Добавил:

7Apostol iliya.0727@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

Строительная механика

Файл:

Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2020

Размер:

10.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 7652 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 > Следующая >>>

где /

базисны е ф ункции для оп ределен и я п родольн ы х

п ерем ещ ен и й сечен и й стер ж н я;

/ 2 ,

/ 5 ,

/ 6 -

ф ун кц и и , оп ределяю щ и е

п рогибы

стерж н я (та б л .

16.1).

П осле н ео б х о ди м ы х п реобразован и й п о л у чи м :

э ( z ;, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6) =

1 Г

Т7

т f

E J ' Z22 1 2 + Z32 4 + Z52 1 2 + Z624 + 2 Z

2z ' 6

2 V 2 13

3 1

5 13

6 1

2 3 12

—2 z 2Z 5 - + 2 Z2 Z6 —2 Z3 z5 - + 2 Z3z 6- -

(I6.40)

—2 Z5 Z6P J + E A (z;2 —2z ;z 4 + z 42 )—

—я ( х ) № / 2

+ z; /

+ z ; / s + Z6 /

)]dr.

В этом

вы раж ен и и полн ая эн е я п

едставлен а ф ун кц и ей ш ес

ти н езави си м ы х перем енны х.

ги

И нтегралы вида

) № х

т0

даю т значения

балки при

рны х реакци й защ ем ленной по концам

нагруж ении еезраспределенной нагрузкой

д ( х ) . Ч тобы доказать это

утверж дение, рассм отрим

одну

и ту ж е балку (рис.

16.13) в двух со

балка нагруж ена распределенной нагрузкой

стояниях: в состоянии

д ( х ) , в состоянии

левы й конец балки см ещ ен на

Z 2 = 1. Н апом

ним, что полож ительны е направления реакци й соответствую т полож и

тельным направлениям перемещ ений.

511

а)

q(х )

U a

U i

б)

(х

Рис. 16.13

Возможная работа сил

состояния

a на

перемещениях со

стояния б равна:

W„6 = RA -1 —J q(*)

1—-

- + - 13

d х .

Работа сил состояния б на пе

состояния a равна нулю:

емещениях

^ба = 0.

На основании теоремы о взаимности работ (7.4):

^ аб = ^ ба .

След вательн ,

(

1 —-

3х2

2х3 ^

d х .

R A

= J q (х )

■+ ■

При вычислении M A за вспомогательное состояние примем пока

занное в табл. 16.1 (см. раздел 2). Определив возможную работу сил одного состояния на перемещениях другого (в прямом и обратном на правлениях), на основании теоремы о взаимности работ получим:

512

M A = J q (^ )

х —	d х .
1	' + 12

А н алоги чн ы м и вы чи слен и ям и находим :				У
1,	( 3 х 2	2 х	d х ,

R B = J q W
	12	13

(

х 2

d х .

M B = —J q (х )

+ 75

Заметим, что при действии н а стерж ень нагрузки иного вида (сосре

доточенных сил,

м ом ентов или др .)

м огут

опорны е р еак ц и и такж е

вы чи сляться с пом ощ ью теорем ы о взаи м н ости работ.

Н еобходи м ы м и у сл о ви ям и м и н и м ум а ф ун кц и и (16.40) ш ести п е

р ем ен н ы х являю тся:

д Э

i = 1 ,6 .

= 0 .

ez:

(16.40), получим систем у уравн ен и й ,

П ри м ен яя их к вы раж ен и ю

связы ваю щ и х концевы е п ерем ещ ен и я и реакции:

и0

1 Z1

12EJ

6EJ

12EJ

6EJ

-RA

z 5

Z 6

13 z

2EJ

6EJ

4EJ

_ 6 E J z 5

= M .

1 z 3

E A Z,

~ Z 4

' T Z;

12EJ z ,

6EJ

е0

12EJ

z 5

-----~— Z '

z 3

— 2 z 6

‘

6EJ z ,

2EJ

6EJ 7 ,

4EJ

T Z2

1 z 3

z 5

1 z 6

B -

513

В матричной форме записи система имеет вид:

R ' Z ' = F ',

где R '

м атри ц а ж естко сти стерж н я (16.25);

Z ' =

[Z1 , Z 2 , Z 3, Z 4 , Z 5, Z 6 ]Т -

вектор узловых перемещений;

F ’ = [0, Z A , M A , 0 , RB , - M B ]T

- вектор у зл о вы х сил.

Е щ е оди н

способ

реш ен и я

это й ж е зад ачи осн овы вается н а о б

щ и х у р авн ен и ях строи тельн ой м еханики . У чи ты вая и сходны е п р ед

посы лки, зап и ш ем м атрицу р авн овеси я стерж н я в виде:

c o s p

СЛ

s i n p

c o s p

-1

a =

йsin p

S .

c o s p

СЛ

c o s p

s i n p

Т огда п р и

p = 0 получ м :

E A

-1

з0

~ T

-------

—

-1

4 E I

- 2 E I

Z = a k a T =

- 2 E I

4 E I

—

514

-1

~ Г

12E J

6 E J

12E J

6 E J

Н12

6 E J

4 E J

6 E J

2 E J

- E A

р0

12E J

6 E J

~ Tй

6 E J

12E J

6 E J

2 E J

6 E J

4 E J

ш арнирно

пертыатрицм м

а ж есткости будет им еть р азм еры 5 х 5 ,

Р азм еры

м атр

цы тR ' зави сят

от усл о ви й

закреп лен и я

концов

стерж ня. Д ля стерж н я с одним защ ем лен н ы м

концом , а вторы м -

для

опи ран и ем н а

левом и

правом

кон ц ах

стерж н я зс ш арн и рн ы м

м атри ц а R '

и м еет разм еры

4 х 4 .

i и j

, м ож но

М атрицуож естко сти стерж ня, соеди н яю щ его у зл ы

дстави ть в блочн ой ф орм е записи:

пр

R'ii

Rij

R ' =

R j

R jj

515

Р азм еры блоков зави сят о т чи сл а связей, н алож ен н ы х н а стер

ж ен ь в каж дом узле. Д ля стерж ня, ш арнирно закреп лен н ого в узл е i

и ж естко защ ем лен н ого в у зле j , разм еры м атрицы и ее блоков бу

д у т следую щ им и:

R j

(22х )

Rji

Rj(5х5)

У(2х3)

R'n

R'jj (3х3)

j (3х 2)

Е сли оба кон ц а стерж н я являю тся ш арнирно закреп лен н ы м и , то:

R j

(2х2)

Rj,-

Rj(4х 4)

У(2х 2)

ji (2х2)

(2 2)

16.12. Матрица жесткости стержня в

системе координат

общей

П рощ е

всего о н а п

пом ощ ью

общ и х

у равн ен и й

строи тельн ой м ехан и ки по вы

аж ениюи:

= a k a T ,

где a -

м атр

олучается

ца равновесия стерж ня в общ ей системе координат.

В др у ги х

случаях, когда

н еобходи м о

орган и зовать

п ереход

от

м атрицы ж естк

в м естн ой систем е коорди н ат к м атрице ж ест

сти

кости в

бщ ей

систем е координат,

н еобходи м о восп ользоваться

п рави лам и

ли н ей н ого

оп ератора при

п е

ре

бразован и й м атрицы

о т

бази са к новом у.

старого

Л ин йны е

ерем ещ ен и я в м естн ой и о бщ ей си стем ах коорди н ат

(рис.п16.14) связаны соотнош ениям и:

реходе

Z1 = Z 1 co s — +

Z 2 s i n —,

Z 2 = - Z 1 sin —+ Z 2

cos —.

516

У гл ы п о в о р о та то р ц е в ы х се ч е н и й стер ж н я п р и зам ен е си стем ы

к о о р д и н ат

не м ен яю тся . П о это м у м атр и ц а

о п ер а то р а врТащ ен и я

и м еет вид:

co s —

sin

—

C = -

s in

—

co s

—

х концах стерж ня совпа

Так как направления перемещ ен

й на обо

даю т, то с пом ощ ью этой ж е мат ицы соверш аю тся преобразования и

перемещ ений Z4

, Z5 и Z 6

в Z 4 , Z 5 и Z 6 . Следовательно,

(16.41)

Z ' =оZ = V Z .

V T , то Z = V T Z ' .

Т ак как

1 =

ван и е м атри ц ы ж естко сти (м атрицы ли н ей н ого оп ера

П ре

бра

тора)

ри

ерех де к базису

вы п олн яется по вы раж ению :

R = V T R ' V .

дальн ей ш и х рассуж ден и й

м атрицу

такж е п редстави м в

Д ля

блочн ой форме:

R =

R ii

R ij

R ji

R л

517

16.13. Формирование матрицы жесткости всей системы

Конечно-элем ентная м одель стерж невой системы , как уж е было отмечено ранее, представляется в виде совокупности стерж ней, соеди

ненны х в узлах. Смещ ение узл а системы вы зы вает такие ж е смещ ения концов стерж ней (конечны х элементов), прим ы каю щ их к этом у узлу. В озн икаю щ и е вследствие этого у си л и я в стерж н ях осн овн ой си сте

м ы м етода п ерем ещ ен и й определяю тся с п ом ощ ью

м атрицы ж ест

кости

стерж ня.

Р еакц и и

связях,

н алож ен н ы х

н а

у зел

систем ы ,

м ож но н ай ти как сум м у кон ц евы х реакц и й в связях стерж н ей , пУр и

м ы каю щ и х к узлу. Н априм ер, реакти вн ое у си ли е в связи по н ап рав

лению

о си

будет

равно

сум м е р еакти вн ы х

у си л и й

в связях

стерж н ей

по

том у

ж е

направлению . А н алоги чн о определяю тся и

реакц и и по други м направлениям .

В общ ем

случае

вектор

су м м арн ы х реакц и

R i

дл я

i -го

у зла

”

^ (e)

си стем ы м ож но

оп редели ть

через

вектор кон ц евы х

реакц и й

в элем ен тах, п ри м ы каю щ и х к этом у узлу, по вы раж ению :

1 r f >

= Z

z ,

+и1 # > Z 2 + •••+

eEi

(16 42)

4 *

I !

+ 1

Z ,,,

Z j

+... +

eEi

где

^ (e)

т^ (e)

r l

Г 2

, • ••, r i,

векторы реакци й на конце элем ента e ,

ы каю щ его к

узлу

i , вы зы ваем ы е п ерем ещ е

прим

Z 2 = l , - - - ,

Z n = 1.

e e i

н иям и

Z ,

= 1 ,

С им вол

сум м и рован и е

по

всем элем ен там ,

п р и

зн ачает

ом ы каю щ и м к у зл у

i .

вектор

R i

и м еет

три ком поненты : первая

Д ля

сткого у зл а

ком п он ен та

вектора у к азы вает на зн ачен ие реакти вн ого у си л и я по

, вторая -

по нап равлен и ю о си

Y , тр етья дает

нап равлен и ю о си X

зн ачен ие реакти вн ого м ом ента.

518

В случае, если все стерж н и соеди н яю тся в у зл ах ж естко, векторы

r , , г,2 , • • •, r,n

такж е сод ерж ат

тр и

ком поненты .

Е сли

какой -то

стерж ень

п ри м ы кает к узл у

ш арнирно, то дл я

осущ ествлен и я о п е

рац и и

слож ен и я

векторов в

i -м

узл е

третью

ком поненту

вектора

к он ц евы х реакц и й следует п ринять р авн ой нулю .

Записав вы раж ен и е (16.42) дл я каж дого у зл а конструкции, п р ед

ставим систем у уравн ен и й , связы ваю щ ую узловы е реакц и и и п ер е

м ещ ения, в виде:

Z r , (ie)

Z r , 2

Z ,

eEl

R i

Z r 1 e)

Z r ?

Z r

(e)

ri(e)

L-t'Нi)n Z i

eEi

e i

eEi

r (e)

R m

r (e)

—

(e)

Z m

Z-t

Z^-i

Z-i t

Z rmn

eEm

или сокращ енно:

R z = R Z

где

- м атри ц а жесткости всей систем ы .

И з

м атри ц ы

следует, что ее

п р едставлен н ой ф орм ы зап и си

элем ен ты вы зчи сляю тся через элем ен ты

м атри ц ж есткостей отд ел ь

н ы х к

н ечны х элем ентов. Е сли у зл ы

и j не соеди н яю тся м еж ду

соб ой

он и

соеди н яю тся нескольки м и

эл

м ен там и , то г,, = 0 ; если

эл мпн там и , то

соответствую щ и й

эл ем ен т м атри ц ы

ж естко сти вы -

чи

как

X"''

(e)

r j .

сляется

eEh j

В блочн ой ф орм е зап и си м атри ц а

представляется в виде:

519

"R 11

R = R n

1R	1nR
Ri2	• ' R in

Rnк

R nn _

где

Rij

блок реак ц и й в связях

i -го узла, вы зы ваем ы х ед и н и ч

н ы м и см ещ ен и ям и связей

j -го узла.

В сф ормированной по указанном у принципу м атрице ж есткости R

всей си стем ы

не будут у чтен ы

опорны е закрепления. П о направле

нию неподатливы х закреплений перем ещ ения равны нулю . П оэтом у,

если заранее

известно,

что Z j

= 0 ,

то из полученной м атрицы

следует вы черкнуть

-ю

строку

ати

м атрицы

j -

столбец. Р азм ер

при этом

ум еньш ается. В

зи рован н ы х вы чи слен и й

случае автом

п отребуется такж е вы полнить н овую нум ерац

ю неизвестны х. Е сли

разм еры м атрицы R

то

н еобходим о указан н ы е строку и

не м енять,

естко

п ринять равны м

столбец п ринять нулевы м и, а эл ем ен т м атрицы

единице или другом у

слу, кр

м е нуля (чтобы

d e t R Ф0 ).

чи

П окаж ем граф ческую схем у ф орм и рован и я м атрицы ж есткости

си стем ы

из

стей

ее

элем ентов. В

рам е

(рис.

15.20)

м атри ц

и м ею тся 4

стерж н я

(элем ента), чи сло узл о в -

5, в том

чи сле

о п о р

н ы х -

сло

3. В у

ле 2 второй и тр ети й стерж н и соеди н яю тся ж естко, а

п ервы й стерж ень п ри м ы кает к нем у ш арнирно.

О бщ ее чи

степ ен ей свободы 2-го и 4-го у злов равно 5, сл ед о

вательно,

м атри ц а ж есткости рам ы и м еет разм еры

5 х 5 . И л лю стр а

ц ия к ф орм ированию м атри ц ы ж естко сти п о казан а н а рис. 16.15.

Блок R 22)

матрицы

ж есткости

первого

элемента им еет

размеры

2 х 2

(узел 2 этого стерж н я является ш арнирны м ). Ч тобы операция

слож ен и я м атри ц в блоке

R 22 оказалась возм ож ной, блок

R (12)

н е

Робходи м о

расш ирить

до

разм еров

3 х 3

п осредством

введения

третьей (нулевой) строки и третьего (нулевого) столбца.

520

<<< < Предыдущая 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 7652 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 > Следующая >>>