10.3. Контрольные вопросы

• ортогональные проекции

• Как построить точки пересечения поверхности с прямой линией?

• Назовите последовательность операций для общего метода построения точек пересечения поверхности с прямой линией.

• Назовите последовательность операций при построении точек пересечения поверхности конуса с прямой линией.

• Назовите последовательность операций при построении точек пересечения поверхности наклонного цилиндра с прямой линией.

• проекции с числовыми отметками

• Назовите последовательность операций для общего метода построения точек пересечения поверхности с прямой линией.

• Как построить точки пересечения пространственной кривой с топографической поверхностью?

• Как построить точки пересечения прямой с топографической поверхностью?

• В каких случаях применяется преобразование комплексного чертежа?

10. Взаимное пересечение поверхностей

11.1. Взаимное пересечение поверхностей в системе ортогональных проекций

Теоретическая часть

• Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то одна проекция линии пересечения есть на чертеже. Она принадлежит следу этой удобно расположенной поверхности. Вторая проекция искомой линии пересечения может быть найдена из условия принадлежности ее точек второй непроецирующей поверхности.

• Построение линии пересечения любым методом начинают с определения опорных точек (без дополнительных построений), а также выделяют характерные точки линии пересечения. Это – точки высшая и низшая; точки, разделяющие видимую и невидимую части поверхности, и т.д.

• Если поверхности заданы в общем непроецирующем положении, то следует преобразовать чертеж (вращением вокруг линии, заменой плоскостей проекции, плоско-параллельным переносом), чтобы одна из них стала проецирующей.

Метод вспомогательных секущих поверхностей

Вспомогательную секущую поверхность (плоскость, сферу, цилиндрическую, коническую) выбирают так, чтобы вспомогательные линии пересечения ее с заданными поверхностями проецировались в виде простейших линий.

Сферу в качестве вспомогательной поверхности выбирают:

• если каждую из пересекающихся поверхностей можно пересечь сферой по окружности;

• если оси поверхностей пересекаются;

• если оси поверхностей занимают частное положение.

Рис. 11.1

• Если ни одна из поверхностей не может быть проецирующей, то для нахождения произвольной точки, принадлежащей линии пересечения поверхностей, следует (рис. 11.1):

• ввести несколько вспомогательных поверхностей γ_i ;

• построить линию пересечения вспомогательной поверхности γ_i с каждой из заданных поверхностей  и β, т. е. а_i =  ∩ γ_i и в_i = β ∩ γ_i ;

• на пересечении полученных линий а_i и в_i найти искомую точку

L_i = а_i ∩ в_i ;

• соединить полученные точки L_i , определить линию пересечения ℓ.

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

Теорема 1. ( Теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка вписаны или описаны вокруг третьей, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 11.2).

Рис. 11.2	Рис. 11.3	Рис. 11.4

Теорема 2. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и по второй кривой, которая является плоской (рис. 11.3).

Теорема 3. (о двойном прикосновении). Если две поверхности второго порядка имеют две точки М и N прикосновения, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (рис. 11.4).

Задачи

Задача 11.1. Построить линию пересечения поверхностей конуса и сферы (рис. 11.5), тора и конуса (рис. 11.6).

Рис. 11.5		Рис. 11.6

Задача 11.2. Построить линию пересечения поверхностей призмы и конуса (рис. 11.7), цилиндра и сферы (рис. 11.8).

Рис. 11.7	Рис. 11.8

Задача 11.3. Построить линию пересечения поверхностей тора и усеченного конуса (рис. 11.9), призмы и пирамиды (рис. 11.10).

Рис. 11.9	Рис. 11.10

Задача 11.4. Построить линию пересечения поверхностей конуса и горизонтального цилиндра (рис. 11.11; 11.12).

Рис. 11.11	Рис. 11.12