Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

q =10 кИ/м

1111111

20,0

У

J

M

q=10 кИ/м

M) (кИ• м)

Н

—

_ Д

!

%i

'

2

Б

Т

M

(кИ• м)

. ..

W

4 80

Рис. 7.21

и

ю угла поворота сече­

Вспомогательное состояние к определен

ния С показано на рис. 7.20,д, а соответствующаяй

ему эпюра изги­

бающих моментов - на рис. 7.20,е.

о

т

Д2F = I J

MM2-ЛMF dx

1 20 • 8 —0,5 +

р—

и

EJ

E J

2

3

1

2 ап а

93,33

рад.

+--------- 80 • 8 • 0,25 = --------

E J

3

E J

П р и м е р . Найти горизонтальное перемещение точки A рамы,

п

показанн й назрис. 7.22,а.

Вс м гательн е состояние (состояние

1) показано на рис. 7.22,б.

Соотв тствующиео

состояниям рамы эпюры изгибающих моментов

показаны на рис. 7.22,в,г.

е

F

dx

1

1

1

16 + 32

rM7—M7

+ ----- 6 • 4 ----------+

Р

Д—F = Z f

1

F

= ------ 16 • 4 • 3

1F

E J

E J

3

2E J

2

1

1 ^

,

2 ,

1568

+-------- 32 • 4 —4 = -------м.

E J 2

3

3E J

а) состояниеF

б) состояние 1

2

кН

N2EJ

м \ , EJ

EJ \

J —

У

в)

16, шшшИШПШП 32

Т

(кН * м)

Н

Б

Рис. 7.22

й

В этом примере искомое пе емещен е выч слено в виде суммы инте­

и

(х)

гралов по трем стержням. На кажд м из них функции M i (х) и M F

имеют вполне

определенные

аналитические выражения. Если по

р

длине одного стержня эпюры м ментов описываются различными

функциональными зав с

ями, то стержень необходимо разбить

мос

на соответствующ е участки,

вычислить интегралы отдельно для

каждого участка ре ультаты вычислений суммировать.

Еще раз

тметим, что способ Верещагина нельзя применять в

случае, к гда

и

бе эпюры усилий являются нелинейными. Так, на­

пример,

з

нельзя применить к вычислению площади эпюры про­

гибов балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.

его

же

равило вычисления интегралов применимо и к двум

другим слагаемым в формуле Мора для определения перемещений.

п

Такое

Р

b

n

j f (x) dx *

£ ckf (xk ),

a

k=0

Ck - числовые коэффициенты.

Записанное равенство, в общем случае приближенное, называют

квадратурной формулой, точки

Xk

- узлами квадратурной форму­

У

лы, а числа Ck -коэффициентами квадратурной формулы. Погреш­

ность квадратурной формулы

Т

Н

b

n

V =

j f (x) dx -

Z ckf

(xk )

Б

a

k=0

зависит как от расположения узлов, так

от выбора коэффициен­

тов. Наиболее часто в практическ

х

ложениях к задачам строи­

тельной механики используется

й

авномерная сетка узлов; при этом

исходный интеграл представляется

в

суммы интегралов по

виде

частичным отрезкам, на кажд м из которых применяется квадра­

турная формула.

пр

Простейшими квадра урными ф рмулами для одного интервала

о

являются формула прямоугольников

т

и

a

з

и формула трапеций (Т)

о

п

a

е

Р

ствия силы Fi = 1

очертание эпюры “ M ” будет определяться ли­

Т

нейными зависимостями M (x) . В таком случае при f 3(x) = const

функция

f (x) = fi (x) f2 (x)

Н

будет представлена кривой второйУ

или третьей степени. Тогда на участках стержней с постоянной же­

Б

сткостью интеграл Мора можно вычислить точно с помощью фор­

мулы Т. Симпсона (формула парабол):

й

b

l

j f( x ) d x =~{yi + 4У2+Уз X

(710)

a

6

и

где

y i, У2 , Уз

р

- значения функц в концевых точках отрезка

[a, b] и

ед не его (р с. 7.23).

посе

т

и

з

о

п

е

Формула Симпсона является точной для любого многочлена не

выше третьей степени.

Определим с помощью формулы Симпсона вертикальное пере­

Рмещение сечения D и угол поворота сечения C для балки, пока­

Л1F

= --------- 1 • 3,75 -

+ — -(-1 • 3,75 + 4 • 5,625 • 1,5 + 37,5 • 2) =

У

1F

E J 2

3

6 • 2EJ ,—

’

-1,25 + 8,75 V10

26,42

Т

= -----------------------= -------- м.

E J

EJ

Если функция f

(x)

на некотором участке стержня будет пред­

степени, что возможно для стержней криволинейного очертания,

или при изменении жесткости вдоль оси стержня, илиНпри действии

й

на него неравномерно распределенной нагрузки, то результат вы­

и

числения по формуле Симпсона будет приближенным.Б

На частичном отрезке погрешность оцен вается так:

р

о

M ,

U < —

1 1

2880

где

т

и

sup

з

M =

f IV (x)*,

о

xe[a, b]

тре ке формула Симпсона имеет точность o (h 5 ),

п

то есть на эт м

на

трезке -

o (h 4), в то время как формула трапеций, так же

всем

как и формула прямоугольников, имеет второй порядок точности.

Р

П р и м е р . Определить с помощью формулы Симпсона площадь

Эпюры M F и M 1 показаны на рис. 7.25.

СостояниеF

Состояние 1

..................Я

У

I

I

П

I

и

^

2

Н

ql2

1q l2 x9ql

Т

//4

3 Г

8 .

32

Б

j //4 j,

//4 j, l/ 4

Здесь:

Рис. 7.25

и

р

f (x) = M F (x) M

1(x)й= qX-

Для варианта с одним

м длиной l

получим:

участк

l 2 ql2 2l

,2 Л

и

l

л ql2

з

4о- ------- + ^

19,2 E J

6E J

8

8

2

2

о

Точн е решение получено ранее непосредственным интегриро­

п

ванием. Пл щадь равна Л ^ =

20 EJ

Е

q

1

/5

/5

Если принять —

= 1, то погрешность вычисления w = ------------=

E J

19,2 20

е= 2,083 -10 3 l 5,

что

соответствует

указанной ранее

оценке

Р

- M =■

6 = 2,083 • 10

3 l 5, где принято:

2880

2880

sup

sup

Л .4 >IV

M =

f IV (x)

= 6.

x e [a , b]

x e [a , b] V 4 У

Для варианта с двумя участками длиной

получим:

У

l

2

,2 Л

л q l 2 l 2 q l 2

l

+

4 -

-------- + ^

2 • 6 E J V 32 32

8 8 У

l

f q l 2 l 2 + 4 9 q l 2 9 12 + q l 2 l 2 ^

Т

+ -

8 8

32

32

2 2

19,95 E J

2 • 6EJ

Н

Погрешность равна у

15

15

= -

-------= 1,253 • 10- 4 l 5 . На всем от-

19,95

20

Б

резке интегрирования погрешность оцен

вается так:

.4,

й

I

I

h4(b - a)

W

< — ^-------LM .

и

2880

В данном случае h

l

р l

i5

= —,

b - a = l

и, значит, у < ------------ 6 =

2о

16•2880

= 1,302 •Ю-4 l 5 .

т

Формула С мпсона построена на трех равноотстоящих узлах.

и

В нек т рых случаях применяются квадратурные формулы и с

большим числзм равноотстоящих узлов. В частности, такой форму­

лой,

стр

енн й на четырех узлах, является следующая:

о

f f

(x)Jx^

b - a

j + 3 f (Va + 2(b3 a) у + f (b)

п

f ( a) + 3 f ^a +

8

Ееиногда удобно использовать для перемножения линейных

эпюр усилий. Результат вычисления получается точным. Например,

Ресли перемножаемые эпюры имеют вид, показанный на рис. 7.26, то

У

Т

Н

Рис. 7.26

Б

й

В общем случае, формулы с большим числом равноотстоящих

узлов применяются относительно редко.

7.8. Определение перемещен

и

й от тепловых воздействий

р

Пусть для системы в состоян

а

( аздел 7.6) внешним воздей­

го

ствием является тепловое, то есть температура ее элементов изме­

нилась по отношению к нек т

му начальному состоянию. При­

т

мем для бесконечно мал

элемента (рис. 7.27) этой системы тем­

и

пературу нижнего волокна равн й ^ , верхнего - ?2 , и распределе­

ние температуры по высо е сечения по линейному закону.

з

о

п

е

Р