Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

относительно одного из параметров v , принимаемого за основное

неизвестное, через которое выражаются все остальные параметры в

Н

соответствии с формулами (25.1). С точки зрения устойчивости Усо­

оружений, интерес

представляет только наименьший из положи­

Б

тельных корней уравнения критического равновесия, соответст­Т

вующий наименьшей критической нагрузке.

Устойчивым состояниям равновесия отвечают нулевые решения

мгновенной

однородных канонических уравнений метода перемещений. Одна­

ко, критерием глобальной устойчивости сооружения является по­

и

жесткости де­

ложительная определенность матрицы

формированной системы, т.е. матр цы ед н

чных реакций:

р

R (v )> 0 .

точно составить

мгновенной жесткости и провести анализ ее

т

2. Проверить по формулам Эйлера местную устойчивость всех

элементов дискретной модели при неподвижных узлах, то есть ус­

Н

3. Если устойчивость ОСМП обеспечена, то необходимо составить

Б

матрицу мгновенной жесткости всего сооружения в деформированномТ

состоянии с учетом найденных внутренних сил. Все главные диаго­

ной жесткости в деформированном состоянии должны быть положи­

тельны. Наличие отрицательных или нулевых элементов на главной

диагонали свидетельствует о местной неусто чивости соответст­

вующих фрагментов деформируемой с стемы в исследуемом со­

стоянии равновесия.

й

4. Если главные диагональные элементы матрицы мгновенной

о

жесткости сооружения в деф ми иванном состоянии положитель­

ны, то выполняется разл жение мат ицы мгновенной жесткости на

множители методом квадра ныхрнейк

или по методу Гаусса (про­

элементы п л жительны, и среди них нет близких к нулю, то при

водится прямой ход).

нагрузке

ются знаки элементов,трасположенных на главных диагоналях со­

о

множителей матр цы мгновенной жесткости. Если все диагональные

заданн й

равновесие сооружения устойчиво. Если среди

диагональных элементов есть близкие к нулю, то данный уровень

нагрузки и воздействий близок к критическому. Если разложение

матрицы

рервано из-за появления нулевого ведущего элемента, то

Р

равновпсие является критическим. Если среди диагональных эле­

м нтов

сть хотя бы один отрицательный, то равновесие при дан­

еном уровне внешних воздействий неустойчиво.

20,19E J

4 n 22E J

У

h

:

N 23

=

2

h

Т

откуда следуют соответствующие Эйлеровы критические значения

распределенной нагрузки,

отвечающие

критическим состояниям

Н

сжатых стержней основной системы метода перемещений:

q1 =

8 N f

53,84EJ

q2

8N:

6316EJ

3L

L h 2

10L

L h

й

При снятой дополнительной связи с ростом распределенной на­

и

грузки левая сжатая стойка и правая Т-образная частьБрамы будут де­

формироваться независимо друг от друга. Левая сжатая стойка будет

р

терять устойчивость по Эйлеру как стержень на несмещаемых опорах.

Соответствующая критическая наг узка q1 уже найдена.

роим

Найдем критическое значение наг узки из условия потери гло­

т

бальной устойчивости прав й, Т- бразной частью рамы. Повернем

в основной системе ме да перемещений дополнительную заделку

и

«единичную» эпюру изгибающих

на единичный угол

пос

з

моментов (рис. 25.3).

о

п

е

Р

Рис. 25.3

r11 = 3i3 + 3i4 + 4i2p2(v2) = 24 + 16^2(v2) = 0 .

Из полученного уравнения критического состояния найдем:

p2(v2) = -2 4 /1 6 = -1,5.

Т

Н

По найденному значению специальной функции Р2

(^2)

с помо­У

= 5,52

Б

(округление произведено в меньшую сторону, в запас устойчивости).

Соответствующее критическое значение продольной сжимающей

силы в правой стойке равно:

й

Ncr = v2 2EJ

N

=

~

'

р

аспределенной нагрузки, от­

откуда следует критическое значен

е

вечающей критическому равн весиюиТ-образной части рамы:

т

48,75EJ

„c r

8N2r

oiv2

и

q2

о10L

Lh2

Наименьшее кр т ческое значение распределенной нагрузки равно:

о

cr 48,75EJ

п

cr

Э

Э cr

ние

зqmm = min(q1;q2 ; q2 ) = q2 = ~ Y h ^ -

Р

Таким образом, с ростом равномерно распределенной нагрузки

Det[R(v)] = 0 , или символически ^ (v ) = 0.

Т

Для решения таких уравнений общего вида применяют численные

методы, требующие только вычисления их левых частей, в данном

случае вычисления значения определителя.

Н

Кроме того, проверка устойчивости сооружения в конкретном

Б

деформированном состоянии равновесия может быть осуществлена

качественным методом без выч слен я определителя матрицы

мгновенной жесткости. При этом основныейвычислительные затра­

ты будут обусловлены только

м ован ем матрицы мгновенной

и

жесткости и приведением ее к т еугольному виду (разложением на

треугольные множители).

р

Разумеется, весь

следует вести на основе компьютерных

технологий, пр меняя д

скре ные расчетные схемы, численные ме­

фо

расчет

и

можныеоснованнуюеремещения узлов, по направлению которых дополни­

вость,

на общих уравнениях строительной механики.

При с ставлении уравнений равновесия дополнительные узловые

п

нагрузки

ризисследовании устойчивости равновесия не приклады­

ваются, а т лько подразумеваются. Но рассматриваются все воз­

кие

Р

Н

Если в результате исследования будет доказано, что матрицаУ

мгновенной жесткости системы в деформированном состоянии по­

Б

ложительно определена, то исследуемое деформированноеТсостоя­

ние равновесия устойчиво.

Правило знаков для узловых перемещений и внутренних сил

которой

может быть принято таким же, как и при статическом расчете, т. е.

обычным для сопротивления материалов и строительной механики.

Положительная поперечная сила направлена вправо, если смотреть

на нее с середины той части

стержня,

эта поперечная сила

к

приложена.

Положительные

изг бающ е моменты растягивают

го

ижня. Для наклонных и верти­

нижние волокна горизонтальн

т

кальных стержней правило знак в сох аняется, но для определен­

ности следует выбра ь направление наблюдения так, чтобы начало

и

стержня (узел в начале с ержня) было расположено слева от на­

блюдателя,

а конец с ержня (узел на конце стержня) - справа от

наблюдателя. Во бежан е путаницы, точку наблюдения рекомен­

дуется выбирать так, чтобы левый узел стержня имел меньший но­

мер по сравнению с правым.

п

зтличие расчета стержневых систем на устойчивость с

Главн е

применением бщих уравнений строительной механики состоит в

е

назнач ниионезависимых компонент вектора приращений стержне­

Р

вых внутренних сил ASj и соответствующего вектора приращений

деформаций Л j .

ассмотрим центрально растянутый силой N

(сжатый при N < 0 )

У

Т

Н

Рис. 25.4

Б

Предположим, что под действ

ем дополнительных достаточно

малых сил и моментов

й

Д N , Q, M n, M %

стержень изогнулся и пе­

решел

в

новое

положение

авновесия

(рис.

25.4,б), где

ДЬ, Дм, pn, Pk - также д

малые абсолютные деформации

р

удлинения и сдвига (перек са) стержня и углы поворота его концов.

Два уравнения равновес

в виде сумм проекций на оси координат,

чно

очевидно, удовлетворяю ся. Составим третье уравнение равновесия

стат

в виде суммы моментов относительно нижнего конца стержня в де­

формированном состоянии (рис. 25.4,б):

зM n —M k + Q(L + ДЬ) —(N + Ш )Дм = 0.

(25.3)

Пр н обрегая в уравнении (25.3) произведениями QAL

и AN^Дм

как в личинами второго порядка малости, разрешим его относи­

п

т льно сдвигающего усилия Q :

е

Р

M% —M n

N M% —M n

N .

Q =

L

n + L

Дм =L

n + L

(Mk —Mn).

(25 4)

L

L

У

То есть от тангенса угла между первоначальной осью стержня и его

хордой в деформированном состоянии:

Н

Б

Таким образом, в уравнения равновесия вошли неизвестныеТпе­

ремещения

концов

стержня. Продольная

сила N исходного

со­

стояния, отнесенная к длине стержня, выступает в роли коэффици­

й

ента при неизвестном перекосе стержня, другими словами, при раз­

ности поперечных перемещений концов стержня. Полные углы по­

ворота pn

и

M k

и р % концов стержня и концевые моменты M n и

также зависят от перекоса стержня , следовательно, от продольной

силы исходного состояния. Сп аведл во

обратное утверждение.

момен

Если на концы прямолинейного

астянутого (сжатого) стержня на­

ложить связи и придать им малые конечные перемещения, так что­

сеть

бы он получил деформации

pрn, %, Дм , то возникшие в наложен­

вании

ы

M n и M k и реактивная попереч­

ных связях реактивные

ная сила Q

зав

как от полученных деформаций, так и от

будут

начального продольного ус

лия N .

его

зависимости (25.4) для изгибаемого растяну­

Итак, на

сн

п

того стержня с двумя жесткими узлами (рис. 25.5) из шести дейст­

вующих

к нцам приращений усилий (приращений реакций)

качестве

независимых следует оставить четыре. Следовательно,

в

в ктор н зависимых приращений усилий примет вид:

Р

(25.5)

У

Рис. 25.5

Т

Вектор приращений деформаций Л j

Н

, соответствующий вектору

Б

приращений усилий A S j , примет вид (рис. 25.6):

Л

й

(25.6)

= [AL (pn <Pk

Au].

В дальнейшем приращения ус л

пр ращения деформаций,

р

если это не исказит смысла, будем называть просто усилиями и де­

формациями.

оре

Если стержень рамы

дним к нц им к епится к узлу шарнирно, то в

мент

авен нулю, и в векторе усилий (25.5)

шарнире изгибающий м

соответствующий изгибающий м мент должен быть вычеркнут.

и

деформаций (25.6) должен быть вы­

Следовательно, и в век

черкнут соответствующ

й угол поворота.

з

о

п

е

Р