Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

системы будет гораздо выше.

Т

Тем не менее, с целью простоты алгоритмизации решаемых за­

дач, можно, при необходимости, предположить, что динамическая

Н

степень свободы дискретной деформируемой системы совпадаетУс

её общей степенью свободы. Отсутствие же в некоторых узлах со­

Б

средоточенных масс или сознательное пренебрежение теми или

ференциальные или смешанные,

ческие и дифференциаль­

й

ные; пятого или пятисотого по ядка; с нулевыми или ненулевыми

компонентами матриц.

азмеры матриц должны соот­

ветствовать возможностям п

и

г аммного обеспечения.

Проиллюстрируем сказанн е на примере. Двухшарнирная порталь­

алгебра

ная рама несет сосредо оченную массу в середине пролета (рис. 18.1,а).

Собственной массой с ержней рамы по сравнению с сосредоточен­

Естественно,

ной массой пренебрегаем. Инерцией вращения сосредоточенной

т

массы как точечной также пренебрегаем. За счет изгибных дефор­

маций стержней рамы сосредоточенная масса может перемещаться

и

по вертикали и г ри онтали. Следовательно, система имеет две ди­

з

намические степени свободы. Вектор сил инерции, вектор ускоре­

ний и матрица масс будут второго порядка:

о

п

J = ■ J1 ■

m

" N ' = -M Z .

(18.5)

е

2J

1

m

N:

1

1 2 1

Р

такого сооружения должна по-прежнему рассматриваться дискретной.

Распределенные силы инерции должны быть заменены эквивалентны­

ми узловыми силами инерции. При этом в зависимости от принятой

модели учета распределенных масс квадратная матрица масс в выра­

Т

жении (18.4) может оказаться не диагональной, а заполненной.

Действительно,

если

стержень

с равномерно

распределенной

Н

массой интенсивностью m (рис. 18.2,а) совершает преимуществен­У

но поступательное движение с ускорением wn = Wk = w , то на него

Б

действует равномерно распределенная сила инерции:

J (х) = - m w .

(18.6)

и

Эквивалентной дискретной расчетной моделью будет тот же

стержень, но уже невесомый, с двумя равными точечными узловы­

ми массами (рис. 18.2,б):

р

й

о

(18.7)

М п = Mk = ml /2

и

и сосредоточенными силами инерции:

з

т

mlw

(18.8)

о

J n = J k = -

2

Матричная ф рмула (18.4) для этого стержня примет вид:

е

ml

Р

п

"Jn '

2

ml

wn

(18.9)

_Jk _

_wk _

2 _

а)

m

k

n

I

w(x) = const

б)

M n

M k

г J n

Jk

Т

Рис. 18.2

Н

Теперь предположим, что рассматриваемый стержень с равно­

мерно распределенной массой, оставаясь прямолинейнымБ

(изгибная

жесткость E J ^ да), будет двигаться так, что,

допустим, верти­

кальная составляющая ускорений его точек будет изменяться по

й

линейному закону w(x) (рис. 18.3,а). В данном случае на стержень

будет действовать вертикальная с ставляющаяи

сил инерции, также

распределенных по линейн му зак ну:

р

J (x) = -m w (x).

(18.10)

о

т

Эквивалентной д скретной моделью будет тот же стержень с

двумя вертикальными узловыми силами инерции (рис. 18.3,б):

и

з

ml

о

J n = — — (2wn + wk );

6

(18.11)

п

ml

е

J k = --- — (wn + 2wk X

6

заменяющими распределенные силы инерции.

Р

а)

m

к

n

l

У

Т

Н

Б

Рис. 18.3

й

Матричная зависимость (18.4) в этом случае примет вид:

"Jn "

р

но

и1 2

(18.12)

_Jk _

~

6

W k _

т

то есть матрица масс

с ала зап лненной. Расчетная модель такого

узловыми

уже нельзя сказать, что это модель с со­

стержня будет дискре ной,

средоточенными

массами. Это будет дискретная модель с

з

некоторыми экв валентными сосредоточенными массами M 1 и M 2 ,

о

расположенными между узлами (рис. 18.3).

В бщем случае

определение

сосредоточенных

узловых сил

п

инерции, эквивалентных распределенным силам инерции (или со­

средот

ченным внеузловым силам инерции) должно производиться

точно так же, как и определение эквивалентных узловых нагрузок

Р

Помимо динамических нагрузок и сил инерции на характер колеба­

ний деформируемых систем существенное влияние оказывают силы

У

сопротивления движению. Природа сил сопротивления сложна и до сих

пор еще не выявлена полностью. В динамике сооружений наиболееТши­

роко применяется гипотеза о пропорциональности сил сопротивления

движению скоростям движущихся масс. В динамике дискретных систем

полагается, что силы сопротивления движению Ф ^)

Н

являются внеш­

Б

й

стям перемещений узлов, то есть могут быть аналитически представле­

ны следующей векторно-матричной формуло :

1гу

Ф(t) = - H ----и= - H Z ,

(18.13)

dt

где

р

H - квадра ная ма рица коэффициентов сопротивления,

определяемых

ным путем.

опы

Чаще всего с цельютупрощения, как аналитических преобразова­

ний, так и выч слен й, матрицу сопротивления

H

полагают диаго­

и

нальной или равн й линейной комбинации матрицы масс M и матри­

цы внешней жесткзсти R деформируемой колебательной системы:

о

H = k1M + к2R,

(18.14)

п

и к2 определяются

где

коэффициенты пропорциональности к1

на основании опытных данных.

При этом предполагается, что первое слагаемое в (18.14) учитывает

Рвнешнее сопротивление колебаниям, а второе слагаемое - внутреннее

FD = F (t) + J ( t) + Ф(t) = F (t) -

M Z - H Z .

(18.15)

У

18.4. Виды колебаний

Т

Все динамические нагрузки вызывают колебания сооружений. Если

Н

динамическую систему каким-либо образом, например, отклонением

или толчком, вывести из состояния равновесия, а затем предоставить

Б

самой себе, то система будет совершать свободные

колебания. Свобод­

й

Они

ные колебания упругой системы про сходят при отсутствии непрерыв­

но действующих динамических

.

поддерживаются энерги­

о

альную. Если предполож ь, ч о потерь энергии не происходит, то есть

не учитывается внешнеетвнутреннее сопротивление движению систе­

со

мы, то ее свободные колебания будут длиться бесконечно долго. Такие

идеализир ванныеколебания называют свободными незатухающими.

п

Неизбежныезвнешние и внутренние сопротивления движению не­

прерывно

гл щают часть энергии колеблющейся системы. Чем боль­

ше

ротивления, тем быстрее гасятся колебания. Таким образом,

силы

Колебания можно классифицировать и по виду вызываемых ими

деформаций. Колебания называют изгибными или поперечными,

если они вызывают преимущественно деформации изгиба стержней

и перемещения, перпендикулярные оси стержня. Колебания могут

Т

быть продольными, крутильными или крутильно-изгибными, если

они вызывают соответственно продольные, крутильные или кру-

тильно-изгибные деформации.

Н

У

Колебания могут быть линейными и нелинейными. Линейные ко­

Б

лебания имеют место в линейно деформируемых системах и описыва­

При больших перемещениях в колебательной системе нарушает­

ся линейная зависимость между

и деформациями, сис­

й

тема становится геометрически нел нейной. Колебания геометри­

чески нелинейной системы описываются нелинейными дифферен­

нагрузками

циальными уравнениями. Такие к лебания называют нелинейными.

Нелинейными будут колебания и в системах, материал которых не

р

следует закону прямой пр п рци нальности, закону Гука (физиче­

ская нелинейность). Ме

решения нелинейных дифференциаль­

ных уравнений дв жен

оды

я более трудоемки. Для исследования нели­

т

нейных колебан й пр меняют специальные аналитические (асим­

птотические) и численные методы.

Колебания на ывают параметрическими, если они вызываются

з

периодическим изменением параметров сооружения, например,

длины стержней или их жесткости. Параметрические колебания

о

о исываются дифференциальными уравнениями с переменными

коэффициентами, чаще всего нелинейными. Их решения обладают

п

сп цифическими свойствами и требуют также применения специ­

альных методов.

е

В данном курсе будут рассмотрены только линейные колебания,

то есть малые колебания линейно деформируемых систем.

Р

отброшенных ускоряющихся масс. Мгновенные динамические пе­

ремещения и динамические усилия рассматриваются как статиче­

ские, вызванные мгновенными значениями динамических сил. Да­

лее применяются методы статики сооружений: составляются урав­

Т

нения равновесия, деформаций, или используются общие методы

механики, например, принцип возможных перемещений. Для мно­

Н

гоэлементных систем применяют дискретную расчетную схемуУи

составляют общие уравнения строительной механики: статические

Б

(с учетом сил инерции и сил сопротивления), геометрические, фи­

зические. Или применяют метод конечных элементов.

Энергетический метод основан на применении принципа стационар­

й

ности полной энергии системы и вытекающих из этого принципа урав­

нениях Лагранжа второго рода. В такой постановке энергетический ме­

движения

динамических систем.

тод применяется для точного описания

Энергетический метод может быть пр

менен и для приближен­

р

ного описания свободных незатухающ х колебаний сложных сис­

о

тем. В этом случае используется закон сохранения энергии, соглас­

но которому сумма потенциальн й и кинетической энергии в про­

т

цессе свободных незатухающих к лебаний остается постоянной:

и

T + U = const,

где T - кинет ческая энергия;

U - потенц альная энергия.

о

Для решения дифференциальных уравнений движения в дина­

п

мике с руженийзприменяют аналитические и численные методы.

Решение линейных дифференциальных уравнений движения с по­

(действие вибрационной нагрузки). Решение линейных дифференци­

стоянными коэффициентами сводят к решению систем линейных ал­

Р