Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

точке С является двукратным.

Л = С0 + 2Ш + 3Ж - 3Д = 7 + 2 • 4 + 3 • 2 - 3 • 5 = 6 .

У

По формуле (8.3) получим:

Л = 3K - Ш = 3 • 4 - 6 = 6 .

Н

Разбиение рамы (рис. 8.10) на отдельные диски примем таким,

как показано на рисунке.

Б

Т

й

о

и

т

и

Рис.р8.10

Тогда получим: Д

= 6 ,

Ш = 2, число жестких соединений

Ж = 4.

з

По формуле (8.1):

о

Ж - 3Д = 9 + 2 • 2 + 3 • 4 - 3 • 6 = 7.

Л = С0 + 2Ш + 3

п

По ф рмуле (8.3):

е

Л = 3K - Ш = 3 • 4 - 5 = 7.

Р

ределимости заданной системы сводится к следующему.

В заданной статически неопределимой системе удаляются лиш­У

ние связи, а вместо них прикладываются неизвестные силы. Полу­

Т

ченную таким образом систему называют основной системой метода

сил, а неизвестные силы -

основными неизвестными этого метода.

Их обозначают буквами

, где i = 1, 2, • • •, n (n < Л )Н.

тем, получают уравнения для

пределения основных неизвестных.

связей (

Л ). Такой способ расчета требует дополнительных вычис­

лений для включенных в основную с стему статически неопреде­

лимых фрагментов.

и

рически неи меняемойсопоставляянеподвижной. Для любой статически не­

В дальнейшем,

пе емещения заданной и основной сис­

Поясним

некоторые с бенн сти выбора основной системы.

Прежде всего, отме м, чоосновная система должна быть геомет­

из

что

определимой рамы можно выбрать несколько основных систем.

Рассм трим следующийипример. Степень статической неопредели­

п

браженной на рис. 8.11,а, равна трем. Возможные

мости рамы,

варианты сн

вных систем показаны на рис. 8.11,б-в. На рис. 8.11,б

е

за основные неизвестные метода сил приняты усилия

показано,

в о орных связях заданной рамы, а по рис. 8.11,в основными неиз­

Р

- реакции в опорных связях и X 2 - си­

в стными являются X 1, X 3

У

Т

Н

Б

Все последующие вычисления в методе сил связаны с основной

системой. Поэтому от удачного выбора варианта основной системы

будет существенно зависеть трудоемкость расчета. Способы выбора

Деформации

заданной

и снизложенывной систем

будут одинаковыми

рациональных основных систем

в разделе 8.8.

р

8.4. Канонические у

авненйя метода сил

о

т

только в том случае, если пе емещения точек приложения основных

неизвестных по их направлениям в

сновной системе будут такими же,

как и в заданной

сис

ес ь равными нулю. Действительно, на­

еме,

з

или X 3 (рис. 8.11,в)

пример, перемещен е по направлению силы Xj

равно нулю, также равен нулю в заданной системе и угол взаимного

поворота сечений по направлению неизвестной X 2 (рис. 8.11,в).

п

Перемещения в основной системе по направлениям основных

неизвестных зависят от действующей на систему внешней нагрузки

и основныхонеизвестных, поэтому можно записать, что:

е

Д1(X1, X 2, - , X n, F )= 0;'

Д2(X 1, X 2,'", X n, F )= 0;

(8.4)

Р

Дn X , X 2, - , Xn, F )= 0._

новных неизвестных. Если воспользоваться принципом независи­

мости действия сил, то i -е уравнение из системы (8.4) можно запи­

сать в форме, позволяющей видеть вклад каждого силового фактора

в конечный результат:

Н

У

Б

Т(8.5)

Д = Дi1 + Д 2 + " ' + Дin + ДiF ,

где

Дг1, Дi2, - •, Д{п -

перемещения точки приложения i -й ос-

новной неизвестной по ее направлению, вызванные

силами X 1, X 2, • - , X n;

Д ^

точки

по тому же направле­

- перемещение той же

р

нию, вызванное внешнеййнагрузкой.

о

Перемещение по направлению i -й неизвестной, вызываемое си­

лой X k , может быть представлено как:

и

Д к = Sik X k ,

(8.6)

где

Sik

з

- перемещенте по тому же направлению, вызываемое

силой

X k = 1.

Учитывая выражения (8.5) и (8.6), систему уравнений (8.4) за­

пишем следующим образом:

е

S 11X 1 + S 12X 2 +

S 13X 3 +

" • +

S 1nX n

+ Д 1F = 0;

Р

пS21X 1 + S22X 2 +

S 23X 3 +

"

' +

S2n X n +Д2 F = 0;

(8.7)

S n1X 1 + S n2 X 2 +

S n3X 3 +

’ "

+

S nnX

n + Д nF = ° .

A X +B =

0 ,

У

(8.8)

где:

Т

-

матрица коэффициентов при

Н

неизвестных в канонических

уравнениях (матрица податливости основной системы):

11

12

'13

1n

Б

5

21

22

523

й

A =

и

(8.9)

n1 n2 n3

-

вектор неизвестных:

р

т

X 2 X 3

... Xn ];

(8.10)

X T =[X1

-

и

канонических уравнений

(вектор

вектор свободных

з

членов

грузовых перемещен й):

о

BT = [д^

д 2F ■"^ F ].

(8.11)

п

5ц , то есть расположенные на главной диаго­

Коэффициенты типа

является симметричной.

нали, называют главными (главные перемещения), а коэффициенты

5 ^ , сли

i Ф к- побочными (побочные перемещения). Согласно

т ор ме

о взаимности перемещений 5ik = Ski,то есть матрица A

При расчете статически неопределимой системы на тепловое

Рвоздействие вектор B в уравнении (8.8) имеет вид:

B T = K д 2г - д п1 ],

(8.12)

где

Дit - перемещение точки приложения i -й неизвестной по ее на­

правлению, вызванное изменением температуры стержней.

При расчете системы на смещение связей:

У

Т

(8.13)

где

Д ^

Н

- перемещение i -й неизвестной, вызванное смеще­

нием связей.

Б

8.5. Определение коэффициентов и свободных членов

уравнений

канонических уравнений

Коэффициенты и свободные члены

вычисляются по

правилам определения перемещен й,

зложенным

в главе 7. Для

пре

рамных систем, испытывающих

мущественно изгибные дефор­

мации, при неавтоматизированных выч

слен ях (“ручной” счет) ог­

о

раничиваются учетом влияния на пеиемещения только изгибающих

т

вычисляются по формулам:

моментов. Поэтому 5 ^ и ДF

и

з

о

п

M k - изгибающие моменты, вызываемые безразмер­

,

ными силами соответственно X i = 1 и X k = 1 ;

M F

- изгибающий момент, вызываемый внешней нагрузкой.

гдеТак, например, если для рамы (рис. 8.12,а) принять основную

систему по варианту рис. 8.12,б, то при определении перемещения

РS21 необходимо состояние рамы под действием X 1 = 1 (рис. 8.12,в)

1

У

Перемещение

Д ^

Т

(рис. 8.12,д) вычисляется с помощью эпюр

M F (рис. 8.12,з) и M 1 (рис. 8.12,е):

Н

г

' 1±vifF dx

д 1* = Е |-

E J

й

а)

* Г *

* 4

б)

*г ***

и

t

Заданная i

Б

I

система

система

I

t*

1

I —

яw

i-

1

j

о

в)

г)

т

р

!x2 =1

21

и

U 1=1

S12t .

з

е)

о

..

д)

******

п

Дц^

е

Р

канонических уравнений может быть записана в численном виде.

8.6. Построение окончательных эпюр усилий

У

Т

Решение системы канонических уравнений позволяет найти значе­

ния основных неизвестных. Окончательные усилия (S е {M, Q, N })

в k -м сечении заданной системы, на основании принципаНнезави­

симости действия сил, вычисляются по выражению:

Б

Sk = SkF + Sk1 X 1 + Sk2 X 2 + ‘'' + Skn X n ,

(8.14)

где SkF - усилие в k -м сечен

й

от действия внешней нагрузки;

Ski - усилие в k -м сечении

и

i = 1, 2 ,• • •,n .

т X t = 1,

р

В соответствии с выражением (8.14) строятся окончательные

эпюры изгибающ х момен

поперечных и продольных сил:

ов,

т

+ M n X n ,

(8.15)

M = M F +M

1 X 1 +M 2 X 2 + -

и

Qз= QF

+ Q1 X 1 + Q2 X 2 + ''' + Qn X n ,

о

N = N f + N X 1 + N 2 X 2 + - + N n X n .

п

Q и

N по приведенным выше формулам не

Построение эпюр

всегдаудобно. Более простой способ построения эпюры Q основан

на использовании дифференциальной зависимости Q = ----- .

Р

dx

Чтобы воспользоваться этой зависимостью получим аналитиче­

ское выражение для определения изгибающего момента в сечении

стержня рамы. Рассмотрим такой стержень как балку на двух опо­

рах. Предположим, что пролет балки загружен так, как показано на

рис. 8.13,а. Оба опорных момента (левый ( л ) и правый (п )) - по­

ложительные.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

Рис. 8.13

п

Постр ив для этого пролета эпюры моментов от нагружения его

прол тной нагрузкой (рис. 8.13,б) и опорными моментами (рис. 8.13,в,г),

опр д лим, на основании принципа независимости действия сил,

окончат льную ординату в сечении k на эпюре M

как сумму со­

еставляющих ее:

Р

l

—x

x

(8.16)

M = M F + —

M n + - M n .

M

—M

(8.17)

Q = QF +

п l Л .

8.7. Алгоритм расчета. Проверка расчета

У

Т

Процесс расчета статически неопределимых рам методом

сил

включает следующие операции.

Н

1. Определение степени статической неопределимости системы.

2. Выбор основной системы.

Б

3. Запись в общем виде системы канонических уравнений.

4. Построение эпюр усилий в основной системе от внешней на­

й

грузки и единичных значений основных неизвестных.

5. Вычисление коэффициентов

при

свободных

неизвестных и

членов канонических уравнений.

Чтобы не ошиби ься в х дерасчета, вычисления на каждом эта­

6. Запись системы каноническ

х уравнен в численном виде и

решение ее.

о

7. Построение окончательной эпю ы изгибающих моментов.

8. Построение эпюр Q и N .

Поясним

т

от­

с бенности контроля правильности расчета на

пе алгоритма следует проверя ь. Для этого, разумеется, необходимо

глубоко понимать су ь выполняемых операций и правильно ис­

пользовать

нан я, накопленные в ходе изучения курса строитель­

ной механики.

п

дельных этапахзалгоритма.

Прежде всег , сделаем замечание к вопросу о выборе основной

е

сист мы.оДля всех возможных вариантов основной системы следует

вы олнить кинематический анализ их в той последовательности, кото­

Р