20. Модели стоимости финансовых инструментов с определенным денежным потоком.

Финансовый инструмент с определенными финансовыми потоками отличается тем, что по нему известны все ожидаемые денежные потоки, а также моменты времени, когда данные платежи будут получены. Самый простой пример – облигация.

1 цб), а n1=-Xj (продали Xj единиц бумаги 1).

Тогда: =0

P( )=nj* p(Хj)+ n1* p(Х1)=1* p(Хj)- Xj*π1=0

Следовательно, p(Хj)= Xj*π1.

Таким образом, стоимость произвольной цб равна произведению ожид. потока платежей на стоимость примитивн. цб. В двухпериодной модели рынок заполн. одна цб, а все ост. можно конструировать ч/з нее.

Обобщение модели на множество периодов

Так же будем предполагать дискретность денежного потока.Используем метод pricing by duplication (тек.стоимость возвратного потока по инвест. равна сумме средств, ктр. надо было поместить в банк и в соотв. периоды времени получить выплаты, равные возвратн. потоку по инвест.: (t=1, 2, …, T). Текущая стоимость всего ден. потока: В таком виде модель предполагает, что ставка одинакова для всех временных периодов. Дополним модель:

С точки зрения сроков исполнения контракта и сроков покупки/продажи цб, покупка (продажа) любых цб является кредитной сделкой (сделкой, в которой участники исполняют контракт в разное время, в отличие от форвардной, где одна из сторон исполняет контракт по истечении определенного периода, и в отличие от спотовой, где исполнение немедленное).

У облигации покупка произв. в момент времени (t1=t0), а выплаты произв. позднее, t2>t1. это справедливо и для дисконтной облиг., и для облиг. со множеством купонных платежей.

Для каждого временного периода t2 есть своя спотовая процентная ставка r0t2 для дисконтн. облиг. номиналом Xt2, сроком обращ. t2 и с рын. стоимостью . Спотовая процентная ставка равна доходности к погашению дисконтн. облиг., имеет место быть в t0=0 на срок t2.

Форвардная ставка rt1t2 - ставка для будущего момента времени t1>t0, равна доходности дисконтной облиг. сроком обращ. (t2-t1), которая буде иметь место в момент времени t1.

Можно купить дисконтн. облиг. сроком t2 по цене или же купить облиг. сроком t1, через t1лет ее погасить, а деньги реинвестировать в другую облиг. сроком (t2-t1) под буд. проц. ставку rt1t2 Для этого потребуется сумма:

Форвардная ставка будет такой, чтобы затраты в первом и втором случаях были равны:

= , отсюда .

Примитивная цб будет такая цб, ктр. порождает ден. поток в 1 руб. со сроком погашения t. Цена такой цб: ; в Т временных периодах могут существовать Т штук различных примит. цб.

Дисконтная цб – цб со сроком погаш. t, с единств. выплатой, имеющ. произвольную величину Xjt; p(Xjt)=Xjt*πt, где j – номер конкретной бумаги.

Купонная цб – фин. инструмент, порожд. поток платеже в кажд. момент времени от t=0 до t=T. Цена такой цб:

Для многопериодной модели также справедливы теоремы доминирования и аддитивности, если отсутствует

возможность арбитража. В таком случае у теорем есть 2 следствия:1)все дисконтнтные цб с одинак. сроком погашения должны приносить доход по одной ставке, их стоимость может выражаться ч/з примитивную цб.2)Если на рынке обращ. Т примит. цб, разных по срокам обращ., то любую купон. цб можно сконстр. в виде конечного набора примит. цб.

Таким образом, для опис. рынка капит. достат. знать Т спотовых проц. ставок, поскольку рынок состоит их Т примит. цб, все ост. цб зависимы и могут быть предст. посредством примит. цб.

Модель стоимости постоянного ограниченного аннуитета (ренты):

Модель стоимости постоянного (вечного) аннуитета (ренты):

Стоимость облигаций с m купонными выплатами в год:

Приложение.

Арбитраж (безрисковая, но доходная операция)

А) первого типа (сопоставление портфеля и возвратного потока)

1.если есть портфель (n1, n2, n3…..nJ) со свойствами: <0 (бумаг продано на большую сумму, чем куплено), ≥0 (когда бумаги будут погаш., затрат не потреб.)

2. >0 и ≤0

3. =0 и =0

Б)второго типа: если существует портфель, у которого ≠

Условия отсутствия арбитража (теоремы доминированияи аддитивности)

А)Теорема доминирования стоимости (исключ. арбитраж 1 типа): портфель, ктр. обещает положит. потоки, должен иметь положительную стоимость. при нулевых будущих

потоках его стоимость должна быть равна нулю: >0 и >0 и =0 и =0

Б)Теорема аддитивности стоимости (исключает арбитраж 2 типа): рыночная цена портфеля д.б. равна сумме отд. цен вход. в него бумаг:

=