3. Экономический анализ в задачах теории расписаний

Теория расписаний (scheduling theory) – это научная дисциплина, посвященная разработке оптимизационных методов оперативно-календарного планирования. Задачи теории расписаний - один из видов задач исследования операций, объединяемых в классе задач упорядочения. Они состоят в определении оптимальной очередности обработки изделий, составлении программы - "диспетчера" для управления работой ЭВМ в режиме мультипрограммирования и т.п. Для решения задач используется ряд методов линейного программирования и др. Последнее время особое развитие получают резко сокращающие перебор вариантов приближенные методы решения.

Качество функционирования современного производства во многом определяется решениями, принимаемыми на этапах календарного планирования и оперативного управления. Особенно это актуально в связи с созданием современных автоматизированных производств – гибких производственных систем (ГПС). Системы оперативно – календарного планирования современных производств строятся в том числе и на достижениях «теории расписаний», занимающейся исследованиями детерминированных обслуживающих систем на предмет оптимизации расписаний их функционирования. Примеры таких систем: цех, участок, на станках которых осуществляется обработка деталей; ВУЗ, где преподаватели обучают студентов и т.д.

В любом случае имеется конечное множество требований (деталей, преподавателей и т.д.) N = {1,2,…n}и конечное множество приборов (станков, групп студентов и т.д.) M = { 1,2,…m}.

Предполагается, что i – е требование на каждой стадии его обслуживания q (например, на каждой операции технологического процесса) может быть обслужено любым из приборов (но не более, чем одним одновременно). Предполагается также, что каждый прибор одновременно может обслуживать не более одного требования.

В теории расписаний рассматриваются различные системы обслуживания:

• системы поточного типа, в которых каждое требование сначала обслуживается приборами первой группы, затем второй группы и т.д. пока не будет обслужено приборами последней r – ой группы;

• системы с различными порядками (маршрутами) прохождения приборов требованиями и т.д.

В частности, в последних системах с последовательными приборами для каждого требования задается своя, специфическая для этого требования последовательность Lⁱ = (Lⁱ₁, Lⁱ_2, …Lⁱ_n)_, его обслуживания приборами. Требование i сначала обслуживается прибором Lⁱ₁, затем Lⁱ₂и т.д. пока не будет обслужено прибором Lⁱ_n. Последовательности обслуживания могут быть различными для разных требований и могут содержать повторение приборов.

В любом случае, если требование i на стадии q должно или может быть обслужено прибором L⁼ Lⁱ_q, то предполагается заданной длительность t_iL ≥0 его обслуживания прибором. Запись t_iL =0, как привило, означает, что по условию задачи требование i на стадии q прибором L не обслуживается.

Наряду с величинами t_iL могут быть заданы также: момент d_i ≥0 поступления требования i в систему; директивный срок D_i ≥0, к которому необходимо завершить обслуживание требования.

Процесс функционирования обслуживающей системы может быть описан путем задания расписания (календарного плана, временного графика и т.п.). Расписание – некоторая совокупность указаний относительно того, какие именно требования какими именно приборами обслуживаются в каждый момент времени. Расписание рассматривается как совокупность {S₁(t), S₂(t), … S_m(t)} кусочно–постоянных непрерывных слева функций, каждая из которых задана на интервале 0≤t≤∞ и принимает значения 0, 1, …, n. Если S_L(t^/)=i≠0 (здесь i – номер требования), то в момент времени t^/ прибор обслуживает требование . Если S_L(t^/)=0, то в момент времени t^/ прибор L простаивает. При задании расписания должны соблюдаться все условия и ограничение, вытекающие из постановки рассматриваемой задачи, т.е. расписание должно быть допустимым.

П ример. На рис.2.10.3.1 приведен график расписания обслуживания требований N={1,2,3,4}приборами M={1,2,3}при различных маршрутах обслуживания требований. Все длительности обслуживания равны «1».

Рис.2.10.3.1. График расписания обслуживания требований

N = {1, 2, 3, 4} приборами M = {1, 2, 3}

Здесь L¹=(1,2), т.е. первое требование обслуживается первым и вторым приборами, L²=(3,2)– второе требование обслуживается третьим и вторым приборами, L³=(2,1,2,3)– третье требование обслуживается вторым, первым, снова вторым и третьим приборами, L⁴=(2,3,1)– четвертое требование обслуживается вторым, третьим и первым приборами.d₁=1– момент поступления требования 1 в систему, d₂=d₃=0– моменты поступления требований 2 и 3 в систему, d₄=2– момент поступления требования 4 в систему. D₁=4– директивный срок завершения обслуживания требования 1, D₂=2– директивный срок завершения обслуживания требования 2, D₃=6– директивный срок завершения обслуживания требования 3, D₄=5– директивный срок завершения обслуживания 4.

Прибор 1 во временном интервале (1,2] обслуживает требование 1, в интервале (2,3] - требование 3, в интервале (4,5] - требование 4. Прибор 2 в интервале (0,5] без простоев обслуживает требования 3, 2, 4, 1, 3 и т.д. Это расписание допустимо, т.е. каждый прибор одновременно обслуживает не более одного требования и i – е требование обслуживается одновременно не более, чем одним прибором.

Е сли существует несколько допустимых расписаний, то естественно необходимо выбрать лучшее из них. В теории расписаний качество расписания во многих случаях оценивают следующим образом. Каждое (допустимое) расписание S однозначно определяет вектор моментов завершения обслуживания требований. Задается некоторая действительная неубывающая по каждой из переменных функция F (x)=F (x₁, x₂, …x_n).

К ачество расписания S оценивается значением этой функции при .

Из двух расписаний лучшим считается то, которому соответствует меньшее значение F (x). Расписание, которому соответствует наименьшее значение F (x) (среди всех допустимых расписаний), называется оптимальным.

В частности, при построении оптимального по быстродействию расписания

В этом случае ,

где .

П ри построении расписания с наименьшим суммарным

в ременем обслуживания

при этом .

П ри построении расписания с наименьшим временем смещения моментов завершения обслуживания требований i относительно сроков D_i функция

.

При этом , где .

Оптимальное расписание может быть найдено в результате перебора конечного множества возможных вариантов. Основная трудность при этом состоит в том, что число таких вариантов очень велико и растет, по меньшей мере, экспоненциально с ростом размерности задачи. Известны так называемые эвристические алгоритмы формирования расписаний, алгоритмы на основе методов линейного и динамического программирования. Задачи составления расписаний для некоторых сложных систем обслуживания до сих пор не решены.

Частным случаем рассмотренной выше задачи является построение календарного плана работы. Оная является классической задачей теории расписаний и представляет собой сложную многовариантную задачу. В общем случае число возможных вариантов расписания составляет (m!)к, где m - число наименований партий деталей, к - число единиц оборудования.

Пусть известны матрицы А = (a_il) , V=(v_il), где a_il - продолжительность обработки партий деталей i-ого на l-ом рабочем месте, v_il - очередность обработки партий деталей i-ого на l-ом рабочем месте. Требуется составить такое календарное расписание выполнения деталеопераций на рабочих местах {_il, _il^/}, при котором выполняются условия

, где ,

(на одном рабочем месте l в одном и том же промежутке времени не могут планироваться к обработке детали хотя бы двух наименований i1,i2);

,

где S_il - рабочее место, на котором выполняется i-е наименование деталей в (v_il+1)-ю очередь (s_il определяется из матрицы V),обеспечивается наиболее распространенный вид движения партий деталей;

, где i-е наименование деталей, определенное из условия (время начала выполнения любой деталеоперации на l-ом рабочем месте определяется прогнозируемым временем освобождения этого рабочего места bl от производства предыдущих партий д еталей); т.е. длительность совокупного производственного цикла минимальна (это наиболее распространенный критерий оптимальности в рассматриваемых задачах).

Сформулированная задача решается с помощью методов целочисленного линейного программирования и других методов. В результате решения находится оптимальное календарное расписание выполнения операций на рабочих местах. Одновременно можно предусмотреть расчет показателей, необходимых для экономического анализа. К таким показателям относятся:

• длительность производственного цикла изготовления партии деталей

;

• время простоя каждого рабочего места

;

• время пролеживания партии деталей каждого наименования

;

• длительность совокупного производственного цикла изготовления партий деталей

.

Эти показатели позволяют выявить :

• н аиболее загруженные рабочие места, к которым в процессе выполнения производственной программы нужно относится все время с особым вниманием, по их коэффициенту загрузки;

• н аиболее пролеживающие в процессе производства партии деталей по коэффициент пролеживания;

• другие параметры.

Более подробно данный класс задач рассматривается в курсе «Организация деятельности предприятия».