5. Пересечение и параллельность прямой и плоскости

5.1. Пересечение и параллельность прямой и плоскости в системе ортогональных проекций

Теоретическая часть

	Прямая параллельна плоскости, если в плоскости возможно провести прямую, параллельную заданной (рис. 5.1).
	Прямая параллельна плоскости, если через нее возможно провести плоскость, параллельную заданной плоскости (рис. 5.1).
Рис. 5.1

		Если заданные прямая и плоскость имеют общее положение (рис. 5.2), то точку их пересечения находим в такой последовательности: прямую заключаем в плоскость l δ; δ П2; строим линию пересечения вспомогательной и заданной плоскости ; находим точку встречи на пересечении полученной линии с заданной прямой К = ;К = ;
Рис. 5.2
определяем видимость прямой методом конкурирующих точек.

		Если плоскость проецирующая, а прямая общего положения то точка пересечения находится на пересечении проекции прямой с проекцией плоскости занявшей проецирующее положение. Если прямая занимает проецирующее положение, то точка пересечения определяется из условия принадлежности точки плоскости.
Рис. 5.3
недостающие проекции определяются с помощью линий связи (рис. 5.3).

ЗАДАЧИ

Задача 5.1. Через заданную точку провести произвольную прямую, параллельную данной плоскости (рис. 5.4…5.6).

Рис. 5.4	Рис. 5.5			Рис. 5.6

Задача 5.2. Построить точку пересечения прямой с заданной плоскостью (рис 5.7; 5.8).

Рис. 5.7	Рис. 5.8

Задача 5.3. Через точку А провести прямую t, параллельную заданной плоскости и пересекающуюℓ (рис. 5.9).

	Условие	Решение
Рис. 5.9

Задача 5.4. Через точку А провести прямую, пересекающую обе заданные прямые m и n (рис. 5.10).	Задача 5.5. Провести прямую t, параллельную прямой ℓ и пересекающую прямые m и n (рис. 5.11).
Рис. 5.10	Рис. 5.11

Указание. На рис. 5.12 представлены условия и решения

задач 5.4 и 5.5.

Рис. 5.12

5.2. Пересечение и параллельность прямой и плоскости в проекциях

с числовыми отметками

Теоретическая часть

• Пересечение прямой и плоскости

Если заданная прямая и плоскость имеют общее положение (рис. 5.13; рис. 5.14), то точку их пересечения (точку встречи) находим в такой последовательности:

• прямую АВ заключаем в плоскость δ, проводя горизонтали через любые две точки прямой. Эти горизонтали определяют вспомогательную плоскость δ, содержащую данную прямую;

• строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной δ ∩ β = NM (на заданной плоскости δ построить одноименные горизонтали). точки N, M пересечения их с соответствующими горизонталями вспомогательной плоскости определяют линию пересечения NM заданной и вспомогательной плоскостей;

• находим точку встречи на пересечении полученной линии NM с заданной прямой К = NM ∩ AB, К = AB ∩ β ;

• определяем видимость прямой методом конкурирующих точек.

Рис. 5.13	Рис. 5.14

• параллельность прямой и плоскости

Прямая BK параллельна плоскости, если в плоскости, возможно провести прямую DM, параллельную заданной (рис. 5.15). прямые параллельны, если проекции этих прямых параллельны, интервалы равны, отметки возрастают в одном направлении (рис. 5.15) или уклоны равны и одинаково ориентированы (рис. 5.16).

Рис. 5.15	Рис. 5.16

ЗАДАЧИ

Задача 5.3. Построить точку пересечения прямой МN с плоскостью, определить ее отметку и видимость прямой (рис. 5.17; 5.18).

Рис. 5.17	Рис. 5.18

Задача 5.4. Через точку В₁₀ провести прямую, параллельную отрезку прямой МN, принадлежащему соответственно плоскостям β, β(AD, i), и определить уклон прямой (рис. 5.19; 5.20).

Рис. 5.19	Рис. 5.20