Алгоритм метода апроксимации (на min):

1. По каждой строке и столбцу находятся два минимальных значения Cij.

2. Определяется их разность _i_j .

3. Из всех разностей выбирается наибольшая K.

4. По строке или столбцу, где наибольшая разность, в клетку где размещается самое наименьшее значение C_ij ^min записывают поставку груза (требуемую).

5. Далее повторяют с вычисление новых разностей до получения опорного плана.

6. Полученное решение проверяют по числу занятых клеток. Если в ходе применения приведенного алгоритма на каких-либо шагах окажется, что Ai=0 и Bj=0, то опорное решение будет вырожденным - некоторые занятые клетки будут заполнены нулями. Формальным источником вырожденности является равенство типа:

А1 =В1, А1 = В1 + В2, А1+А2 = В1 + В2

Как уже отмечалось, в случае, когда Ai=0 и Bj=0 можно вычеркнуть либо i-ю строку, либо j-й столбец. Для того, чтобы приблизить опорное решение к оптимальному, целесообразно выполнить следующее правило:

в i-й строке, исключая рассматриваемую клетку, определить наименьшее значение Сij(C’ij), в j-м столбце, исключая рассматриваемую клетку, также определить наименьшее значение Сij(C’ij), если Сij < C’ij, то вычеркиваем j-й столбец, в противном случае – i-ю строку.

Необходимо подчеркнуть, что при использовании рассмотренного алгоритма наличие вырожденных решений не усложняет как процесс получения опорного решения, так и процесс улучшения его до оп­тимального. С условно занятыми клетками (защитными нулями) необходимо работать как и с обычными занятыми.

При решении задач на максимум приведенный алго­ритм меняется только в двух пунктах: в п.1 вместо минимальных находят два максимальных значения Сij, а в п.4 заполняет клет­ку не с наименьшим, а с наибольшим значением Cij.

При решении могут возникнуть следующие случаи:

1. Если имеется несколько наибольших разностей, то предпочтение отдается той, для которой есть C_ij ^min.

2. Если C_ij ^min имеется по нескольким K, то для решения берут ту клетку, в которую можно занести большую поставку груза.

3. Если и в этом случае наблюдается полное равенство, то выбирают любую клетку.

3. Методы улучшения опорного плана.

При использовании метода потенциалов производят вычисление условных оценок (потенциалов) _{i ,}  _j.

Условный потенциал - это специальная оценка грузов, расположенных в пунктах назначения и отправления.

Потенциалы могут вычисляться по формуле:

_i + С_ij =  _j

Такое условие записи для каждой занятой клетки, где Xij > 0

Где одному потенциалу присваивается любое значение.

Для удобства расчетов и исключения отрицательных потенциалов одному из них, чаще всего  присваивается значение превышающее или равное наибольшему из С_ij.

При решении задач на минимум.

План оптимален в том случае, если для свободных клеток выполняется условие:

_i + С_ij >  _j

В случае неоптимальности плана его улучшают, при этом для клетки, где не выполняется условие отрицательности, строится многоугольник (прямоугольник).

Правила построения многоугольника:

1. Стороны многоугольника должны пересекаться под прямым углом и располагаться по столбцам таблицы.

2. Вершины многоугольника должны располагаться в занятых клетках, кроме одной начальной, лежащей в испытуемой свободной клетке.

3. В начале вершины, лежащей в испытуемой клетке, присваивается знак плюс, далее знаки чередуются.

4. Среди всех грузов находящихся в клетках с отрицательными вершинами, выбирается min значение Хmin . Далее с соответствующими знаками клеток производится алгебраическое сложение производных.

Улучшение обычно начинают с той клетки, характеристика которой по модулю наибольшая.

Характеристика свободных клеток вычисляется по формуле:

ij = ( _i + С_ij )  _j

это способствует наименьшему количеству итераций.

После каждого улучшения производят вычисление целевой функции с контролем по формулам:

_{m n}

Z = c_ij x _{i j} ------> min

^{i=1 j=1}

_{m n}

Z =  _j b _j _i a _i

^{j=1 i=1}

5. Решение задач с дополнительными ограничениями.

Для расширения класса экономических задач, решаемых распределительным методом, часто требуется ввести дополнительные ограничения с помощью которых учитываются конкретные дополнительные условия, выходящие за рамки поставленной задачи.

Их может быть несколько:

1. Требуется ввести конкретное условие в заданную клетку

x_{i j} = d_{i j}

Если в определенной клетке установлено определенное количество ресурса, то в этом случае до начала решения в исходной матрице делают следующие преобразования:

- из соответствующего столбца потребностей и строки ресурсов вычитают оговоренное число (dij); и для того, чтобы данная клетка не вошла в дальнейшее решение, блокируют оценку данной клетки, т.е. делают оценку этой клетки очень маленькой величиной при решении задач на max; или очень большой при решении на min.

2. x_{i j} > d_{i j}

Если в определенную клетку следует ввести не менее определенного количества ресурса, то из объема ресурсов и потребностей соответствующих строки и столбца вычитают это оговоренное число. Далее обычным способом.

3. x_{i j} < d_{i j}

Если в определенную клетку следует записать не более определенного количества ресурса, то в клетке делается пометка и задача решается как предусмотрено алгоритмом. Корректировка ответа производится по окончании решения.

4. d*_{i j} < x_{i j} < d**_{i j}

Если в определенную клетку должно поступить ресурса не более и не менее оговоренного числа, то в клетку вносится пометка. Задача решается принятым методом и корректировка проводится по окончании решения.

Пункт назнач. Пункт отправ.	I		II		III		IV		Запасы		Столбец разностей
1	1025 100	20 Х		13 900		15 Х		1000 900		27 =
2	25 500 700	18 . 3000		16 . 2300		15 Х		6000 5800		12
3	22 200	16 Х		14 Х		13 Х		1200		12 =
4	26 Х	. 14 Х		. 12 300		10 1500		1800 300		2 =
Потребность	2000 1900 1700	3000		3500 2600		1500		10000 10000
Строка разностей	31	24		24		3

. .

- многоугольник

. .

_{m n}

a_ij = b _ij

^{j=1 i=1}

MIN

X₁₁ = 100 ( блокируем оценку клетки )

X₂₁ > 200

X₃₃ < 400

100 < X₄₂ < 200

а) m+n-1

б)  _j+_i = С_{i j} ( занятые клетки )

_i +  _j С_ij < 0 min

> 0 max

6. Вариантные решения задач с использованием матрицы оптимального плана.

А. Альтернативные решения с отклонением целевой функции от экстремума.

Не всегда возможно выполнить дополнительные условия, сохранив оптимальность решения. Приведём фрагмент оптимального решения транспортной задачи:

	1	2	3	4
1	10 22	310 8
2	215 4	96 10		315 7
3		290 6		77 11

Пусть, например, задано дополнительное условие 116≤X₂₂≤450. Клетка (2,2) уже занята. Проведём проверку дополнительных условий:

96≤450, условие выполнено; 96≤116, условие не выполнено. Исходя из этого, нам необходимо увеличить ресурс клетки (2,2). Что позволит нам выполнить дополнительное условие, но приведёт к получению не оптимального решения. Оценим возможности увеличения ресурса. Возможно построение двух циклов: (2,2), (2,1), (1,1), (1,2) и (2,2), (2,4), (3,4), (3,2). В первом случае, по оценкам испытуемых клеток, (10+22) – (4+8), ухудшение опорного плана произойдёт на 20, на единицу перемещаемого ресурса, во втором, соответственно на 8. Следовательно выбираем второй вариант. Максимально возможный перемещаемый ресурс в построенном цикле X_min =290. Следует ли переместить именно 290? (Оба дополнительные условия выполняются!) Ни в коем случае. Чем больший ресурс мы переместим, тем сильнее нарушим оптимальность решения. Таким образом мы должны переместить только 20 (116-96). Окончательный вариант решения будет следующим:

	1	2	3	4
1	10 22	310 8
2	215 4	116 10		295 7
3		270 6		97 11

В. Изменение уровней производства и потребления в отдельных пунктах при сохранении общего объёма производства.

Рассмотрим демонстрационный пример:

Один из районов города (второй) нуждается в дополнительном размещении пяти супермаркетов.

	1	2	3	4
Супермаркет	9 10	8 3	11 15	6 14
Школа
…..
Завод

Где, X_{i j} - количество объектов, С_{i j} - стоимость строительства одного объекта.

Основной задачей рассматриваемого примера является снижение расходов на строительство, следовательно, надо перераспределять размещение школ находящихся в районе с С_{1 j} max, в данном случае это – район 4.

При этом мы:

• Выполним поставленное условие

• Обеспечим минимальное значение целевой функции с учётом дополнительных условий

Единственным правилом, при выше описанных действиях будет неукоснительное соблюдение граничных условий.

С. Определение альтернативных оптимальных решений.

Поиск других оптимальных решений, зачастую представляет не малый практический интерес. Если в случае проверки опорного решения на оптимальность, оценка одной или нескольких свободных клеток оказалась равной нулю (σ _ij =0), то при перемещении ресурсов, по описанным выше правилам, из занятой клетки в свободную значение целевой функции не изменится, следовательно мы имеем одно или несколько альтернативных решений. Причём необходимо отметить, что возможно, как всего ресурса, так и его части. В первом случае мы будем иметь дело с оптимальным базисным, а во втором не базисным решением.

7. Примеры решения градостроительных и землеустроительных задач.