Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1
.pdf
(15.13)
(где t = (τ, ν) и где не все отображения являются гомеоморфизмами).
Мы придем к существенно новому результату, если рассмотрим многочлен p( z ) третьей степени. Итак, рассмотрим алгебраическую функцию вида
w = a0 (z − r1 )(z − r2 )(z − r3 ), |
(15.14) |
где r1, r2 , r3 попарно различны. Функция w имеет две ветви, но «соединяются» они между собой более сложным образом. Обход одной точки ri приводит к
изменению ветви функции w, обход любых двух точек сохраняет ветвь, обход всех трех точек, как и обход точки ∞, меняет ветвь. Чтобы «запретить» эти
переходы, достаточно сделать разрезы r1r2 и r3∞ на z -сфере. Тогда каждая ветвь
функции w однозначна на таком листе с разрезами. Чтобы одна ветвь переходила в другую нужным образом, склеим экземпляры I и II соответственно по разрезам
r1r2 и r3∞, причем берега склеиваются, как ранее. Полученное топологическое пространство Π′3 , очевидно, является римановой поверхностью функции (15.14). Существенным отличием поверхности Π′3 от поверхности Π′2 является то, что
она топологически эквивалентна сфере с ручкой (рисунок 140 – здесь разрезы сначала расширяются в «дыры», от них вытягиваются затем трубки, края которых
и склеиваются нужным способом). |
|
|
~ |
2 |
с |
Естественное отображение Π′3 →C является двулистным накрытием S |
|
точками ветвления r1, r2 , r3 , ∞.
Рисунок 140
369
Для функции w = 
a0 (z − r1 )(z − r2 )(z − r3 )(z − r4 ), где r1, r2 , r3 , r4 попарно различны, будем иметь риманову поверхность Π′4 , гомеоморфную Π′3 . Это
следует из того, что два разреза, r1r2 и r3r4 , разделяют однозначные ветви и точка r4 играет роль точки ∞ предыдущего примера (последняя не является точкой
ветвления).
Несложно исследовать и случай алгебраической функции
w = a0 (z − r1 )...(z − rn ), |
(15.15) |
где ri попарно различны между собой. На z -сфере делаем n / 2 разрезов r1r2 , …,
rn−1rn , если n четно, и (n +1)/ 2 разрезов r1r2 , …, rn−2rn−1 , rn∞, если n нечетно. Взяв два экземпляра z -сферы с такими разрезами, склеиваем их по соответствующим разрезам. Построения, аналогичные изображенным на рисунке
n |
|
|
n − 2 |
|
n +1 |
−1 |
= |
n −1 |
|
||
140, дадут сферу с |
−1 |
= |
|
или с |
|
|
|
|
ручками. Это и есть |
||
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
риманова поверхность функции (15.15). Число ручек p (род поверхности) связано с числом V точек ветвления римановой поверхности равенством V = 2(p +1).
Таким образом, многозначная алгебраическая функция, определяемая уравнением (15.9), имеет риманову поверхность, топологически эквивалентную сфере с ручками. Это утверждение справедливо для любой многозначной алгебраической функции.
Изучение алгебраических аналитических функций w(z), удовлетворяющих уравнению f (z, w)= 0 с неалгебраической аналитической функцией f , в z -
плоскости также приводит к римановым поверхностям, на которых аналитические функции однозначны.
15.5 Вопросы для самоконтроля
1Какие преобразования сферы называются гомеоморфизмами?
2Какие фигуры называются гомеоморфными?
3Какие свойства фигур называются топологическими?
4Определите направление комбинаторной (алгебраической) топологии?
5Изучением каких вопросов занимается «общая топология»?
6Какая кривая называется простой замкнутой?
7Сформулируйте понятие n -мерного многообразия.
8Какое n -мерное многообразие называют топологическим (гладким)?
9Какое пространство называют расслоенным?
10Дайте определение симплекса (вершины симплекса).
11Сформулируйте определение размерности симплекса.
12Что означает пересечение симплексов?
13Сформулируйте определение метрического пространства (обозначение).
14Сформулируйте определение метрики пространства X .
15Какое метрическое пространство называется дискретным?
370