Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

У

то называть геометрической нелинейностью. Деформируемую сис­

тему, работа которой описывается нелинейными уравнениями де­

Т

формирования, также называют геометрически нелинейной.

ными. Причем дополнительную нелине

ность, которая может поя­

виться из-за нелинейных физических уравнени Б, называют физиче­

ской нелинейностью.

р

Вектор приращений внутренн х л йAS в матричных уравнени­

ях (23.3) или (23.4) обычно удается с той

ли иной степенью точно­

сти выразить с помощью ге мет ических физических уравнений

и

только в приращен ях

ото есть в перемещениях:

з

Ф(X , S , Z ) = A F ,

(23.5)

о

Z .

п

Р

еТочные нелинейные

уравнения статического деформирования

личий между геометр ей с стемы в нагруженном и ненагруженном

состояниях. Дефояниирмируемую систему, расчет которой ведется в

п

классическ йзлинейной постановке по недеформированной расчет­

ной схеме, и сам расчет называют геометрически линейными.

е

допустить,

что

перемещения

деформируемой

Однако

сист мы

ри малом изменении нагрузки также являются достаточно

малыми,

но

ненулевыми.

Тогда,

разложив

вектор-функцию

Ф(X , S , Z ) в нелинейных уравнениях (23.5) в степенной ряд отно­

сительно малых перемещений Z и отбросив все нелинейные члены

Ркак величины высших порядков малости, можно получить уже ли­

неаризованные

уравнения статического деформирования относи­

[R ( X , S)]Z = A F ,

(23.7)

У

где квадратная матрица R( X , S ), в математическом смысле, яв­

ляется матрицей первых частных производных (матрицей

Якоби) нелинейной вектор-функции Ф(X , S , Z ) .

Т

Н

Полученные уравнения (23.7) представляют собой канонические

уравнения метода перемещений и учитывают деформированную

Б

схему сооружения. Их матрица коэффициентов R ( X , S ), по физи­

ческому смыслу, является матрицей внешней жесткости системы в

й

деформированном состоянии. Ее основное отличие от классической

матрицы внешней жесткости состоит в том, что ее элементы (еди­

ничные реакции)

и

зависят не только от материала и размеров со­

вий, то матрицу внешней начальноежес кости деформируемой системы в та­

Так

как за исходное,

состояние равновесия может

быть принято любое мгн венн е состояние равновесия деформи­

руемой системы при ее медленнрм, статическом деформировании,

вызванном медленным, с а ическим изменением внешних воздейст­

з

ком состоянии равновестя следует рассматривать как матрицу

мгновенной жесткости сооружения в этом мгновенном состояния

малых)

нагрузоки воздействий.

равновесия. Матрицаимгновенной жесткости сооружения характери­

сп

зует

бн сть сооружения в нагруженном состоянии сопротив­

ляться действию д полнительных малых (теоретически бесконечно

е

Р

Если в исходном состоянии деформируемая система будет нена­

где

R = R (X ,0) = R (X );

AF = - R F ;

Rf - вектор реакций от внешних воздействий в дополни­

тельных связях основной системы метода перемещений.

У

Т

Линейные уравнения (23.7), в отличие от линейных уравнений

(23.8), следует называть линеаризованными уравнениямиНрасчета по

й

деформированному состоянию, чтобы подчеркнуть, что они полу­

рованном, напряженном состоянии

авновесия, и составлены, подчерк­

чены линеаризацией точных, нелинейных уравненийБ(23.5) расчета

по деформированному состоянию.

Линеаризованные уравнения стат ческого деформирования (23.7)

характеризуют деформируемую систему, уже находящуюся в деформи­

но

нем это, в форме канонических у авнений метода перемещений.

Необходимо отме и ь, ч

рнелинейные уравнения

равновесия в

приращениях (23.3) совмес

с с ответствующими

нелинейными

скими) формально можнотбыло бы разрешить относительно вектора

приращений ус л й AS , то есть представить решение в форме метода

сил. Однако труднстиматематического характера не позволяют сде­

п

лать это в д статзчно общей и, тем более, простой форме.

В р тив вес, уравнения статического деформирования в переме­

щениях:

онелинейные (23.5) и линеаризованные (23.7), - оказались

23.3. Критическое равновесие

Линеаризованные уравнения

статического деформирования

Т

(23.7) будут тем точнее, чем меньше дополнительная нагрузка и чем

меньше вызванные ею приращения усилий и перемещений. ак,

Н

если предположить, что дополнительная нагрузка на сооружениеУ

стремится к нулю и в пределе исчезает ( AF = 0), то линеаризован­

ные уравнения (23.7) становятся однородными:

Б

[R(X , S)]Z = 0,

(23.9)

и абсолютно точно характеризуют

исходное

деформированное со­

стояние равновесия.

алгебры,

однородныей

Как известно из линейной

алгебраические

уравнения кроме очевидного нулевого, т в

ального решения

о

т

и

Z = 0,

могут иметь и ненулевое решение

з

Z ф 0,

о

если определитель системы окажется равным нулю:

Выполнение условия (23.10) означает, что матрица мгновенной

D et

[R ( X

, S )] = 0.

(23.10)

ж сткости деформируемой системы в исходном состоянии равнове­

есия является вырожденной. В этом случае деформируемая система

может иметь ненулевые перемещения при нулевой дополнительной

Рнагрузке, то есть при ее отсутствии.

ном состоянии, при которых возможно существование ненулевых

решений однородных линеаризованных уравнений статического

деформирования, называют критическим. Равновесное состояние

У

вают критическим.

Т

равновесия с ненулевыми перемещениями и соответственно с ненуле­

выми приращениями усилий. То есть в деформированном сооружении

может иметь место так называемое явление ветвленияН(бифуркации)

й

форм равновесия в деформированном состоянии.

Однако в критическом состоянии может бытьБи явление совер­

и

шенно иного характера. Деформ руемая с стема при критической

нагрузке

теряет способность

сопрот

вляться дальнейшему росту

нагрузки. В этом случае система п осто не в состоянии уравнове­

сить дополнительную нагрузку, пусть

бесконечно малую, и будет

стремиться перейти в н в е с ст яние

авновесия. Такое критиче­

т

ское состояние равновесия называют предельным. Примером может

и

служить прощёлкивание симметричной арки при симметричной

нагрузке.

з

о

К сожалению, л неар зованные уравнения статического дефор­

личие критическ го равновесия.

Если в

состоянии исследуемая система не имеет на­

исходном

чальных усилий ( S = 0), то условие

п

е

D et [R(X ,0)] = D et [R(X )] = 0

(23.11)

Р

критическими.

Т

Статический метод обнаружения критического равновесия в де­

формированном состоянии,

основанный на исследовании ненуле­

Н

вых решений линеаризованных уравнений статического деформи­У

рования,

применяется к исследованию устойчивости сооружений

Б

еще со времен Эйлера и часто связывается с его именем. Однако

классическая формулировка статического метода (метода Эйлера)

была несколько иная и состояла в следующем.

й

Сооружению, содержащему сжатые элементы, придавалось

смежное,

отклоненное, деформированное

положение. Для откло­

ненного положения составлялись

уравнения

равновесия, из которых

определялись значения полных сж мающ х нагрузок, способных

р

уравновесить систему в отклоненном состоянии. Найденные значе­

ния нагрузок и принимались в качестве к

т ческих.

Для полного

понимания

с бенностей расчета сооружений на

т

устойчивость путем определения критического состояния и крити­

ческих нагрузок следует принимать во внимание следующее.

и

При малейшем о клоненииосжимающей нагрузки от своего кри­

тического

значен

я в любую сторону (даже в сторону увеличения

сжимающих сил) услов е критического равновесия (23.10) будет

го

нарушено. Однородные уравнения статического деформирования

(23.9) стан вятся невырожденными. Они будут формально иметь

п

только тривиальн е, нулевое решение, и соответствующее состоя­

ние

равновесия с нулевыми перемещениями для де­

мгн венн

формированной системы будет формально единственным. И это

Р

дом не удается. Объяснить это возможно только с позиций дина­

мики сооружений. Даже медленный переход деформируемой

й

системы в смежное состояние авновес я при потере устойчиво­

сти есть все-таки движение. П оанализировать действительное

и

поведение деформируем й системы в докритических, критиче­

ских и закритических с с

янияхрравновесия удается только ме­

тодами динамики сооружений.

о

23.4. Динам ческтй метод исследования устойчивости

Динамическийиметод исследования устойчивости сооружений

заключается в и учении характера движения деформируемой сис­

з

темы тн сительно исследуемого деформированного состояния

.

о

Вв дя уравнения статического деформирования силы инерции, по­

лучимпдифференциальные уравнения движения деформируемой систе­

мы вблизи исходного деформированного состояния равновесия. Огра­

равновесияничимся на данном этапе однородными линеаризованными уравне­

ниями статического деформирования (23.7), которым будут соот­

Рветствовать однородные

линеаризованные дифференциальные

M Z + [R(X , S )] Z = 0.

(23.12)

Уравнения (23.12) описывают свободные колебания упругой

системы относительно деформированного состояния

равновесия.

Однако истинный характер движения деформируемой системы от­

носительно исходного деформированного состояния равновесия

зависит от корней характеристического (частотного) уравнения сис­

Т

темы дифференциальных уравнений движения (23.12). В общем

случае, движение может быть поступательным, или колебательным,

Н

или апериодическим. В соответствии с разделом 20.2, частотноеУ

(вековое) уравнение примет вид:

Б

Det[R(X , S ) —о 2M ] = 0.

(23.13)

й

Так как матрица мгновенной жесткости деформируемой системы

R (X ,S )

и матрица масс M , как правило, симметричны, то корни

характеристического уравнения (23.13), в роли которых выступают

квадраты собственных частот

р

о 2, будут действительными числа­

ми. В зависимости от значений ко ней характеристического урав­

нения (23.13) решения одно одныхидифференциальных уравнений

следует

из те

ии линейных дифференциаль­

движения (23.12), как

ных уравнений, могут име ь вид (в главных координатах):

и

при

o j > 0;

(23.14)

Z (t) = A j sin(оjt + у/j )

з

о

Z (t) = A jt + / j

при j j

= 0;

(23.15)

п

Z (t) =

A}ent +

B

f nt

при

о 2 < 0,

(23.16)

Р

= 4 —о2 ; j

- номер собственной частоты;

A, B - собственные векторы;

где /

- начальная фаза.

новесия, после их устранения вызовут только малые свободные ко­

лебания системы около исходного состояния равновесия. С течени­

й

ем времени свободные колебания затухнут, и система вернется в

исходное состояние равновесия.

и

Следовательно, исходное деформированное состояние равно­

весия является устойчивым, если относ тельно такого состоя­

р

ния равновесия деформируемая с стема допускает малые сво­

бодные колебания.

исследуемом

2.

Среди положительных к

ней ха актеристического уравне­

т

ния (23.13) есть один или неск лько нулевых. Матрица мгновенной

жесткости сооружения в

состоянии равновесия явля­

и

ется вырожденной,

ее определитель равен нулю. Деформируемая

з

система наход тся в кр ческом равновесии. При выводе дефор­

мируемой системы

кр тического равновесия ее

перемещения

могут

остаться

равными начальному

отклонению.

постоянными,

Произ йдет бифуркация состояний равновесия. При возмущении с

п

начальн й ск р стью перемещения системы будут расти по линей­

устранения малых возмущений, нарушивших это равновесие.

ному зак ну (23.15). Система будет удаляться от положения равно­

в сия с остоянной скоростью. Следовательно, критическое равно­

Р

в сие в деформированном состоянии следует считать неустойчи­

вым: система не вернется в исходное состояние равновесия после

3.

Среди корней характеристического уравнения (23.13) есть хо­