![](/user_photo/48748_65cIi.png)
![](/html/48748/963/html_CJGQptcDBh.Yyw8/htmlconvd-zUo__b401x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пространственную силу F можно разложить на три составляю щие: F x, Fy, Fz . Как видно из рисунка, составляющие F x, Fy ле
жат в плоскости рамы. Расчет рамы на действие этих двух сил ве дется как плоской системы. Основная система метода сил для этого загружения показана на рис. 14.16,б. Для расчета рамы на составУ ляющую Fz основная система показана на рис. 14.16,в. Эпюры уси
нений |
равны |
нулю. |
Следовательно, |
основные |
неизвестныеТ |
||||||||||
X j , X 2 , X 3 |
равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Построим эпюры изгибающих и крутящих моментовНв раме, |
||||||||||||||
показанной |
на рис. |
14.17,а. Жесткости |
стержней |
при изгибе и |
|||||||||||
кручении примем одинаковыми (EJy = GJKp = EJ). Основная сис |
|||||||||||||||
тема метода сил представлена на р |
|
|
|
Б |
|||||||||||
с. 14.17,б. При симметричном |
|||||||||||||||
нагружении неизвестные X1 |
и X2 , являющиеся кососимметрич |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
||
ными, равны нулю. Каноническое у авнен е метода сил для оп |
|||||||||||||||
ределения X3 (рис. 14.17,в) п иметвид: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х33 X 3 + А 3F = 0 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
Единичные и грузовые эпюры изгибающих и крутящих момен |
||||||||||||||
тов, совмещенные на |
|
о |
|
|
|
|
рис. 14.17,г и |
||||||||
одной схеме, показаны на |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
и свободный член А 3F : |
||||||
14.17,д. Вычисл м коэфф |
циент S 33 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х |
|
V |
r Mз3 y d x , v |
1 Г M 3 кр dx = |
|
|
|
|
4 a |
|||||
|
* 33 = y J — E JT |
|
+ y J |
GJKpk |
—(1a )1 + 2 — (1 a )1 = |
||||||||||
|
|
|
|
EJy |
|
|
E J |
|
|
E J |
E J |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
пM |
3y M |
Fy d x |
+ |
M 3кр M F k k |
dx = |
1 f 1 |
qa a 1 + |
||||||
е |
|
|
|
E Jy |
|
y j |
G J KpK |
|
E J 3 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
+ 2 — \ 1 q a 2a I 0 + 2 |
|
|
|
1= 7 q a 2 |
||||||||
|
|
|
E J I 2 |
|
|
j |
E J v 2 |
j |
6EJ |
лий от группы неизвестных X x, X 2, X 3и группы X 4, X 5, X 6 и
Fz взаимно ортогональны. Соответствующие побочные коэффи циенты при неизвестных и свободные члены канонических урав
402
![](/html/48748/963/html_CJGQptcDBh.Yyw8/htmlconvd-zUo__b403x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛ А В А 15
ОБЩ И Е УРАВН ЕН И Я СТРО И ТЕЛ ЬН О Й М ЕХАНИКИ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Б |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р |
й |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 15.1 |
|
|
|
|||
Для плоских ферм m |
число |
|
|
|
|
|
|
||||
равно удв енному числу узлов за вычетом |
|||||||||||
|
|
т |
неизвестных усилий |
n равно числу |
|||||||
числа опорных связей, а |
|
|
|||||||||
стержней. Используя введенные б значения, степень статической |
|||||||||||
|
и |
можно вычислить по выражению |
|
||||||||
неопределимости с с емы к |
|
||||||||||
з |
|
|
к = n - m . |
|
|
|
|
(15.1) |
|||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ранее, в главе 8, степень статической неопределимости системы обо значаласьпчерез Л (число лишних связей), в главе 9 степень кинемати
Рч р з , а степень кинематической неопределимости - через m . Ч р з n обозначается число неизвестных усилий.
ческойнео ределимости (она же и степень свободы) системы - через n . В этой главе степень статической неопределимости обозначена
Степень свободы узла конструкции определяет и размерность вектора перемещений этого узла. Суммарное число компонент век тора перемещений z всех узлов соответствует степени кинемати ческой неопределимости системы. Поэтому последнее соотношение
405
можно рассматривать как зависимость между степенью статической неопределимости к и степенью кинематической неопределимости m системы.
|
Так как любая точка, в которой стыкуются два и более стержней, |
||||||||||||
может быть объявлена узлом, то, следовательно, для одной и той же |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
системы, например рамы, можно принять несколько вариантов ее |
|||||||||||||
дискретной модели. Это значит, что степень свободы дискретной |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
модели, в общем случае, является переменной характеристикой. |
|||||||||||||
Однако и в этом случае соотношение (15.1) позволяет правильно |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
найти степень статической неопределимости системы, поскольку |
|||||||||||||
число неизвестных усилий в каждом дополнительном сечении сов |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
падает с числом независимых уравнений равновесия, которые мож |
|||||||||||||
но составить для узла, располагаемого в этом сечении. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
15.2. Нагрузки и перемещения |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ужение |
|
|
|
|
|
С целью упрощения вычислительных процедур рассматривается |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
расп |
|
|
|
||
расчет системы на узловые силовые возде ствия. |
|
|
|||||||||||
|
Приемы сведения расчета конст укцйс распределенной на |
||||||||||||
грузкой к расчету на |
узловое |
|
|
достаточно |
известны. |
||||||||
|
|
|
наг |
|
|||||||||
Суть преобразования св дится к следующему. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
ложенный между двумя смеж |
||||||
|
Вначале каждый элемен , |
|
|
||||||||||
зовать табл. 9.1. ривае |
ся как стержень с концевыми (опорны |
||||||||||||
ными узлами, рассма |
|
|
|
||||||||||
ми) связями, соотве с вующими виду узла (жесткий или шарнир |
|||||||||||||
|
|
з |
|
местную |
|
нагрузку, определим реакции |
|||||||
ный). Рассчитав |
его на |
|
|||||||||||
в опорных свя ях |
построим эпюры усилий в нем. Для определе |
||||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния реакций в п рных связях однопролетных балок можно исполь |
|||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем, загрузив узлы расчетной схемы силами, равными |
||||||||||||
по |
значению и |
противоположными по направлению |
реакциям |
||||||||||
в о |
орных связях для отдельных стержней, проведем расчет систе |
||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы на узловую нагрузку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Окончательные эпюры усилий получаются суммированием соответ |
||||||||||||
ествующих эпюр из расчета отдельных элементов и системы в целом. |
|
На рис. 15.2 показан (символически) переход от схемы с распре деленной нагрузкой к схеме с сосредоточенной нагрузкой.
406
у
3 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 / 6 к H / м |
|
|
|
Н |
|
|||
^Юк H |
|
1 10 к H |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Т |
||||||
р " |
^ т |
\ 111Г1111гттчк^ |
2 |
|
|
|
||||
|
|
^ 1 1111У |
|
|
|
|||||
|
|
^Чг~? l /12=10 к H• м |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Рис. 15.2 |
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i плоской систе |
||||
Внешние силы, действующие на жесткий узел |
||||||||||
мы, задаются вектором нагрузки в |
|
Б |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
F = Fix, Fiy , mi т |
|
|
|
|
|
где Fix, Fiy - составляющие внешнейвиде:нагрузки вдоль осей x и у ; |
||||||||||
|
mt |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
- сосредо оченныйрм мент в i -м узле. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Правило знаков для нагрузки:овнешние силы считаются положи |
||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
тельными, если х направления совпадают с направлениями соот |
||||||||||
ветствующих осей коорд нат; положительные моменты направля |
||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|||
ются пр тив х да часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полный вект р нагрузки образуется последовательной стыков |
||||||||||
кой со тветствующих векторов для каждого узла системы: |
|
|
||||||||
е |
|
|
|
F = F iT, F2T, F3T,...,F pT |
T |
|
|
|
||
Р |
|
p |
обозначается число узлов системы. |
|
|
|
|
|||
Ч р з |
|
|
|
|
Под действием нагрузки система занимает новое (деформиро ванное) положение. Узлы рамы испытывают в общем случае ли нейные и угловые перемещения.
Перемещение жесткого узла i характеризуется вектором:
407
|
|
|
|
|
|
\z i , |
zi |
|
T |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, <Pi |
|
|
|
|
|||||
шарнирного - вектором: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
У |
T |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
z j = |
Zj |
|
Zj |
|
|
|
|
|||
|
Полный вектор перемещений узлов представляется в виде: |
||||||||||||||
|
|
|
|
T |
- |
T |
- |
|
T |
T |
T |
|
|
||
|
|
|
|
z = Z1 |
|
, z2 |
, z3 |
,. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Вектор обобщенных перемещений должен соответствовать векто |
||||||||||||||
ру обобщенной нагрузки. Размерности векторов F и |
Z совпадают. |
||||||||||||||
Скалярное произведение этих векторов определяет работуНвнешних |
|||||||||||||||
сил. Такие векторы называют двойственными. |
Б |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
15.3. Усилия |
|
деформац и |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
В общем случае в сечении сте жня возн кают изгибающий мо |
||||||||||||||
мент М , поперечная сила Q и п одольная сила N . В совокупно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
сти они образуют вектор усилий в сечении: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
S = [M , Q, N ] T. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Компоненты этоговекторанеобходимо определить. |
|
|
|
|||||||||||
|
В частных случаях этот вектор может содержать две компонен |
||||||||||||||
ты, например: |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
з |
|
|
или |
|
S = [М, N ] T. |
|
|
|
|||||
|
|
|
S = [М, Q] T |
|
|
|
|
||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В рвом случае в число неизвестных не включается продольная |
||||||||||||||
сила,па во втором - поперечная сила. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исключается ситуация, когда неизвестным фактором в сече нии может быть только изгибающий момент. Тогда:
408
При действии на систему узловой нагрузки напряженное состояние i -го стержня можно характеризовать вектором:
|
|
|
S = [N i , M Hi, M K i , Qi ] T , |
|
|
||||||||
|
где N i |
- продольная сила в стержне; |
|
|
У |
||||||||
|
M H i - изгибающий момент в начале стержня; |
||||||||||||
|
M K i - изгибающий момент в конце стержня; |
|
|||||||||||
|
Qi |
- поперечная сила в стержне. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Так как непосредственно на стержень нагрузка не действует,Тто по |
||||||||||||
перечная сила по его длине не меняется и, как известно (8.17), вычис- |
|||||||||||||
ляется по формуле |
|
|
М к — н |
|
|
|
Н^ |
||||||
Q = ------- ------- . |
Поэтому, сохранив в |
St три |
|||||||||||
первые компоненты, запишем его в |
|
|
|
Б |
|
||||||||
|
|
|
|
|
S |
=[N i , M Hi, М K i ] T . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
Каждому виду усилий соответствует определенная деформация. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
виде: |
|
|
|
||
Продольная сила вызывает удлинение или укорочение элемента, |
|||||||||||||
изгибающие моменты - п в р ты сечений, поперечные силы - вза |
|||||||||||||
имные сдвиги сечений. |
|
р |
|
|
|
|
|||||||
|
Вектор деформац й Аог-, соответствующий вектору Si , будет |
||||||||||||
иметь вид: |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
и |
|
|
, A p K i ] T , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Аi |
= [Ali , A p H i |
|
|
|
|||||
|
где Ali |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- линейная деформация элемента; |
|
|
|
|||||||||
|
Аор H i , A p K i |
|
- |
углы поворота сечений в начале и в конце |
|||||||||
|
|
стержня относительно их положений, в котором узлы де |
|||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
формированной конструкции соединяются прямой линией. |
||||||||||||
|
|
S |
и деформаций A для всей системы, как и |
||||||||||
|
Векторы усилий |
||||||||||||
векторы F |
и Z , формируются последовательной стыковкой векто |
||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ров усилий и деформаций для отдельных стержней. |
|
|
409
Векторы S и A являются двойственными, их скалярное произ ведение дает работу внутренних сил.
Для пространственной системы вектор усилий в сечении являет ся, как правило, шестимерным.
15.4. Уравнения равновесия
|
Рассмотрим произвольную, например, статически неопределимую |
|||||||||||
раму (рис. 15.1,а), находящуюся в равновесии под действием задан |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
ной нагрузки. Соответствующая ей дискретная модель в виде сово |
||||||||||||
купности узлов и стержней показана на рис. 15.1,б. |
|
Т |
||||||||||
|
Составим уравнения равновесия для 2-го узла рамы: |
|||||||||||
|
|
|
X j = а —NK1 —QH2 + F2x |
|
|
Н |
|
|||||
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|||||
|
|
|
Е У = 0,QK1 —NH2 + F2у |
|
Б= 0, |
|
|
|||||
|
|
|
X M 2 = 0, —M K1 +M H2 + F2p = °. |
|
|
|
||||||
|
Записанные три уравнения |
|
|
й |
|
|
|
|||||
|
|
жат шесть неизвестных усилий. |
||||||||||
|
Рассмотрим равновесие сте жнейиамы. Каждый из них находится |
|||||||||||
под действием концевых усилий, п казанных на том же рисунке. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
Составляя три уравнения равн весия для первого стержня, получим: |
|||||||||||
|
Е x = 0, |
|
|
соде |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N H 1 = N K 1= N 1; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е у = 0 |
|
q H 1 = QK1 = Q1; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
Q1 = M k1 —M H 1. |
|||
|
X M H = з0, QK11+ M H 1—M K 1= 0, |
|||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Аналогичн^ге соотношения можно получить и для второго стерж |
|||||||||||
ня, топсть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
N H2 = N K2 = N 2, QH2 = QK2 = ^ |
|
Q2 = K2l -----. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
410