Добавил:

7Apostol iliya.0727@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Брестский государственный технический университет

Предмет:

Строительная механика

Файл:

Литература / А.А. Борисевич. Строительная механика. Минск, 2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2020

Размер:

10.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 7643 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

системе также равно 2n + m :уравнений равновесия - m,геомет рических уравнений - n,физических уравнений - n .Следователь

но, записанная система линейных независимых уравнений имеет

единственное решение. Это значит, что при заданных на конструк

цию воздействиях F и А'											У
цию воздействиях F и А'					из решения системы уравнений нахо
дится единственная картина распределения в ней усилий, переме
щений и деформаций. Такую систему определяющих математиче
ских соотношений				называют математической моделью расчета
стержневой системы.									Н
стержневой системы.
	Порядок системы уравнений (15.6) можно понизить. апример, ес
									Б
ли из третьей группы уравнений найти вектор деформаций АТи под
ставить его во вторую группу уравнений, то система уравнений (15.6)
преобразуется к виду:								й
								й
				оAT			и			(15.7)
				оAT						(15.7)
или в матричной форме записи:
				т		р0 '
				" A		р0 '		F
			и				S	F
				D			z	А'
		з
	Неизвестными в этом варианте математической модели являют
	о
ся усилия и перемещения, поэтому систему уравнений вида (15.7)
или (15.8) на ывают системой уравнений смешанного метода.
	Решение уравнений смешанного метода позволяет найти усилия
в стержнях системы и перемещения ее узлов.
Р	п			15.10. Метод перемещений
еПредставим уравнения равновесия в перемещениях. При отсутствии

в системе бесконечно жестких элементов диагональная матрица D яв

ляется неособенной матрицей, ее определитель не равен нулю. Поэто му из второй группы уравнений (15.7) можно найти вектор S :

421

S = D_1 (aT z - A ')= K (aT z - A '),

где K - матрица внутренней жесткости системы.

Подставив S в первую группу уравнений (15.7), получим запись

уравнений равновесия через перемещения z в виде:

AK(A Tz -A') = F

или

AKATz = F + AK A'. (15.9)

Эта система уравнений является системой уравнений метода пе-

ремещений. Введем

обозначение R = AKA T

и перепишемТее в

таком виде:

Rz = F + AK A'.

(15.10)

Матрица R - это матрица внешней жесткости упругой системы,

она имеет размер (m•m ) .

Как следует из схемы вычислен й, матр ца R является симмет

рической относительно главн й диагонали, при этом элементы мат

рицы вычисляются с

м влияния продольных и изгибных де

формаций. Если расчет веде ся т лько на действие нагрузки, то есть

если вектор пр нуд

ельныходеформаций A' = 0, то система урав

нений метода перемещен

й записывается в виде:

учет

Rz = F ,

(15.11)

или в развернут й форме:

о1

1r 2

1r m

" F 1 "

r2m

r21

r22

z2 =

rm1 rm2 • • •

rmm

_zm_

_Fm_

422

По определению, r^ - усилие (реакция) в i -й связи, вызванная

смещением zk = 1.

П р и м е р . Рассчитаем методом перемещений раму, показанную

на рис. 15.6. Соотношение жесткостей стержней на растяжение-

сжатие и изгиб примем равным:								Т
				EAh2 = 1,(h = 1 м).				Т
				EAh2 = 1,(h = 1 м).			Н		У
				EJ			Н
				EJ			Б
					10кН/м		Б
					10кН/м
						й
					и
				р
				о
				т
				Рис. 15.6
		з
	всего,		преобразуем заданную нагрузку к узловой. Кон
Прежде			преобразуем заданную нагрузку к узловой. Кон
цевые реакции в иднопролетных статически неопределимых балках,
загруженных распределенной нагрузкой, и очертание эпюр изги
бающих м мент в в них (рис. 15.7) найдем с помощью табл. 9.1.
е
Тогда расчетную схему рамы с узловой нагрузкой можно предста
вить такой, какой она показана на рис. 15.8.
Р		система для расчета рамы с учетом продольных де
Основнаяп		система для расчета рамы с учетом продольных де

формаций стержней изображена на рис 15.9. Положительные на правления основных неизвестных соответствуют правилу знаков,

указанному в разделе 15.2.

423

4 кН / м

б)

10 кН / м

4,5 кН•м( | r £ Q

7,5 кН

i ....................................f

/ 45 кН• м

5 кН

|22,5 кН

“ 37,5 кН

J-------------- 6м-------------- ^

'45к

4,5

кН•

2,25 кН• м

22,5к

■м

Рис. 15.7

Н•м

Рис. 15.9

Рис. 15.8

Исп

льзуязматрицу равновесия и матрицу внутреннейTжесткости

рамы, вычислим матрицу внешней жесткости R = A K A .

424

				-1/3		-1
			1				1/6
		R -				1			-1/3	1/3 X
							-1/6		1				У
							1		-1				У
							1		-1
1/3									1
1								-1 /3
	1/3								-1	1	Н
X		1							1/6		Н		•EJ ■
X		1							1/6		-1/6	1	•EJ ■
			1/3							Б		Т
			1/3								1	Т
				4/3		- 2/3				-1/3		-1
				- 2/3		4/3				1/3
	0,4444					- 0,3333
			0,3611					и		0,1667
			0,3611						- 0,0278	0,1667
=	- 0,3333					0,7778				0,6667 • EJ .
			- 0,0278				р
			- 0,0278						0,3611й- 0,1667
					о				- 0,1667	2,3333
			0,1667			0,6667			- 0,1667	2,3333
				т
Вектор нагрузки F в уравнении вида Rz = F соответствует
			и
загружению, показанному на рис. 15.8:
		з
		F = [4,5; - 22,5; 0 ;- 37,5; 45,0]T .
о
Решив систему уравнений метода перемещений, получим:
п
шемв виде:
~z = [-9,184; -81,619; -25,745; -98,381; 25,444]T •— .
												EJ
В ктор усилий, вычисляемый по выражению S = K A z ,запи
РS = [- 27,21; 3,06; - 5,52; 28,24; - 32,79; -16,76; - 0,20]T .

425

На рис. 15.10,а,б показаны соответствующие этому вектору эпю ры усилий в раме.

	а)							б)		16,76
		ш ш									У
		5,52
		27,21			32,79
		N (кН)			Ш 7
		N (кН)			Ш 7					Т
										Т
						Рис. 15.10				Н
										Н
	Посредством наложения на эпюру M (рис.Б15.10,б) эпюр изги
бающих моментов в балках (рис. 15.7) получаем окончательную
эпюру M в раме (рис. 15.11).									й
	Естественно, что при другом								й
	Естественно, что при другом								соотношении жесткостей
EA/EJ ординаты эпюры M будут отличаться от найденных.
								исходном
	Чтобы оценить влияние п д льных деформаций на распределе
ние перемещений и усилий в								выполним ее расчет с учетом
							раме,
только изгибных деформаций (рис. 15.12,а). Пренебрегая продоль
ными деформац ям , выберемоосновную систему метода переме
щений с двумя не						(рис. 15.12,б).
					т
				звестными
			з
		о
	п
е
Р

426

а)

10кН/м

б)

f T T T T T T T

4кН/м

Ш 7,

Рис. 15.12

Выполнив необходимые этапы вычислений, найдем значенияТ

основных неизвестных:

Zi = 22,891-- м,z2

= 25,826------- рад.

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 15.13.

Рис. 15.13

15.11. Метод сил

Для статически неопределимой системы число уравнений равно

(m) меньше числа неизвестных усилий (n). Матрица равно

весияA имеет размеры (m•n).Выполним нумерацию неизвестных

усилий так, чтобы последние номера (из общего их числа n) были

Рприсвоены тем усилиям, которые принимаются за основные неиз-

427

вестные метода сил, и разобьем матрицу A вертикалью на две мат рицы A0 и Ax :

A= [A Ax],

где A 0 - это матрица равновесия основной системы, detA0 ф 0 .

Усилия в стержнях принятой основной системы обозначим S0 .

Матрица

Ax содержит те столбцы матрицы A , которые соот

ветствуют основным неизвестным X метода сил.

Запишем уравнения равновесия в следующем виде:

A0 S0 + Ax X = F .

Геометрические уравнения A z = А

А = D S + А'

и физические

после приведения их к виду A T z

— D S = А' с учетом блочной за

писи матрицы A можно символически представить так:

А0

АХ

Матрично-векторная запись этих операций сводится к двум под

системам уравнен й:

Z— D 0 S0

= А 0 ,

z — D x X

= Аx .

Таким образом, система уравнений смешанного вида может быть

записана в виде трех уравнений:

A0 S0 + Ax X = F’

A z —D0 S0 = А0 ,

428

aT z —D x X = Аx .

Исключим из этой системы векторы S0 и Z . Из первого уравне

ния следует, что:

S0 = A—1(—Ax X + f ) = Lx X + S°F ,

(15.12)

где

Lx = —A0 1 Ax , SF = A(—1F

;

Aq1 = LS

матрица влияния усилий в стержнях основной

системы,

построенная от

действия единичныхТ

сил, ориентированных по направлениям узловых

нагрузок;

мы, пост оенная отдействия единичных сил,

SF = A)—1 F

- вектор усилий в стержнях основной системы

от нагрузки F ;

Lx -

матрица влияния ус

в стержнях основной систе

ориентированных

по направлениям

основных

неизвестных;

Lx X

- усилия в с ержняхрсновной системы от X .

Из второго уравнен я найдемоz

z = (a))1 )

D 0

S 0 + (A01)

А0 .

(15.13)

Подставляя в п следнее выражение S0 и затем Z в третье урав

нение,

лучим уравнения метода сил в следующем виде:

Aq Lx + Dx )X + LT Dq SF0 + LT Ао' + Аx' = 0,

(15.14)

где D0 Lx X

- деформации стержней основной системы от

усилий X ;

D 0 SF0 - деформации стержней основной системы от F .

429

Определив X ,по (15.12) можно найти усилия в стержнях, при надлежащих основной системе, и затем по (15.13) - вектор узловых

перемещений z .

	П р и м е р . Покажем расчет методом сил фермы, изображенной
													У
на рис. 15.14. Площади сечений всех стержней будем считать оди
наковыми и равными A = 0,25 м . Модуль упругости материала
Е = 2,1-105 МПа.												Т
Е = 2,1-105 МПа.
											Н
											Б
									й
						о			и
							Рис. 15.14
	Матрица равновесия						й фе мы с учетом принятой нумерации
					эт
узлов и стержней имеет следующийрвид:
				1	- 1	0		0 , 8	0	0	0
		о		0	0	0		- 0 , 6	0	- 1	0
		о		и0 1		0		0	0	0	0 , 8
	п		з0		0	0		0	0	0	- 0 , 6
е			з0		0	0		0	0	0	- 0 , 6
е				0	0	1		0	0 , 8	0	- 0 , 8
Р				0	0	1		0	0 , 8	0	- 0 , 8
Р				0	0	0		0	0 , 6	1	0 , 6
				0	0	0		0	0 , 6	1	0 , 6

Степень статической неопределимости фермы равна к = n- m =

= 7 - 6 = 1.

Одним из главных условий выбора основной системы метода сил является, как известно, условие ее геометрической неизменяемости.

430

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4243 / 7643 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>