Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

том ее на множество единичных загружений в характерных сечени­

ях и последующим определением для каждого из них искомого пе­

ремещения или с расчетом заданной системы на одно загружение и

определением соответствующих перемещений в тех сечениях, в ко­

Т

торых по известным перемещениям можно представить правильный

вид линии влияния. Второй вариант решения является, как правило,

Н

более предпочтительным. Проиллюстрируем сказанное еще разУна

примере многопролетной статически определимой балки (рис. 7.32),

для которой построим линию влияния S3 . Из расчета балки на загру-

жение силой F1 = 1 можно найти только одну ординату линии влия­

ния S3- S 31 (рис. 7.32,б), из расчета на

действие

p = 1- S 32 и т. д.

Более простой является техника

построения

линииБвлияния S3 как

эпюры вертикальных перемещен й оси балки от действия F3 =1

р

с учетом общеприня­

(рис. 7.32,в). На рис. 7.32,г показан в

д л.вл. S3

о

тых правил построения: п л жительные ординаты л.вл. S3 распола­

т

гаются выше оси балки, трицательные - ниже.

и

з

о

п

е

в)

ЭП ."S3

Р

г)

л.вл." S3"

Рис. 7.32

грузки можно вычислить по формуле:

У

Aip = 5ц Fi + Si2 F2 +... + S,„ Fn ,

i2

r 2

где F j, F2 , ... ,Fn - сосредоточенные вертикальные силы, при­

ложенные в характерных сечениях.

При значении индекса i

Б

= 3 получим выражение для определенияТ

A3F с помощью линии влияния S3 (рис. 7.32,г).

Применяя выражение для A p

к каждому характерномуНсечению

й

и используя матричную форму записи преобразований, получим

значение вектора перемещений Ap :

A1F

"S11

р

'in

Fi

S12

S13

А2F

S21

о

F 2

АF =

=

S22

S23иS2n

= A F .

т

>

Sn1

Sn2

Sn3

Sn

Fn

1 nF 1

з

S13

S1n

S11

S12

где A

о

S2n

матрицавлиянияперемещении.

=

S21 иS22 S23

п

С

е

Sni

Sn2

Sn3

nn

Р

Ком

онентами

i -го столбца являются значения ординат эпюр

п р м щ ний, построенных от Fi = i , что соответствует общему оп­

ределению матриц влияния. В силу выполнения условия Sik = S^

матрица

A

является симметрической матрицей и, значит, по эле­

В случае систем произвольного очертания, не обязательно ба­

лочных, перемещения

8 ^ могут иметь различную ориентацию в

пространстве. Они определяют податливость системы в некоторой

точке i по заданному

( i -му) направлению от единичной

силы,

приложенной в точке к . Поэтому матрицу A

У

называют матрицей

податливости системы. Для

ее вычисления

можно использовать

формулы (7.20) и (7.21).

Т

П р и м е р . Вычислить матрицу внешней податливости A

рамы

по заданным направлениям (рис. 7.33).

Н

^

3-е напр-е

Б

4

и а п п . о

й

и

р

момен

т

и

Рис. 7.33

Эпюры изгибающих

ов от действия единичных сил по за­

данным направлен ям показаны на рис. 7.34.

з

о

п

е

Р

Рис. 7.34

A =

8 21

ЧЪ

m

=

LM D LM

2 2

2

У

1

2

l m m ЧЪ

0 - 2 - 4 - 4

- 2

0 0 2 4

Т

0

0

0

0

0

0

0

2

4

X

0

0

0

-1

- 0,5

0

0

0

0

4

Б

6 E J

4 • 4

Н

6 EJ

4

6 E J

5

и

й

6 • 2 E J

р

х

4 • 5

X

6 • 2 E J

о

5

т

6 E J

4

6 E J

4 • 4

з

6 E J

4

и0 0

о

6 E J

0

- 2

0

0

е

- 4

0

0

- 4

0

-1

168

64

10

1

Р

п

х

- 2

0

! 5

64

64

0

3 E J '

0

0

0

10

0

2,5

0

0

0

2

2

0

4

4

0

У

Т

Рис. 8.2

Н

Еще раз отметим, что термин

связь“Бнужно понимать с

точки зрения геометрической не зменяемости и неподвижности

системы. По условиям же работы конструкц и эти связи необходи­

мы, при их отсутствии прочность

й

жесткость конструкции могут

оказаться недостаточными.

”лишняя

В качестве лишней м жет быть п инята любая связь, устранение

которой не повлияет на неизменяемрсть и неподвижность системы.

Так, для схемы на

. 8.1 за лишнюю связь можно принять любой

вертикальный опорный

оержень или, в любом сечении на участке

A C , связь,

которуютпередается изгибающий момент с одного

участка балки на другой.

Степень статическойриснеопределимости сооружения является важ­

Статически не пределимые системы обладают следующими

свойствами.о

1.

Те ловое воздействие на систему, смещение опор или неточ­

ностьпизготовления ее элементов с последующим натяжением их во

вр мя сборки вызывают, в общем случае, в статически неопредели­

е

мой системе дополнительные усилия. В статически определимой

системе эти факторы вызывают только перемещения сечений, уси­

Рлий же при этом не возникает.

Л = С0 + 2Ш + 3Ж - 3Д ,

(8.1)

а если

диски соединяются между собой толькосвязями

У

Т

первого

(одиночная связь) и второго (шарнир) видов, то по формуле:

Л = С0 + 2Ш -

3Д .

Н

(8.2)

Б

Как и при определении W , обе формулы можно использовать в

том случае, когда ни один из дисков системы не представляется в

виде замкнутого контура.

Если контур рамы замкнутый, то при использовании формулы (8.1)

мер, показанную на рис. 8.6,б, не бходимоудалить три связи в се­

его нужно разбить на несколько незамкнутых.

Замкнутый бесшарнирный контур является трижды статически

р

неопределимым. Действительно, чтобыйраму в виде замкнутого

контура (рис. 8.6,а) превратить в стат

чески определимую, напри­

чении к

о

т

(через эти связи существляется передача внутренних сил

с одного конца стержня на друг й).

и

з

о

п

е

Рис. 8.6

Р

Если в сечении к удалить связь, через которую передается изги­

Л = 3K - Ш ,

(8.3)

где K - число замкнутых контуров в раме;

Ш - число простых шарниров.

У

Заметим, что и рама, показанная на рис. 8.7, также представляет

собой замкнутый бесшарнирный контур. Основание,

к которому

рама прикрепляется в точках A и B

Т

, в этом случае рассматривает­

ся как диск, соединяющий эти точки.

Н

Приведем некоторые примеры. Определим степень статической

неопределимости для рамы, изображенной на рис. 8.8.

По формуле (8.2) получим:

Б

Л = С0 + 2Ш - 3Д = 9 + 2 • 2 - 3 • 3 = 4.

По формуле (8.3):

и

Л = 3K - Ш = 3 • 2 - 2 = 4.

р

Замкнутые контуры показаны на

с. й8.8 волнистой линией.

о

з

т

Рис. 8.8

Рис. 8.7

о

При исп ль

ванииформулы (8.1) для рамы, изображенной на

рис.

п

8.9

, учтем, что жестко соединяются между собой диски 1 и 2,

а также 2 и 3.

е

Р