Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

FD = R Z .

(20.1)

Подставив в формулу (20.1) выражение вектора динамических

сил FD

(18.15) всоставе динамических нагрузокF (t), сил

инер­У

ции J (t) = - M Z и сил сопротивления Ф ^) = - H Z

,получим

в век­

Т

торно-матричной форме дифференциальные уравнения движения

системы с несколькими степенями свободы. Точнее говоря, с про­

извольным конечным числом степеней свободы:

Н

M Z + H Z + R Z = F (t).

Б

(20.2)

Напомним, что в уравнении (20.2) элементый

матрицы внешней

жесткости R выражают собой ед н чные реакции в воображаемых

дополнительных связях, п ставленныхив направлении каждой ди­

намической степени своб ды. Так, элемент

есть реакция в связи

номер i

от смещения

р

н мер к на единицу. С другой стороны,

матрица жесткости R

орассматриваться и как матрица внеш­

ней жесткости по направлению всех возможных перемещений узлов

может

дискретной деформ руемой системы. В таком случае матрица масс М

и матрица к эффициентов демпфирования Н могут содержать ну­

связи

з

это

левые элементы. Матрица внешней жесткости, входящая во все ви­

ды уравнений движения, во всех случаях должна быть невырож­

иначе

будет свидетельствовать о геометрической изме­

ня мости рассматриваемой деформируемой системы.

Впслучае отсутствия динамических нагрузок, когда

денной,

F (t) = 0,

Рсистема дифференциальных уравнений движения (20.2) прини­

M Z + H Z + R Z = 0

(20.3)

Если в (20.3) пренебречь силами сопротивления, то получим

У

Т

рованные, незатухающие свободные колебания дискретной дефор­

мируемой системы:

Н

M Z + R Z = 0 .

(20.4)

Б

Если деформируемая система являетсяйотносительно простой,

так что составление матрицы внешней податливости приводит к

меньшим вычислительным зат атам,ичем составление матрицы

внешней жесткости, то уравнения движения можно преобразовать к

р

виду, непосредственно с держащему матрицу внешней податливо­

сти. Так, умножая

ему уравнений свободных колебаний (20.4)

слева на матрицу R

о

1 = D , преобразуем ее к виду:

т

сис

DMZ + Z = 0,

(20.6)

з

где D - матрица внешней податливости, которая может быть вы­

числена независимо от матрицы внешней жесткости R .

о

Эл м нты матрицы внешней податливости D = \5к ] представ­

п

ляют собой единичные перемещения в деформируемой системе. Эле­

мент8к есть перемещение по направлению единичной силы номер i

(то есть по направлению степени свободы номер

i ), вызванное еди­

Р

DMZ + Z = D F(t) .

(20.7)

У

Общие уравнения движения с учетом сил сопротивления (20.2),

Т

выраженные через матрицу внешней податливости, примут вид:

DMZ + DHZ + Z = D F (t).

(20.8)

Уравнения движения (20.2)-(20.5), выраженные через матрицу

внешней жесткости, носят название уравнений движения в прямой

форме. Уравнения движения вида (20.6)-(20.8), выраженныеНчерез

матрицу внешней податливости, носят название уравнений движе­

ния в обратной форме.

Б

К полученным системам дифференц альных уравнений движе­

ния с целью установления особенностей конкретного движения не­

обходимо добавить начальные услов я:

й

при t = t0 ,

Z = a,

и

(20.9)

Z = b ,

р

где a - вектор конс ан , с

ветствующих начальным отклонениям;

b

о

- вектор конс ан , соответствующих начальным скоро­

т

стям у лов деформируемой системы.

Таким

бра

и

м, для дифференциальных уравнений движения бу­

дет сф рмулирзвана задача Коши, задача с начальными условиями.

Решение задач К ши для некоторых видов уравнений движения

можно найтиов аналитической форме в справочниках по дифферен­

циальным уравнениям. Для более сложных случаев решение урав­

п

н ний движения можно получить только численными методами.

Самыеобщие численные методы решения задачи Коши для обык­

новенных дифференциальных уравнений рассматриваются в курсах

по методам вычислений. Некоторые специальные численные мето­

Рды, приспособленные для решения задач

динамики сооружений,

альных

уравнений

свободных незатухающих колебаний

обычно

Т

ищут как сумму частных решений. Частные решения описывают

одночастотные колебания деформируемой системы, когда все узлы

Н

колеблются по одному и тому же гармоническому закону с некото­У

рой общей частотой и общей фазой, но с разными амплитудами:

Z (t) = X sin (at + n ),

(20.10)

где

X

й

- вектор амплитудных значений динамических переме­

щений (вектор амплитуд);

Б

ными, нормальными, или главными.колебания

ю

- круговая частота одночастотного колебания;

П - начальная фаза.

по

называют собствен­

Такие одночастотные свободные

т

Найдем вторые произв дныервремени от перемещений (20.10):

и

= -а>2 X sin(at + п).

(20.11)

Z(t)

Подставив(20.10)

(20.11) в матричное уравнениедвижения в

о

систему

прямой ф рме (20.4) разделив на sin(a t + rj) , получим

п

однор дных залгебраических уравнений относительно вектора ам­

плитуд X :

е

(R - ю 2M )X = 0.

(20.12)

Р

D et (R - ю 2M ) = 0.

(20.13)

ских уравнений относительно тех же амплитуд X

:

Н

У

(D M - A E )X

= 0,

Б

Т(20.14)

с характеристическим (частотным) уравнением вида:

й

(20.15)

D et(D M - A E ) = 0,

где

и

р

A = 1/ю 2 .

о

Следовательно, и система одно одных алгебраических урав­

нений (20.14) будет

иметь

ешение

X Ф0 при удов­

ненулевое

летворении частотного уравнения (20.15), эквивалентного урав­

нению (20.13).

и

дискретной деформ руемой системы с конечным числом степеней

свободы, описываемых д фференциальными уравнениями движе­

ния в прям й ф рме (20.4), свелась к полной обобщенной проблеме

собственныхзначений (20.12) для двух симметричных матриц. Од­

на из двух матриц, матрица внешней жесткости R , заведомо поло­

о

жит льно о ределена. Вторая матрица, матрица масс М в самом

общ м случае может быть и неотрицательно определенной, если ряд

п

узловых масс отсутствует, и соответствующие узловые перемещения

ерассматриваются как безынерционные. Если в расчете учтены только

динамические степени свободы, или массы присутствуют по направ­

лениям всех возможных перемещений, то и матрица масс также бу­

Р

небольшое количество меньших собственных значений (собствен­

ных частот) и соответствующих собственных векторов (собствен­

собственных частот никак не т ажается на результатах динамиче­

ского расчета.

р

Если исходить

дифференциальных уравнений движения в об­

ратной форме (20.6),

о задачаосвободных незатухающих колеба­

ниях дискретной с

сводится к полной проблеме собственных

стемы

значений (20.14) для некоторой квадратной матрицы общего вида:

из

A = D M .

з

Матрица A , равная произведению двух симметричных матриц, в

о

общ м случае не является симметричной. Так как матрица внешней по­

датливости D заведомо невырожденная, а матрица масс M может

п

быть отрицательной, то количество возможных нулевых собст­

венных значений A матрицы А и соответственно количество воз­

можных бесконечно больших собственных частот ю равно дефекту

Р

^ T

гой собственной формы X i

при Ю k Ф ю ^, то получим равенство

двух скаляров:

X TRX k = ю

кX2

TM X k .

У

Т

Если подстановку и умножение провести в обратной последова­

тельности, то получим аналогичное скалярное равенство:

X T R X i = ю 2X T M X i .

Н

Б

Вычитая полученные равенства одно из другого и учитывая, что

в силу симметричности матриц M и R :

й

X I R X i = x f R X k ;X I M X i = x Tm X k ,

а собственные

частоты

и

различны,

разность их квадратов не

равна нулю:

р

соо

k Ф

0 ,

2 - m

и можно получить

равенства

(20.16) и (20.17)

Следует отметить, ч

даже если две собственные частоты сов­

и

ветствующие им собственные формы

падают по значению,

о

все равно можно подч н

ь условиям взаимной ортогональности.

Примером может служ ть пространственный стержень кольцевого

ств нныйвзаимновектор (i = k ), то вместо нулевогорезультата

получим

поперечного сечен я, собственные формы колебаний которого в

двух

перпендикулярных

плоскостях ортогональны, хотя

п

соответствующиезсобственные частоты совпадают.

Если в ф рмулы (20.16) и (20.17) подставить одини тот же соб­

е

формулы для вычисления обобщенных масс и соответствующих

Р

X k :

обобщ нных жесткостей, отвечающих собственной форме

X lk)M X (k) = mkk ,

(2° .18)

X lk)R X (k) = 4k .

(2° .19)

а квадраты собственных частот в виде диагональной матрицы

У

Ю1

Т

Н

Б

можно систему однородных уравнений (20.12) представить в обоб­

щенном виде:

й

(20.20)

и

R X = M XQ 2 .

р

Кроме того, с учетом зависимостей (20.16)—(20.19) можно полу­

чить формулы для вычисления д агональных матриц обобщенных

о

масс и обобщенных жесткостей:

т

Мц

M =

= X TM X ;

(20.21)

з

о

и

= X

R X .

(20.22)

е

R =

Умножив систему однородных уравнений (20.20) слева на

транспонированнуюп

матрицу собственных векторов X T , получим

соотнош ния между собственными частотами, обобщенными жест­

костями и обобщенными массами:

Р

X TR X = X TM X Q 2,

или

R = M& 2 ,

(20.23)

rii = mii®i (i = 1>2,...,n) .

(20.24)

При произвольных начальных условиях свободные колебания дис­

Т

Z (t) = £ [ X t sin(^jt + rfi)] ui .

(20.25)

i=1

Н

Подставив в (20.25) начальное время tg = 0 Би начальные откло­

нения из (20.9), получим:

й

a = £ [%i sin(n )] ui = £ X tyi =

,

(2026)

i=1

и

i=1

р

где Y - вектор новых переменных, компоненты которого равны:

о

(20 27)

yi = ui sin(n ) .

т

Чтобы найти векториY , не обязательно решать систему совместных

уравнений (20.26)з. Достаточно умножить ее слева на X

R

и получить

систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов (матрицей

п

x TR X Y = X

TR a , или R Y = X TR a .

(20.28)

е

С учетом зависимости (20.21) матричное уравнение (20.26) или

(20.28) можно выразить и через матрицы масс:

Р