Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

a)

MM Q:

Н

, r

t r

N k

Т

N: ^

i

I /

Qk

Б

M k i

,

M k

k

N

<

/

й

N k

N 1

Q:

и

*

Q:

,

M k

р

4

N k

N: ^

о

Q:

L

M:J Q:

N--= Q:

M k

и

N k

K C

N :V

V A

Q:

зNk

тN =Q:

о

M :

Qk

п

в)

N k

е

EJ

Q:

Р

M k f i k

Nk

N k

Q:

N=Mk N=Mk

Рис. 2.6

Частным случаем способа простых сечений является способ вы­

резания узлов. Если в шарнирном узле соединяются два стержня,

каждый из которых представляет собой связь первого вида, то уси­

лия в этих стержнях находятся из условия равновесия сил в этом

У

узле. Например, усилия в стержнях фермы, показанной на рис. 2.7,а,

определяются из условий равновесия сил, сходящихся в каждом из

узлов. Так, составляя уравнения ^ X =

Т

0 и ^ Y = 0 для узла 1

(рис. 2.7,б), получим

Ni- 2 = -1,5a/5F ,

N i- 6 = 3F . Последова­

Н

тельно применяя условия равновесия для узлов, в которых число

неизвестных не превышает двух, определим усилия во всех стерж­

нях фермы.

Б

й

и

р

о

f 1,5 F

f 1,5 F

т

\ d

j d j d j d

|

и

б)

Y

з

о

п

f l , 5

F

е

Рис. 2.7

Р

Еще раз отметим, что при использовании способа простых сече­

тельное сечение, с помощью которого можно составить другие урав­

нения, включающие те же неизвестные или некоторые из них. Реше­

ние системы уравнений, объединяющей условия равновесия

отделенных частей конструкции по двум (в общем случае их число

Т

может быть большим) сечениям, позволит найти значения искомых

усилий. Такой способ определения усилий называют способом совме­

стных сечений.

Н

У

Чтобы определить усилия в стержнях 4-10 и 10-17 полураскос-

ной фермы (рис.

2.8,а), проведем сечение

Б

1-1 и для левой части

фермы (рис. 2.8,б) составим уравнение равновесия:

й

X Y (леВ = VA - F - N 10-4 sin в + N 10-17 sin а = 0.

и

Вторым сечением 2-2 вырежем узел 10 (рис. 2.8,в). Составим

уравнение проекций сил на горизонтальную ось:

р

X X = N 10-4 COs e + N 10-17 co sa = 0 .

а)

о

1

т

и

з

о

п

е

Р

X Y = - N 9 - з - N 9- ю sin a = 0.

Т

Н

Проведем сечение 2-2. Из уравнения равновесия сил, действую­У

щих на правую часть фермы (рис. 2.9,в), определим усилие N 9 ю:

Б

X M 3 = F (d + 2d + 3d) - N 9- 10 h c o sa = 0

й

и

т

р

б)

2

ов)

N

1

1

N9-10 (

N

о

9-М 9

п

иN9-10

з

Nc

N3-10

) 4F 5j F | f

9-3

2

е

Рис. 2.9

три независимых уравнения в любой из ранее перечисленных форм.

Решение совместной системы линейных уравнений 9-го порядка

позволит найти все неизвестные.

У

Дальнейшее расширение этого способа вычисления усилий свя­

Т

зано с членением заданной системы на отдельные элементы и узлы.

Об этом читайте в главе 15.

Н

а)

б)

Б

й

и

р

о

т

и

Рис. 2.10

2.3. Метод замены связей

з

Рассм трим применение этого метода к расчету фермы, пока­

занной наорис. 2.11,а. Ферма является статически определимой. Ее

структура может быть представлена в виде трех дисков (треуголь­

никип3- 5-6, 4-6-7 и стержень 1-2), попарно соединенных двумя

связями. Поскольку точки пересечения стержней 1-3 и 2-5, 2-4 и

е

1-7 и узел 6 (полюсы взаимного вращения дисков) не лежат на од­

ной прямой, то ферма не является мгновенно изменяемой.

РФерму

невозможно рассчитать способом вырезания узлов без

Н

У

6 ,0 м_______________J ,_______________6 ,0 м

Б

Т

й

и

р

в)

о

F 12

т

и

з

о

п

1 X==1 X==1 2

е

г)

Р

бы система оставалась геометрически неизменяемой, в нее вводится дру­

гая связь. При удачном расположении этой связи новая система (ее назы­

вают заменяющей) получается более простой для расчета. Статическая

У

эквивалентность заданной и заменяющей систем будет наблюдаться то­

гда, когда X станет равным истинному усилию в выбранном стержне.

Т

В этом случае во введенной дополнительной связи реакция окажется

равной нулю. Равенство нулю усилия в дополнительной связи является

Н

условием для записиуравнения, из которого определяется усилие X .

Обратимся к примеру. В заданной ферме (рис. 2.11,а) выбросим

Б

за­

стержень 1-2 (связь первого вида), а его действие на узлы 1 и 2

меним силами X 1 . Дополнительную связь (опорную) введем в шес­

той узел. Полученная такими преобразованиями заменяющая сис­

й

тема приведена на рис. 2.11,б. Усилия в ее стержнях легко опреде­

ляются по способу вырезания узлов.

Выполняя ее расчет, воспользуемся пр нц пом независимости дей­

р

ствия сил. Найдем вначале усилия в стержнях при нагружении систе­

мы заданной внешней нагрузкой ( с. 2.11,в). Будем их обозначать

N - k F . Усилие в дополнительн й иопо ной связи -

R F (индекс 1

т

F указывает на причи­

означает номер дополни ельн й связи, индекс

ну, вызвавшую

. Для принятых на рис. 2.11,а размеров полу­

усилие)

чим R F = 0,4023F .

о

з

= 1 (рис. 2.11,г).

Рассчитаем

аменяющую систему на действие X 1

Усилия в стержнях будем обозначать N i-k 1. Усилие в дополни­

п

Гц (первый индекс, как и ранее, -

номер дополни­

тельной связи -

тельной связи; вт рой указывает на причину, вызвавшую усилие). В

е

рассматриваемомослучае Гц = 0,1380.

Р

Так как реакция дополнительной опоры равна нулю, то можно

записать уравнение:

r11X 1 + R1F = ^

(2.1)

из которого найдем X

R1F

1 = --------= -2,915F .

Г11

Если бы оказалось, что Гц = 0, то это было бы признаком того,

что заданная ферма является мгновенно изменяемой.

Последующий расчет фермы можно выполнить способом выре­

зания узлов, или, если известны все

N t- к р , N t- ^ \, усилия в

стержнях заданной фермы можно вычислить по формуле:

У

N i- к = N i- к,F + N i- к,1X 1.

Рассмотрим еще один пример. Многопролетная балка (рис. 2.12,а)

легко рассчитывается по способу простых сечений. Однако чтобы

Т

лучше понять суть метода замены связей, покажем ее расчет и этим

методом.

Удалим в заданной балке опорные связи в точках НB и D . Дей­

ствие их на балку заменим силами X i

и X 2 . Введем дополнитель­

Б

ные связи в точках A и C , то есть закроем шарниры. Полученная

этими преобразованиями заменяющая

стема показана на рис. 2.12,б

или, в более привычной форме изоб аженйя, на рис. 2.12,в.

Построим эпюры изгибающих моментов в заменяющей балке от

и

X i

нагружения ее заданной нагрузк й ( .

2

.12,г), единичной силой

(рис. 2.12,д) и единичной сил й X 2

. 2.12,е). Значения моментов в

(рис

дополнительных связях э их нагрузок показаны на рисунках.

о

a)

от

10 к И /м

2 ,0 к H

и

з

о

1-я дополн.

2-я дополн.

п

б)

2 ,0 к И

связь

1 0 к и /м

связь

е

2

Р

Рис. 2.12

У

Т

Н

Б

й

и

р

Продолжение рис. 2.12

з

Из условий стат ческойтэквивалентности заданной и заменяющей

балок следует,

ус л я (моменты) в первой и второй дополнитель­

что

Г11X 1 + Г12X 2 + R1F = 0; I

(2.2)

ных связях д лжныибыть равны нулю. Определяя их по принципу неза­

п

висим сти действия сил, получим следующую систему уравнений:

е

Г21X 1 + Г22X 2 + R2F = 0.J

Р

Запиш м уравнения в численном виде:

4X 1 + 9X 2 - 80 = 0;1

4X 2 - 10 = 0. J

Решая их, найдем X 1 = 2,5 кН, X 2 = 2,5

кН.

Эпюру моментов для заданной балки построим по выражению

= M р + 1X 1 + 2X 2 .

У

Она показана на рис. 2.12,ж.

Понятно, что в общем случае число удаляемых и дополнитель­

ных связей может быть большим.

Т

Запишем систему уравнений (2.2) в матричной форме:

Г11

Г12

X 1

R 1F

Н

+

= 0 или

L X +Rp = 0.

(2.3)

_Г21

Г22

X 2

R 2F

Б

Решение системы (2.3), записываемое в виде:

X = -L ~ 1Rf ,

(2.4)

и

L не

возможно лишь в том случае, когда определитель матрицы

Значит, равенство нулю

пределителя:

равен нулю:

о

й

Det L

ф 0.

з

Det L = 0,

служит при наком мгновеннойтизменяемости заданной системы.

о

и2.4. Кинематический метод

Кинематический метод основан на использовании принципа

возможных

еремещений, который позволяет получить необходи­

мые условия равновесия системы.

Возможнымип

перемещениями системы называют любую сово­

купность бесконечно малых перемещений точек системы, допус­

каемых ее связями. Возможные перемещения, в отличие от дейст­

вительных, не зависят от заданных внешних воздействий. Они оп­

Рределяются только типом самой системы и видом наложенных на