Определенный интеграл (квадратуру) в выражении (19.22) при про извольном законе изменения динамической нагрузки F (u) = F (t) для
каждого конкретного значения переменной t можно вычислить ча ще всего численно, применяя квадратурные формулы (прямоуголь ников, трапеций, Симпсона, Гаусса и т. п.). Процесс этот является достаточно громоздким. Поэтому вместо решения в квадратурах (19.22) для динамической нагрузки общего вида можно применить
и численные методы решения непосредственно дифференциального |
уравнения движения (19.5), известные из вычислительной матема |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
тики. Для некоторых частных видов динамической нагрузки (вне |
запно приложенной, вибрационной и др.) существуют аналитиче |
ские решения. |
|
|
|
|
|
Т |
19.4. Действие внезапно приложенной нагрузкиН |
|
Пусть к массе системы с одной степенью свободыБвнезапно прило |
жена сила F (t) = F и остается на ней достаточно долго. Найдем ча |
стное решение (19.22) дифференц ального уравнения движения (19.5) |
для этого случая: |
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
(19.23) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
F 5 (1 - |
оcos o t ) = y st(1 - |
cos о t), |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
где y st = F 5 есть перемещение по направлению движения мас- |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
сы от статически приложенной силы F . |
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
Как следует из (19.23), система совершает простые гармонические |
кол банияос частотой свободных колебаний о и амплитудой y st. |
|
Можно сказать, что колебания совершаются относительно де |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
формированного состояния, вызванного статически приложенной |
есилой F . Размах колебаний равен 2y s t. Максимальные отклоне |
ния системы относительно недеформированного состояния при ну |
Рлевых начальных условиях ( y1(t) = 0) |
имеют место в моменты |
времени, когда cos o t = —1, и равны размаху колебаний, то есть
ymax = 2yst .
Таким образом, действие внезапно приложенной нагрузки в два раза более опасно, чем действие равной по значению статически
приложенной нагрузки. |
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
19.5. Действие гармонической нагрузки |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим действие на систему с одной степенью свободы гар |
монической нагрузки, изменяющейся по закону синуса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (t) = F |
s i n e t , |
Б |
(19.24) |
|
где F |
- амплитудное значение нагрузки; |
|
Н |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
- круговая частота ее изменения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Частное решение (19.22) дифференциального уравнения вынуж |
денных колебаний (19.5) с правой частью (19.24) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
(19.25) |
|
|
|
|
|
|
y2(t) = y stA s in e t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
где введены обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
о |
M = |
1 |
|
|
(19.26) |
|
|
|
|
|
y st = 5 F > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение (19.22) дифференциального уравнения вынуж |
денных к лебаний с учетом (19.10) и (19.25) можно записать так: |
|
е |
|
|
y (t) = A sin o t +B c o s o t + y stp. s i n e t . |
|
(19.27) |
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найдем постоянные интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
в |
|
B = y0. |
|
|
|
|
|
|
A = ------ yst A ~ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
и вместо (19.27) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) = | — - |
y stA — |sin o t + y0 cos o t + y stA sin в t . |
|
|
|
|
\ o |
|
o J |
|
|
|
|
|
|
|
Если предположить, что гармоническая нагрузка (19.24) начина |
ет действовать на покоящуюся систему при нулевых начальныхУ |
возмущениях |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 = °> |
y0 = 0 , |
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то вынужденные колебания будут состоять из суммы двух гармони |
ческих движений: |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = y2(t) = y stA ^s i n e t - —sin o t | . |
(19.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
Суммируются чисто вынужденные колебания, происходящие с |
частотой вынуждающей нагрузки |
в , и сопровождающие свобод |
ные, совершающиеся с час |
р |
|
|
|
|
й o , но с амплитудой, зависящей от |
частоты и ампл туды вынуждающейо |
нагрузки. Результирующее |
движение носит характер б ений и в общем случае при произвольной |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
частоте вынуждающей гармонической нагрузки, не соизмеримой с |
частот й св б дных колебаний, является даже непериодическим. |
|
Чтобы |
|
и |
колебательную систему |
совершать |
|
все-таки |
|
аставить |
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
чисто ери дические движения с частотой вынуждающей силы в , |
можно соответствующим образом подобрать начальные возмуще |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
ния. Так, |
ри начальных условиях |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
v0 = yst Ae > y0 = 0, |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как следует из (19.27), свободные синусоидальные колебания и со провождающие свободные колебания взаимно погашаются, и оста ются чисто вынужденные гармонические колебания:
y (t) = y stA sin в t , или y(t) = y dms i n e t , |
(19.29) |
где |
|
y dm = Ayst. |
У |
|
В зависимости (19.26)-(19.29) входят следующие физические ве |
|
Т |
личины и понятия: y din - амплитуда динамических перемещений; |
y st - перемещение (прогиб) колебательной системы в направлении |
движения массы от статически приложенной силы, равной по зна |
чению амплитуде динамической нагрузки; A - динамический ко |
эффициент, показывающий во сколько раз максимальные динами |
ческие перемещения (а также усилия и другие параметры), вызван |
ные вибрационной нагрузкой, отличаются от статическихНпереме |
|
|
й |
щений (усилий или других параметров соответственно), вызванных |
|
сило |
, равнойБпо значению |
в той же упругой системе статической |
|
амплитуде вибрационной нагрузки. |
|
|
|
В приведенном выше решении не уч тывались силы сопротив |
ления движению. В реальных системах с течением времени свобод |
о |
|
|
|
ные колебания неизбежно затухают и сохраняются чисто вынуж |
денные гармонические к лебания, так называемые установившиеся |
дет |
|
или стационарные колебания.рП этому в практических расчетах |
и |
|
обычно используют ф рмулу (19.29) вместо более громоздкой |
(19.28). Как прав ло, э о |
в запас прочности и жесткости при |
колебаниях в доре онансной зоне, когда частота вынуждающей на |
грузки удовлетворяет соотношению: |
|
|
з |
в <(0,70 0,80)o. |
|
Так какоцелью динамического расчета является определение ам |
плитуд динамических перемещений и амплитуд динамических уси |
|
п |
|
|
лий, то для этого достаточно выполнить статический расчет упругой |
системы на действие статической силы, равной по значению амплиту |
де вибрационной силы, и вычислить динамический коэффициент A |
по формуле (19.26). Затем амплитуда любой динамической величи |
Р |
|
|
|
ны (при условии, что точка приложения вибрационной силы и точка
сосредоточения массы совпадают) вычисляется через соответст вующую статическую величину по формуле:
|
|
|
|
Tdtn = A Tst , |
(19.30) |
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
где под символом T понимается любой параметр, характери |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
зующий напряженно-деформированное состояние упру |
|
гой системы: перемещение, усилие, деформация, напря |
|
жение и т. д. |
|
|
|
|
|
19.6. Резонанс и его развитие во времени |
|
|
При совпадении частоты вынуждающей нагрузки с частотой |
свободных колебаний (в = o ) в колебательной системеНимеет ме |
|
|
|
|
|
|
й |
|
сто явление, называемое резонансом. В этом случае, как следует из |
формулы (19.26), динамический коэффициент принимаетБ |
бесконеч |
но большое значение (А = да). Однако амплитуды динамических |
|
|
|
|
|
р |
|
|
перемещений не мгновенно становятся бесконечно большими. При |
резонансе точное выражение (19.28) для выч сления динамического |
|
|
|
|
о |
|
|
перемещения становится не п еделенным:и |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
y (t) = ystю 0 = yst 0 . |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
Раскрыв в (19.28) неопределенность по правилу Лопиталя, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
разности |
|
|
|
|
(19.31) |
|
п |
|
|
|
|
|
нансе |
|
гармонических функций, стоящей в скобках в |
|
График |
|
зависимости (19.31), показан на рис. 19.8. Следовательно, при резо |
Р |
в идеализированной системе без учета сил сопротивления ам |
|
плитуда колебаний нарастает во времени по линейному закону. При |
чем за два - |
три размаха она превышает соответствующее статиче |
ское перемещение приблизительно в 10 раз. Как будет показано ниже, силы сопротивления движению ограничивают нарастание амплитуд динамических перемещений. Даже при резонансе в ли
ln en7‘ = nT1= 2nn = S |
(19.37) |
а 1 |
|
носит название логарифмического декремента колебаний и харак |
теризует быстроту затухания свободных колебаний. |
У |
|
Как следует из (19.37), логарифмический декремент колебаний за |
Т |
висит от демпфирующих и упругих свойств колебательной системы, |
от периода и, следовательно, от частоты свободных колебаний. |
аким |
образом, принятая гипотеза учета сил сопротивления (силы сопротив |
ления пропорциональны скоростям движущихся масс, гипотеза вязко |
го трения) приводит к эффекту частотно-зависимого затухания.
Хотя картина затухания, даваемая гипотезой вязкого трения, яв |
ляется вполне приемлемой, а математические выкладки - достаточ |
но простыми, многочисленные эксперименты показывают,Нчто в |
строительных сооружениях затухание, в первую очередь, обуслов |
лено внутренним трением (иначе |
|
|
|
сопротивлением),Б |
при |
чем логарифмический декремент не зав с т от частоты колебаний, |
то есть является частотно-независ |
|
мым. |
й |
|
Рассмотрим систему |
с одной |
|
|
|
|
степенью |
свободы (рис. 19.10). |
Предположим, что масса системы удалена, |
а по направлению ее |
|
|
|
|
|
|
|
неупругим |
|
|
движения поставлена связь. Если связь заставить принудительно |
перемещаться по гармоническрму закону с частотой 0 и амплиту |
дой |
A , то со стороны связи на балку будет действовать сила F , |
также изменяющаяся по |
о |
|
|
|
|
ому же гармоническому закону. Зависи |
мость между с лой Fтперемещением А при циклическом изме |
нении |
|
|
|
в пределах ± A в реальной системе будет неодно |
значной. П лн муциклу изменения перемещения соответствует |
замкнутая гистерезиснаяз |
петля. Для гармонических колебаний она |
F |
|
быть |
ринята в виде вытянутого эллипса. Суммарная сила |
|
|
т быть представлена как сумма восстанавливающей, упру |
|
|
последнего |
|
|
|
|
|
|
|
гой силы R и силы неупругого сопротивления Ф : |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
может |
|
|
|
F = R + Ф . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во времени эти силы изменяются циклически с периодом 7 , но |
Рсо сдвигом по фазе в четверть периода. Их амплитудные значения |
БНТУ
± Ra и ± Ф0 (рис. 19.10) достигаются в разные моменты времени,
отстоящие друг от друга на T / 4 .
|
и |
р |
Работа силы R за полный цикл колебанйравна нулю. Работа |
о |
|
силы Ф равна площади эллипса, об азующего петли гистерезиса: |
AW = пАФ 0. |
Такое количество рабо ы необратимо затрачивается за полный |
цикл колебаний на преодолениет |
сил сопротивления. Эта работа |
равна энергии A U , поглощаемой реальной конструкцией за счет |
неупругих св йствиматериала (микропластические деформации, |
п |
|
микротрещины,зтепловые эффекты и т. п.). |
Мер й, характеризующей способность материала сооружения |
со ротивлятьсяоколебаниям, принято считать отношение погло |
щ нной энергии AU = AW к амплитудному значению потенциаль |
Р |
|
ной эн ргии деформации UА, численно равной площади заштрихо |
еванного треугольника (рис. 19.10). Это отношение называют коэф |
фициентом поглощения энергии колебаний (коэффициентом дисси пации) ц . Следовательно,
