1. Экономический анализ в задачах линейного и динамического программирования

Применительно к экономическому анализу сущность линейного программирования можно сформулировать как совокупность математических приемов, позволяющих в условиях ограниченных ресурсов по принятому критерию оптимальности из всех возможных вариантов хозяйственных решений (или из всех вариантов плана действий) выбрать один (оптимальный) или несколько наилучших (рациональных) вариантов. С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве исчисляют: оптимальную производительность машин, агрегатов, поточных линий, решаются задачи оптимального раскроя материалов и т.п. Все такие задачи отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Ценность их использования заключается в выборе оптимального из большого количества альтернативных вариантов. Решить такую задачу иным способом на сегодняшний момент невозможно, поэтому метод часто используется для решения различных задач планирования и управления деятельностью предприятия.

В общем случае задача оптимального планирования деятельности предприятия может быть сформулированы следующим образом. Рассмотрим производство, в котором участвует N ингредиентов (производственные факторы, сырье, промежуточные и конечные продукты). Имеется r технологических способов производства продукции. Каждый из способов характеризуется вектором as = (as₁, as₂,... , as_N). Положительные компоненты этого вектора показывают объем производства соответствующего ингредиента, отрицательные компоненты - затраты при применении способа с единичной интенсивностью. Например, аs =(-1, 2, -3) можно трактовать так: затрачивается 1 единица времени, производится 2 единицы продукта себестоимостью производства 3 единицы. Трактовка ингредиентов определяется физическим смыслом задачи.

Производственный план определяется выбором вектора  = (x1, x2,...xr) с неотрицательными компонентами, указывающими интенсивность применения различных технологических способов.

П ри плане  = (x₁, x₂,...x_r) продукция и затраты характеризуются вектором

Е сли ^_i > 0, то i-й ингредиент производится; если же ^_i < 0, , i= 1,...,m, то расходуется в размере абсолютной величины.

Первые m < N ингредиентов представляют расходуемые ресурсы (оборудование, рабочая сила, материалы, денежные средства и т.д.), по ним задаются ограничения вида

Если b_i > 0, то соответствующий ингредиент производится;

• если b_i = 0, то соответствующий ингредиент не должен расходоваться;

• если b_i < 0, то соответствующий ингредиент расходуется и расход его не должен превзойти |b_i|

П о остальным n = N - m ингредиентам необходимо добиваться максимального выпуска продукции с учетом требуемого ассортимента k_j =(k₁,k₂,...k_n), т.е.

Т аким образом, общая задача производственного планирования формулируется следующим образом: составить план  = (x₁, x₂,...x_r), удовлетворяющий условиям:

,

s = 1,...,r; , i= 1,...,m; j= 1, ... n.

Все другие задачи линейного программирования являются частным случаем этой общей задачи и могут быть сведены к ней.

Н апример, при k = 1, то есть когда не требуется выпуск продукции в комплектности - определенном соотношении, эта задача имеет вид:

s = 1,...,r; , i= 1,...,m;

Оптимальный план может быть получен с помощью различных методов (последовательного улучшения плана или корректировки множителей Л.В.Канторовича, симплекс-метода или других методов в зависимости от класса сформулированной задачи).

Этому оптимальному плану соответствует система оценок (разрешающих множителей) y₁,y₂,...,y_N, удовлетворяющая условиям:

,i= 1,...,m; , j = 1,...,n;

, если x_s > 0, s = 1,...,r;

, если x_s = 0;

, если , i = 1,...,m;

, если .

П олученный оптимальный план  = (x₁*, x₂*,...x_r*), должен быть проанализирован. Экономический анализ позволяет выявить:

• дефицитные ресурсы (узкие места), это ресурсы, для которых выполняется равенство

п ри i= 1,...,m;

• избыточные ресурсы, это ресурсы для которых выполняется неравенство

п ри i= 1,...,m;

• объем избытка данного вида ресурса составляет величину

• д ефицитную продукцию, это продукция, для которой выполняется равенство

при j = 1,...,n;

• п родукцию, которая производится в избытке; это продукция, для которой выполняется неравенство при j = 1,...,n;

• объем избытка продукции данного вида составляет

• экономическую целесообразность внедрения в производство нового s₀-ого технологического способа; новый технологический способ экономически выгодно в недрять в производство, если будет выполнено условие

• э кономическую целесообразность увеличения отдельных видов дефицитных ресурсов. В последнем случае необходимо решать новую задачу, в которой в качестве ограничения на дефицитный ресурс i₀ выступает неравенство

, где - возможный объем увеличения i₀-го вида ресурса.

Е сли в результате решения новой задачи увеличится значение целевой функции, то увеличение объема этого вида ресурса экономически выгодно, в противном случае - нет. В первом случае одновременно определяется

где - новое искомое оптимальное значение интенсивности использования технологических способов производства.

Возможности приобретения дополнительных дефицитных ресурсов представляют огромное поле для экономического анализа и выявления предпочтений их внедрения в производство.

При решении оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения характеризуются нелинейными зависимостями, применяются методы динамического программирования. Примером нелинейной зависимости в экономике является, например, эффект масштаба: величина затрат возрастает при увеличении размера партии не пропорционально и т.п. При составлении плана работы может не быть предусмотрена ритмичность работ, что приведет к росту расходов на компенсацию потерь рабочего времени или сверхурочных, в результате чего увеличения выпуска продукции может привести не к снижению себестоимости, а наоборот. Нелинейностью характеризуются, например, расход бензина на 100 км пробега или износа производственного оборудования при нелинейных способах амортизации.

Примером наиболее часто решаемой задачи нелинейного динамического программирования является задача логистики (оптимизация загрузки транспортного средства). В большинстве случаев такие задачи ЭВМ решает методом полного перебора вариантов. Более подробно данный класс задач изучается в курсе Логистики. Часть задач этого класса относится к задачам нахождения экстремума целевой функции.