Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

сил M

с вектором относительных деформаций k принимает вид:

M = C k ,

(16.52)

где

C - матрица физических констант:

Т

C = D

1

A

0

Н

У

A

1

0

Б

0

0

1 —A

2

й

Если в зависимость (16.52) подставим

k

из (16.50), то получим

выражение для вектора обобщенных внутренних сил

M через

обобщенные перемещения Z :

о

(16.53)

M = C BиH -1 Z .

8.

т

деформации

Вариация пло н с ирп тенциальной энергии

элемента

и

з

5 A = ( s k .

M

(16.54)

о

с учет

м выражений (16.50) и (16.53) запишется так:

е

5 A = (SZ f (H

_1f

B TC B H _1 Z .

Р

Дляпвсего объема конечного элемента вариация потенциальной

эн ргии деформации будет иметь вид:

5 A = \ 5 A dv = j( 5 Z f

(H ~1)f B TC B H ~ lZdv

(16.55)

V

или, поскольку

H и Z

не зави сят о т коорди н ат x и y ,

5 A = И .

(H —1.

j B T C B dv

H —1 Z .

(16.56)

У

на и зм ен ен и ях (вариациях)

у зл о вы х п ерем ещ ен и й

5 Z

равна:

Н

5 W

= ( d Z )T

F .

Б

Т(16.57)

В соответствии с принципом возм ож ны х перемещ ений 5 A = 5 W ,

й

поэтом у равен ства (1(5.55) и (16.56) п озволяю т связать вектор у зл о ­

вы х си л F

и вектор Z

:

и

F =

рица

(16.58)

j B T C в dv H _1 Z .

о

т

реакций) конечного элемента R э

10. М атрица ж ес кос и (ма

и

F через вектор

Z :

п озволяет вы рази ть век

ор си л

з

F = Rэ Z .

(16.59)

го

С равн и вая вы раж ен и я (16.58) и (16.59), н айдем м атрицу ж естко ­

сти конечн

элем ента:

е

Р

п

Rэ =

j B T C в dv H -1

М атри ц а

R э

(ни ж н и й

треугольн и к) для

п рям оугольн ого эл е ­

м ен та пласти н ы представлен а в табл. 16.2.

Таблица 16.2

1

2

3

4

У

Т

w.

в

X i

в

w .

У.

J

1

12с(в2 + /)-2 4 ц + 8 4

С

И

М

Р И

Ч

О

2

[10в2 +(1 + 4ц)]бР

40а1 + 8(1- ц р 1

Н

3

-[1 0 /2 +(1+ 4ц)]ба

- 3 0 ц а Р

4062 + 8(1- ц )а2

4

60(в2-2Y)+24,U -84

й

/ )-24ц+84

[5в2 -(1 + 4ц)] бР

и

[ ю / +(1-ц)]баБ12с(в 2+

20а2

р

5

[5в 2-(1 + 4ц)]бР

о

0

[10в2 +(1 + 4ц)]бР

б

- |Ю /2 + (1-ц)]ба

0

20Р2 - 2(1- ц )а 2

[ю ^2 +(1+ 4ц)]б а

R =

т

7

[- 5 в 2 + (1 -ц )]б Р

[ Y -(1 -ц )]б а

б 0 (/2-2 в )+ 2 4 ц -8 4

8

и

0

[10в + (1-ц)]бР

[5 в2 -(1 -ц )]б Р

10я2 + 2(1- ц ) Р

9

з

0

10Р2 + 2(1- ц ) а 2

[5/2 -(1 + 4ц)]ба

[-5Г2 + (1-ц)]ба

10

о

-[1 0 в 2 + (1-ц)]бР

|- 5 / 2 +(1 + 4ц)]ба

- б 0 |в + Y ) - 2 Ц + 8 4

б (](/-2 в )+ 2 4 ц -8 4

п

1

1 +

LJ

11

2 0 а - 2 ( 1 - ц р

0

[5в2-(1 -ц )]б Р

е

Р

12

[- 5 /2+(1+ 4ц)]ба

0

2 0 Р - 8 ( 1 - ц ) а

[5 / 2 - (1 - ц )]ба

Продолжение табл. 16.2

5

б

7

8

У

в xj

в yj

Т

1

Н

2

Б

3

С И М

И

Н

О

4

р

й

5

40a2+8(1-мУ

б

30мab

о

и

40b2+8(1-м)а2

т

1 1

п

б((рг-2Y)+24m-84

[-5в2+(1+4м)]бЬ

[

1 (+

е

оа+1

Д.

11

Р

0

10b2+ 2(1-м)а2

[щ2+(1-м)]ба

0

12

Окончание табл. 16.2

9

10

11

12

У

вп

w

Т

3

Н

2

Б

4

й

5

и

6

р

7

С И М

Р И

Ч

Н

О

о

8

т

9

40b2+8(1 - ,и)а2

и

о

п

- К 2+(1+4^)]ба

40b1+ 8(1 -ju'y

12

20b2- 2(1 -м)а2

30^ab

е

---------, где D -

Р

Д ля всех элем ен тов

м атрицы

о бщ и й м н ож и тель

30 a b

в

a

b

ци ли н дри ческая ж есткость; р = — ; у

= — .

b

a

В

н астоящ ей главе и злож ены лиш ь основы М К Э . Д оп олн и тель ­

ны е

сведения,

детали ровки

кусочн о -элем ен тн ы х

ап п рокси м ац и й

вы сш его п орядка и другие, в том чи сле при кладн ы е аспекты м ето ­

да,

м ож но н ай ти в м н огочи слен н ой у чебн о -м етод и ческой

и н ау ч ­

ной литературе.

Т

В

соврем ен н ы х п роектн о -вы чи сли тельн ы х

ком п лексах

(П В К ),

н ап ряж ен ­

Н

н о -деф орм и рован н ого состоян и я и усто й чи во сти стерж н евы х и конУ­

тинуальны х систем, как правило, реализован М КЭ. С пом ощ ью П В К

Б

круга систем : п лоски х и п р о ­

стран ствен н ы х стерж н евы х систем ,

п рои звольн ы х п ласти н чаты х и

о болочечн ы х

систем ,

р ам н о -связевы х

кон струкц и й

вы сотн ы х

зд а ­

четы рехугольны е и треугольны е элем ентыогослойплиты; оболочечны е КЭ

ний,

п ли т н а

грунтовом

основании,

м н

н ы х

конструкций,

и ди н ам и ­

ческие нагрузки.

и

р

В состав П В К вклю чено больш ое кол чество типов КЭ: стержни;

(и зо тр о п н ы й

и

о р то тр о п н ы й

м ате

ал);

эл ем ен ты

д л я

р асч ета

м н огослой н ы х

п ологи х

п ласти н и

оболочек,

учи ты ваю щ и е

меж -

слоевы е сд ви ги

т

и

треугольн ы е

эл е ­

и кривизну;

четы рехугольн ы е

м енты плиты

н а уп р у го м сн

вании;

элем ен ты

в

виде

тетраэдра,

и

вида;

сп ециальны е

эл е ­

п араллелепипеда, восьм

гранон и ка общ его

з

е связи

кон ечной ж естко сти

и

др. Р азви тая

м енты , м одели рую щ

би бли отека к он ечны х элем ен тов, эф ф екти вн ы е м етоды и алгоритм ы

о

й вы сокого п оряд ка и соврем енны е бы ст­

реш ен и я систем у р авн ен

родей ствую щ и е Э В М

п о зволяю т реш ать задачи с больш им ко ли ч е­

п

ством неизвестны х.

е

Р