степени свободы.

т

A

и

з

о

п

е

Рис. 1.32

Р

Часто два шарнира, соединяющие три диска, сближаются и сли­

У

ваются как бы в один шарнир на общей оси (рис. 1.33,б). Получает­

ся сложный,

кратный шарнир, эквивалентный, в данном случае,

двум простым шарнирам, или четырем простым связям.

Т

Н

тношение:

Б

Рис. 1.33

В общем случае, кратность такого сложногойшарнира на единицу

меньше количества соединяемых на одной оси дисков (стержней).

о

Другими словами справедливо с

т

Шр= Д - 1

оси

где Ш - кратнос ь сложного шарнира;

з

Д - кол чес во д сков, соединяемых сложным шарниром на

одной .

о

шарнирных соединений

представлены на

Примеры

пр стых

рис. 1.34,а. На рис. 1.34,б показаны кратные шарнирные соединения.

е

а)

т

Р

п

Ш=1

Ш=1

Ш=1

б )

Ш=2

Ш=3

Ш=4

Рис. 1.34

(рис. 1.35,б). Кратность жестких узлов определяется по формуле:

У

Ж

= Д - 1,

Т

где Ж - количество простых жестких узлов;

Н

Д - количество дисков, монолитно соединяемых в одном узле.

Простой жесткий стык устраняет три степени свободы. Он экви­

валентен трем простым связям.

й

~1

~т~

а)

БЖ=1

Ж=1

Ж=1

т

р

7 *\

б)

о

и

Ж=2

Ж=3

Ж=2

Рис. 1.35

Жесткая защемляющая опора, устраняющая способность диска

з

(стержня) перемещатьсятотносительно опорной поверхности, как и же­

о

сткий узел, также экв валентна трем простым связям (рис. 1.7,а,б).

Жесткие у лыипо воляют в случае необходимости разбивать

п

один стержень (диск) на произвольное количество составляющих

стержней (диск

в) (рис. 1.36).

е

Рис. 1.36

От соотношения количества составляющих систему дисков и ко­

Рличества наложенных связей, а также от их взаимного расположе­

й

пень свободы W любой плоской системы, составленной из Д дисков,

соединенных между собой и опорной поверхностью простыми же­

сткими узлами Ж, простыми шарн

рами

простыми опорными

Ш

связями Со .

рная

Если бы система состояла только

з свободных, несвязанных дис­

о

ков, то ее степень свободы равнялась бы 3Д. Каждый введенный про­

стой жесткий узел устраняет т и степени свободы, каждый простой

т

связь - одну степень свободы.

шарнир - две, а каждая пр с ая п

Следовательно, общая с епень св б ды системы равна:

W = 3Д - 3Ж -

2Ш -

Со.

(1.1)

Для правильного пр менения полученной формулы следует

помнить,

п диЖ, Ш Со понимается общее количество соответ­

ственно

стыхз(однократных) жестких стыков,

простых (одно­

кратных) шарнир в и простых опорных связей. При этом необхо­

W =3 +V ,

У

откуда

Т

V = W - 3.

Н

Подставляя в последнюю формулу выражение

W при условии,

Б

что в системе отсутствуют опорные стержни, получим окончатель­

ную формулу для вычисления степени изменяемости стержневой

системы, отсоединенной от опор:

й

V = 3 Д - 3 Ж -

(1.2)

2Ш

- 3.

и

Если степень свободы (или степень

зменяемости) системы по­

ложительна (больше нуля):

р

W > 0 (или V > 0 ),

то система геометрически изменяема. В ее структуре для обеспече­

ния геометрической неизменяем сти недостает W (или V) связей.

Например, в

сячая с

ос ема (рис. 1.37) составлена из четырех

стержней, соед

ненных

шарнирами, и оперта на две шарнир­

тремя

но неподвижные опоры. Ее степень свободы равна:

и

W = 3Д - 2

Ш - CO = 3 • 4 - 2 • 3 - 4 = 2.

з

о

п

е

Рис. 1.37

РСледовательно, она геометрически изменяема. В ее структуре не­

пень свободы рамы равна:

У

W = 3Д - 3Ж - 2Ш - СO = 3 • 8 - 3 • 6 - 2 • 2 - 9 = - 7 .

Т

С точки зрения геометрической неизменяемости данная рама со­

держит семь лишних связей.

Н

Эту же раму можно рассмотреть и как составленную только из

двух дисков, соединенных двумя шарнирами (рис. 1.38,б). На один

из дисков наложены три жестких

Б

(9 простых опорных

стержней). В итоге получим тот же результат:

й

W = 3Д - 3Ж - 2Ш - С0 = 3 • 2 - 3 • 0 - 2 • 2 - 9 = -7 .

заделки

р

о

т

и

з

о

п

Колич ство лишних связей при правильной их расстановке, рав­

отрицательной степени свободы системы, определяет степень

ное

статической неопределимости системы. Следовательно, количество

лишних связей, или степень статической неопределимости системы

Р

можно вычислить по формуле:

Л = -W = 3Ж + 2Ш + С0 - 3Д ,

(1.3)

поверхностью. Степень свободы системы равна:

Н

W = 3Д - 3Ж - 2Ш - С0 = 3 • 9 - 0 - 2 -12 - 3 = 0.

Б

Тот же результат можно получ ть поному, считая, что система

составлена из 11 стержней-дисков. Предполагается, что обе полубалки

й

образованы каждая из двух сте жней, спаянных жестко в четвертях

пролета. Следовательно,

два дополнительных жестких узла.

Количество шарниров и

и

п рных сте жней не изменилось. Возможны

и другие варианты подсче а с епенирсвободы данной системы.

появилось

т

и

з

Если сте ень изменяемости системы равна нулю:

о

V = 0,

то систпма имеет необходимое для внутренней геометрической не­

изм ня мости количество связей и может быть внутренне статиче­

е

ски определимой. Например, степень изменяемости односкатной

фермы без опор (рис. 1.40) равна нулю:

Р

V = 3Д - 3Ж - 2Ш - 3 = 3 -13 - 0 - 2 -18 - 3 = 0.

У

Рис. 1.40

Т

Н

Подсчет степени свободы или степени изменяемости фермы, как

и любой другой шарнирно-стержневой системы, может быть вы­

полнен и по более удобной формуле.

Б

В шарнирно-стержневой системе узлы можно рассматривать как

материальные точки, имеющие на

йдве степени свободы.

Стержни, соединяющие узлы, как

опорные стержни, можно рас­

сматривать как простые связи (связиплоскостипе вого вида).

Если бы шарнирные узлы не были связаны стержнями, то систе­

р

ма из У свободных шарнирных узл в имела бы 2У степеней свобо­

ды. Стержни, соединяющие узлы, и опорные стержни как простые

о

связи устраняют по одной с епени свободы. Следовательно, степень

т

свободы шарнирно-стержневой системы может быть вычислена по

формуле:

и

(1.4)

з

W = 2У - С - С0 ,

У - количество шарнирных узлов;

о

С

- количество стержней, соединяющих узлы;

пС0- количество опорных стержней.

где

Р