Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

У

Т

Н

Б

й

Кривую равновесных состоян й (см. р с. 23.2,б) можно тракто­

вать как

график изменения еакцииив дополнительном опорном

стержне, поставленном по нап авлению рассматриваемого харак­

терного перемещения, в зависимрсти от смещения этого опорного

стержня. Построить

ак й график можно только на основании не­

о

линейных, точных расче ных зависимостей.

Потерю устойч востт, связанную с разветвлением (бифуркацией)

форм

я в кр

т ческом состоянии (рис. 23.1), иногда назы­

вают п терей устийчивости первого рода. Потеря устойчивости

первого р да характеризуется сменой формы равновесия в дефор­

з

мированн м с ст янии, при этом новая, смежная форма равновесия

до ускает в определенных пределах дальнейшее увеличение на­

равновес

грузки и устойчивое равновесие в закритическом состоянии.

Потпрю устойчивости, связанную с исчерпанием несущей спо­

собности в критическом состоянии (рис. 23.2), соответственно на­

е

зывают потерей устойчивости второго рода. При потере устойчиво­

сти второго рода смежных состояний равновесия нет.

РТерять устойчивость равновесия могут не только сжимаемые сис­

нарушиться равновесие и между внешними силами: активными и

реактивными, опрокидывающими (сдвигающими) и удерживающи­

й

ми. Как правило, это имеет место в сооружениях, содержащих од­

носторонние, выключающиеся связи. Под де ствием

неуравнове­

шенных активных внешних сил

сооружение

просто

приходит в

движение. Примером могут служ ть опрок дывание под действием

р

горизонтальных сил высокого блока, свободно стоящего на горизон­

оп

ок дыван высокой башни при

тальной опорной поверхности;

неравномерной осадке осн вания; сдвиг или опрокидывание подпор­

от

ных стен; сползание по г рн му скл ну сооружения вместе с грунто­

вым массивом (оползень) и . п. Явления, связанные с нарушением

и

равновесия между внешн ми силами, называют потерей устойчивости

з

по ери устойчивости равновесия в деформи­

положения в отл ч е

рованном состоян

,

связанной с нарушением равновесия между

о

внешними и внутренними силами.

Равн весие с

ружения в деформированном состоянии считает­

п

ся уст йчивым, если любые малые дополнительные воздействия

е

или дефекты (в змущения) вызывают в сооружении также малые

до олнит льные деформации, а после удаления дополнительных

Р

И наоборот, не всякое сооружение, устойчивое «в большом», ус­

тойчиво «в малом». Ненатянутая струна (шарнирно-стержневая цепь)

устойчива «в большом» по отношению к достаточно большимНпопе­

й

речным смещениям. Любая поперечная нагрузка конечной величины

вызовет в струне (цепи) растягивающие усилия.БПосле снятия попе­

речной нагрузки струна (цепь) вернется в первоначальное положение.

рмаций

Однако по отношению к бесконечно малым поперечным пере­

случайных), то оно устойчиво «в малом». Если дополнительные воз­

мущения являются конечными, достаточно большими, и сооружение

устойчиво при больших возмущениях, то оно устойчиво «в большом».

Сооружение, устойчивое «в малом», может оказаться неустойчи­

вым «в большом». Так, арка (см. рис. 23.2,а) при F = 0,85Fcr ус­

тойчива «в малом». Но при случайном возрастании этого значения

У

нагрузки еще на 15 % произойдет «хлопок», потеря устойчивости

второго рода. Следовательно, арка неустойчива «в большом».

Т

утверждение справедливо

в рамках теории исчисления беско­

лько

нечно малых вел ч н. Перемещения струны можно рассматривать как

бесконечно малые велтч ны первого порядка малости. Деформации

удлинения струны

этом будут иметь второй порядок малости.

Строго г в ря, ненатянутая и ненагруженная струна находится как

при

бы в критическзм состоянии (Fcr = 0).

Предварительно натянутая струна по отношению к поперечным

д формациямоустойчива как «в малом», так и «в большом».

Иссл дование устойчивости сооружений «в большом» можно

п

в сти только в нелинейной постановке. Рассматриваемые ниже кри­

устойчивости форм равновесия сооружений в деформирован­

терии

ном состоянии и методы расчета сооружений на устойчивость отно­

Р

рованного или недеформированного) в новое деформированное со­

Н

стояние. При геометрически нелинейном расчете учитывается влия­У

ние полных (конечных) перемещений на распределение полных,

Б

окончательных усилий в элементах сооружения. Именно при гео­

метрически нелинейном расчете необходимо учитывать точное вы­

ражение кривизны для установления связи изгибающих моментов с

й

поперечными перемещениями изгибаемых стержней.

Однако расчет по деформированному состоянию может быть

и

и линейным, то есть приближенным, линеаризованным, с отбрасы­

ванием нелинейных членов второго

более высоких порядков ма­

р

лости. При этом внутренние силы

сходного деформированного

ояние

состояния рассматриваются как конечные величины. Расчет ведется

на приращения нагрузок (в здействий), вызывающих приращения

т

внутренних сил, деформаций и перемещений. При этом прираще­

ния всех параметров, харак еризующих переход сооружения в но­

состояния. В уравненияхравновесия отбрасываются все члены вто­

вое деформированное сос

равновесия, полагаются достаточ­

но малыми, строго говоря, бесконечно малыми по сравнению с со­

ответствующими (больш ми, конечными) параметрами исходного

о

рого и выше п рядков малости. Сохраняются только члены первого

п

порядка мал сти, точнее, произведения конечных величин исходно­

е

го сост яния на бесконечно малые приращения искомых величин.

Р

Расч т сооружения по недеформированному состоянию тем более

внешние силы

F ) и вызванные ими усилия S

также из­

вестны и удовлетворяюттуравнениям равновесия, составленным отно­

сительно

сходного (начального) деформированного состояния:

(нагрузки

з

A S + F = 0.

(23.1)

В матричн м уравнении равновесия (23.1), подчеркнем это,

A

этого

= A(X )

есть в общем случае прямоугольная матрица равнове­

п

сия, эл менты которой зависят только от заданных обобщенных

координат узлов, определяемых вектором X .

е

Такое начальное деформированное состояние с установившимися

деформациями практически существует в любом реальном сооруже­

Р

В данном разделе все уравнения записываются чисто формально.

Т

Читателю, в первую очередь, следует обратить внимание на смысл

вводимых понятий и категорий.

Итак, приложим к системе, уже находящейся в деформирован­У

ном состоянии и удовлетворяющей уравнениям равновесия (23.1),

Б

некоторую дополнительную нагрузку AF . Тогда первоначальное

состояние равновесия нарушится, и система перейдет из исходного

деформированного состояния в новое деформированноеНсостояние.

Переход в

новое состояние

равновесия будет характеризоваться

и

приращениями внутренних сил AS

приращениями обобщенных

координат, то есть перемещениями узлов AX, отсчитанными от

р

й

начального состояния равновесия.

о

Строго говоря, вектор при ащений координат AX следует рас­

сматривать как блочный вект

, с стоящий из двух подвекторов:

т

Z

и

AX =

AX0

,

з

вектор

не звестных перемещений подвижных узлов;

где Z

-

AX 0 - вектор перемещений опорных узлов, задаваемый за­

п

ранее (воздействие в виде смещения, осадки опор)

или принимаемый равным нулю (в дальнейших вы­

Р

кладках примем AXо = 0).

Добиться такого разделения можно простой нумерацией узлов:

опорные

узлы (опорные связи) нумеруются в последнюю очередь.

измененными усилиями точные уравнения равновесия примут вид:

У

A(X + AX)(S + AS) + F + AF = 0

Т

или:

Н

A(X , Z )(S + AS) + F

+ AF = 0.

(23.2)

Б

Таким образом, уравнения равновесия (23.2) составлены относи­

тельно нового, неизвестного деформированного состояния.

й

Вычитая равенство (23.1) из (23.2), получим так называемые

уравнения в приращениях:

аткости

обобщенном виде:

(23.3)

A(X , Z )(S + AS) - A(X )S + AF = 0.

р

запишем в условном

Уравнения в приращениях для к

о

т

(23.4)

Ф(X , S , Z , AS) = A F ,

и

з

в общем случае нелинейная вектор-функция

где Ф( . ) есть

сво

х вектор-аргументов.

о

явля­

Вект р перемещений Z и вектор приращений усилий AS