|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21.2 |
||
Обозначение |
|
|
Значение функций и их производных при x = 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
Первая |
|
Вторая |
|
|
Третья |
|
||||
|
функций |
Функция |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
производная |
производная |
производная |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
K^nx) |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
У |
|
|
K 2(nx) |
|
0 |
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
0 |
||
|
K3(nx) |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
n2 |
|
|
0 |
||
|
K 4(nx) |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Для конкретных граничных условий выражение (21.15) дает беско |
|||||||||||||
нечный спектр собственных форм свободных колебаний балки посто |
||||||||||||||
янного сечения. Эти конкретные формы |
|
|
|
Н |
|
|||||||||
|
|
X k (x) = X k по |
||||||||||||
лучили название фундаментальных, |
|
|
Б |
|
|
|||||||||
балочных функций. |
|
|
||||||||||||
|
Первое свойство балочных функц й вытекает из зависимости (21.8) |
|||||||||||||
и заключается в том, что их |
|
|
про зводная отличается от |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
самой функции постоянным множ телем. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Второе свойство вытекает из у |
авнения (21.6), если в него под |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
ставить одну из балочных функций X k и переписать его так: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
четвертая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJXkVо= m o l X k . |
|
|
|
(21.16) |
||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Откуда следует вывод, что балочная функция X k |
представляет |
||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
собой линию пр гибов балки на конкретных опорах, вызванную |
||||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
погонн й нагрузк й вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
g k (х) = m a l X k . |
|
|
|
(2117) |
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании теоремы о взаимности возможных работ можно записать:
641
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
j gk ( x) X i ( |
x)dx = |
j g i( |
x) X k ( x)dx , |
|
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или с учетом (21.17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(a l - |
|
o f ) j X k ( x) X i ( x)dx = 0 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Н |
|
|
Так как в общем случае а |
Ф <ai и m |
|
|
|
||||||
Ф 0 , из последнего равенства |
||||||||||
следует еще одно важное свойство балочных функций. ДляТстержня |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
постоянного сечения с равномерно распределенной массой балочные |
||||||||||
функции являются взаимно ортогональными. Это означает, что: |
|
|
||||||||
|
l |
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j X k ( |
x) X i ( x) dx = 0 |
( i Ф k ) . |
|
(21.18) |
|||||
|
0 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0норм |
|
|
|
|
|
|
Часто балочные функции |
руют, добиваясь выполнения |
|||||||||
условия: |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
1 . |
|
|
|
|
|||
|
и |
|
j X 2 dx = |
|
|
|
|
|||
Отмеченные свойс ва балочных функций существенно упроща |
||||||||||
ют решение мног х адач динамики сооружений, |
например, при |
|||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исследовании вынужденных колебаний от нагрузки общего вида. В |
||||||||||
методе к нечных элементов балочные функции используются как |
||||||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базисные функцииз(функции формы). В справочной литературе
имеются числ вые таблицы балочных функций и их производных. 21.3. Вынужденные колебания при вибрационной нагрузке
Рассмотрим действие на балку с равномерно распределенной массой некоторой произвольным образом распределенной нагрузки, изменяющейся во времени по гармоническому закону с некоторой частотой 0 :
642
|
|
|
q(x, t) = q(x)sin(0t). |
|
(21.19) |
|||||
Соответствующее |
|
дифференциальное уравнение вынужденных |
||||||||
колебаний примет вид: |
|
|
|
|
|
|
У |
|||
|
EI |
|
+ m д 2* * ' ' ) = q(*)sm (0,). |
|
||||||
|
|
(21.20) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
Предположим, что решена соответствующая проблема свободных |
||||||||||
колебаний и найден спектр собственных частот |
Н |
|
||||||||
a>k и соответствую |
||||||||||
щих собственных форм, т. е. балочных функций |
X k (k = 1, 2, 3,...) . |
|||||||||
Представим искомую функцию динамических перемещений как |
||||||||||
линейную комбинацию балочных функций: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
да |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
T (t)Xi (x), |
Б |
|
|
||
|
|
|
y( x, t) = £ |
(21.21) |
||||||
ции только времени. |
|
главными |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
координатами, есть функ |
|||||
где множители T , называемые |
|
|
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (21.21) в (21.20), п лучим: |
|
|
|
|
||||||
С учетом ависимости (21.16) уравнение (21.22) можно перепи |
||||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (T1E IX 1IV + mT1X 1) = q(x) sin(0t). |
(21.22) |
||||||||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оZ |
( T + ®?Ti )mXi |
= q(x) sin(et) . |
|
|
||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим обе части последнего равенства на некоторую балоч |
||||||||||
еную функцию X k , соответствующую собственной частоте C0k , |
||||||||||
и проинтегрируем по длине балки. Тогда в силу условия ортого |
||||||||||
Рнальности балочных функций (21.18) все слагаемые в левой части, |
||||||||||
кроме k-го, обратятся в нуль. В результате получим:
643
|
|
(Tk + (° 2k Tk )mj X ldx = sm(0 t)j X k 4(x)d x, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21.23) |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fk = j Xkq(x)dx;M k = m j X ^ d x . |
|
(21.24) |
|||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Полученное уравнение (21.23) справедливо для каждой собст |
||||||||||
венной частоты C0k и соответствующей |
|
|
Н |
|
|||||||
|
|
формы X k (x) |
|||||||||
(k = 1, 2, 3,...). |
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||
|
Таким образом, задача решен я |
сходного дифференциального |
|||||||||
уравнения в частных производных (21.20) для системы с бесконеч |
|||||||||||
ной степенью свободы сведена к задаче |
собственной |
|
|
|
|||||||
ешения бесконечного мно |
|||||||||||
жества обыкновенных диффе енциальных уравнений (21.23) как бы |
|||||||||||
для некоторых систем с |
|
и |
|
|
|
|
|||||
дн й степенью свободы. После получения |
|||||||||||
из решения уравнений (21.23) рглавных координат, то есть функций |
|||||||||||
Tk (t), по формуле (21.21) вычисляют искомые динамические пере |
|||||||||||
мещения. Обычно на прак |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ке ограничиваются конечным числом сла |
|||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
гаемых, соответствующ х некоторому количеству низших собствен |
|||||||||||
ных частот и соответствующих собственных форм. Бесконечный ряд |
|||||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
(21.21) брывают, допустим, на члене номер (k + 1), вклад которого в |
|||||||||||
предыдущуюзсумму становится незначительным, то есть когда на |
|||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вы лняться условие: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
чинает |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
Р |
пyk +1(x t) = Tk+1(t)X k+1(x) << Z Ti (t)Xi (x). |
(21.25) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
П р и м е р 21.1. Найти динамические прогибы в однопролетной |
||||||||||
шарнирно опертой балке пролетом l |
(рис. 21.2). Балка несет равно |
||||||||||
мерно распределенную по пролету массу интенсивностью |
m и за- |
||||||||||
644
гружена на левом полупролете равномерно распределенной вибра ционной нагрузкой интенсивностью:
q(x, t) = q sin Ot.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
Частота вибрационной нагрузки принимает значениеБO = 0,8^ 1, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
где а>1 - первая собственная частота свободных колебаний балки. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
||
|
Собственные частоты a>k свободныхйколебаний балки опреде |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
лим по формуле (21.12), а соответствующие собственные формы |
||||||||||||
X k - по формуле (21.13), п иняв |
С = 1. Это будет означать, что |
|||||||||||
собственные |
формы нормализ ваны до единичной максимальной |
|||||||||||
ординаты. |
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Амплитудные значен я динамических перемещений будем ис |
|||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
||
кать в соответств стразложением (21.21), ограничившись конеч |
||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ным числом слагаемых n , по формуле: |
|
|
|
|||||||||
|
п |
|
|
n |
|
n |
knx |
(2126) |
||||
|
|
|
|
y (x) = Z TkX k (x) = Z Tk sin— , |
||||||||
Р |
|
|
|
|
|
k=1 |
k=1 |
l |
|
|
||
|
Tk |
- |
амплитудное значение главной координаты, то есть |
|||||||||
где |
||||||||||||
|
амплитудное значение гармонического решения обоб |
|||||||||||
|
щенного дифференциального уравнения (21.23). |
|
||||||||||
Определим по формулам (21.24) обобщенные силы и обобщен ные массы:
645
l/2 |
l /2 |
Fk = q j Xkdx = q |
j |
a |
I |
sin^ ^ - d x = ——(1 - |
cosk n ); |
|
l |
k n |
2 |
|
|
|
|
\ лг2 |
1 |
|
\ ■ 2 knx . |
|
ml |
|
|||||
|
|
|
M k = mj X kd x = m j sin |
|
-----dx = — . |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
l |
|
2 |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим жесткость обобщенной системы с одной степенью |
||||||||||||||
свободы, движение которой описывается уравнением (21.23), анаУ |
|||||||||||||||
логичным уравнению (19.5): |
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
4п 4EI |
|
|
|
|
|
|
rk = M k®k = ' |
|
2l 3 |
|
Н |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем выражение для обобщенного динамического коэффициента: |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
р |
й1 |
|
||||||
|
|
|
Ak =- |
|
о |
|
2 |
|
|
|
0,64 ' |
|
|||
|
|
|
1- |
O_ |
и |
|
k 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
~ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
®k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
Определим ампли удное значение нормальной координаты: |
||||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
Ak = ^stTk , |
|
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Tk = Tdin = TstM = ~ |
|
|
||||||||||
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k n , |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
^ |
|
|
||
Р |
5ql4 |
|
|
|
|
1536(1 - cos— ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
A°st = 768E I: |
|
|
Tk = |
|
|
5k 5n5 |
* . |
|
|||||
646
По своему смыслу величина Л0^ |
есть прогиб балки в середине |
||||||||||||
пролета от статической нагрузки интенсивностью |
q , равномерно |
||||||||||||
распределенной на половине пролета. |
|
|
|
|
|
||||||||
Введем новую безразмерную переменную |
|
|
|
У |
|||||||||
|
|
|
|
/ ( х) = У(x )/ Л°г, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
представляющую собой искомое относительное амплитудное дина |
|||||||||||||
мическое перемещение. |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из формулы (21.26) следует, что: |
|
|
Б |
|
|
||||||||
|
|
|
У*(х) =ZTk*sin ^ . |
(21.27) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||
В табл. 21.3 приведены значения обобщенных сил Fk , обобщен |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
||
ных динамических коэффициентов |
jiik главных относительных |
||||||||||||
координат Tk для первых шести собственных форм колебаний. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Таблица 21.3 |
|||
k |
|
|
т |
|
|
|
Vk |
|
|
* |
|
||
|
и |
|
|
|
|
|
|
Tk |
|
||||
|
Fk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
ql / п |
|
|
|
2,7778 |
|
2,7885 |
|
||||
2 |
з |
|
п |
|
|
|
1,0417 |
|
0,0654 |
|
|||
3 |
о |
ql /(3п) |
|
|
|
1,0080 |
|
0,0042 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1,0025 |
|
0,0000 |
|
||
5 |
|
ql /(5п) |
|
|
|
1,0010 |
|
0,0003 |
|
||||
6 |
|
ql /(3п) |
|
|
|
1,0005 |
|
0,0002 |
|
||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заданнаяпдинамическая нагрузка не вызывает обобщенных сил для |
|||||||||||||
форм кол баний с числом полуволн синусоиды, кратным четырем. |
|
||||||||||||
еВ табл. 21.4 приведены ординаты линии амплитудных динами |
|||||||||||||
ческих прогибов рассматриваемой балки, вычисленные в четвертях и середине пролета. Номер строки таблицы соответствует количе ству удержанных членов в формуле (21.27). Практически для полу
647
чения динамических относительных перемещений достаточно пер вых трех собственных форм. Полученная линия динамических про гибов показана штриховой линией на рис. 21.2.
Форма линии прогибов близка к симметричной. Это обусловлено значительными инерционными силами, вызванными колебаниями, происходящими с частотой, близкой к первой собственной частоте, соответствующей собственной форме колебаний в виде полуволны
синусоиды. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21.4У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
|
Динамическое относительное перемещение y (х) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
слагаемых |
|
х = l /4 |
|
х = l /2 |
|
х = 3l/4 |
||
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1,9717 |
|
|
2,7885 |
|
Н1,9717 |
|
2 |
|
2,0371 |
|
|
2,7885 |
|
1,9064 |
|
3 |
|
2,0400 |
|
|
2,7843 |
Б1,9093 |
||
4 |
|
2,0400 |
|
|
2,7843 |
|
1,9093 |
|
5 |
|
2,0398 |
|
|
2,7846 |
|
1,9091 |
|
6 |
|
2,0396 |
|
|
й |
1,9094 |
||
|
|
|
2,7846 |
|
||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 22 |
|
|
||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
П РИ БЛ И Ж Е Н Н Ы Е И Ч И С Л Е Н Н Ы Е М ЕТО ДЫ |
||||||||
|
В ДИНАМоИКЕ СО О РУ Ж ЕН И Й |
|
||||||
22.1. Пр |
|
т |
|
|
|
|
||
бл женные методы определения частот |
||||||||
|
|
|
собственных колебаний |
|
|
|||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
Для мн гих задач динамического расчета сооружений бывает дос |
||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
етаточным ределение только основной, наименьшей частоты собст в нных колебаний, или, по крайней мере, нескольких первых собст Рв нных частот. Точное же определение всех собственных частот для сист м с большим числом степеней свободы представляет собой сложную вычислительную проблему, порой плохо обусловленную. Поэтому важным является умение приближенно оценить основную частоту собственных колебаний сооружения, применяя достаточно простые вычислительные приемы. Рассмотрим некоторые из них,
648
наиболее часто применяемые в вычислительной практике, как с це лью проверки результатов сложных расчетов, так и с целью получе ния предварительных сведений о динамической системе.
Предположим, что для некоторой системы с конечным числом сте |
|||||||||||
пеней свободы построена матрица внешней жесткости R . Это можно |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
сделать с помощью любого программного комплекса, предназначен |
|||||||||||
ного для статических расчетов сооружений. Систему однородных ал |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
гебраических уравнений свободных колебаний (20.12) можно перепи |
|||||||||||
сать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R X = о 2M X . |
Б |
|
(22.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Умножим равенство (22.1) слева на транспонированный неиз- |
|||||||||||
|
^ T |
|
2 X T R Xодной |
|
2 |
Н |
|
||||
вестный вектор X |
|
|
о |
|
. В результате |
||||||
|
и разрешим относительно |
|
|||||||||
получим формулу, |
выражающую квадрат |
|
|
из собственных |
|||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
частот через соответствующую форму собственных колебаний: |
|||||||||||
|
|
|
|
о = ^ т— ^ . |
|
|
|
|
|
(22.2) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X TM X |
|
|
|
|
|
|
Если в формулу (22.2) п дс |
равить точный вектор одной из собст |
||||||||||
венных форм |
колебаний, |
п лучим точное значение соответствую |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
щей собственной час |
|
ы. Если собственная форма будет задана при |
|||||||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ближенно, то получ мтпр ближенное значение собственной частоты.
При этом прибл женное значение частоты всегда будет выше ее ис тинного значениято. Действительно, если задаваемая форма деформаций (в даннпм случае, форма колебаний), отличается от истинной формы деформаций, это означает, что на систему как бы наложены допол степеньюнительные связи, стесняющие ее деформации. Введение дополнитель ных связ й овышает общую жесткость системы и, следовательно,
Рповыша т значения ее собственных частот. Можно задаться несколь кими близкими векторами, приближенно представляющими с разной точности искомую форму собственных колебаний, и по формуле (22.2) найти несколько приближенных значений искомой
частоты. Наименьшее из полученных приближенных значений будет наиболее близким к точному значению искомой собственной частоты.
649
Выражение в числителе правой части формулы (22.2) представляет собой удвоенное выражение потенциальной энергии деформации упру гой системы. Потенциальную энергию деформации можно выразить через работу внешних сил (сил инерции при свободных колебаниях) или воспользоваться известной зависимостью из метода перемещений:
X- вектор вызванных ими перемещений, НсоответствуюТУ щих предполагаемой форме собственныхБколебаний.
Врезультате получим формулу для приближенного вычисления
частот свободных колебаний, не требующуюйпостроения матрицы внешней жесткости деформируемой системы:и
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
ло, |
||
В формуле (22.4) нельзя однов еменно произвольно задавать и |
|||||
|
|
т |
F , и фо му колебаний, вектор пере |
||
вектор инерционных нагруз к |
|||||
мещений X . Между ними д лжна существовать взаимосвязь (22.3). |
|||||
и |
сначала приближенно задают вектор |
||||
На практике, как |
прав |
|
|||
з |
|
|
|
|
|
предполагаемых |
нерц онных сил F , который должен быть про |
||||
порционален массам предполагаемым ускорениям. Затем с помо щью статического расчета находят соответствующий вектор пере
наконец,применяют формулу (22.4).
мещений X (м жно применить любой программный комплекс) и,
хающиеФормулы (22.2) и (22.4), полученные на основании матричных ам литудно-частотных уравнений, описывающих свободные незату Р колебания систем с конечной степенью свободы, могли быть получ ны и с помощью закона сохранения энергии. Применим соот ветствующий энергетический метод, основанный на законе сохране ния энергии, для приближенного вычисления основных частот де формируемых систем, несущих распределенные массы. При свобод ных незатухающих колебаниях в любой момент времени сумма по
650